A fórmula mais comum para calcular a área de um quadrado é bastante simples: comprimento da lateral elevado ao quadrado, ou simplesmente s 2 . Porém, muitas vezes você somente sabe o comprimento da diagonal do quadrado, passando entre os vértices opostos. Caso tenha estudado triângulos retângulos, é possível encontrar uma nova fórmula da área que use a diagonal como sua própria variável.
Passos
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Desenhe um quadrado. Um quadrado possui quatro lados equivalentes. Vamos dizer que cada um deles possui um comprimento igual a "s".
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Reveja a fórmula básica da área do quadrado. A área de um quadrado equivale ao seu comprimento vezes sua largura. Como cada lado equivale a s , a fórmula é Área = s x s = s 2 . Ela vai ser útil mais tarde.
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Junte dois lados opostos para criar uma diagonal. Deixe a que a medida da diagonal esteja em unidades d . Essa diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulo.
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Aplique o Teorema de Pitágoras em um dos triângulos . O Teorema de Pitágoras é a fórmula que calcula a hipotenusa (lado maior) de um triângulo retângulo: (lado um) 2 + (lado dois) 2 = (hipotenusa) 2 , ou . Agora que o quadrado está dividido ao meio, é possível usar essa fórmula em um dos triângulos retângulos:
- Os dois lados menores do triângulo são as laterais do quadrado: cada um deles tem um comprimento igual a s .
- A hipotenusa é a diagonal do quadrado, d .
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Organize a equação para que s 2 fique de um lado dela. Lembre-se que já sabemos que a área do quadrado equivale a s 2 . Caso consiga deixar s 2 sozinho em um lado da equação, você terá uma nova equação para calcular a área:
- Simplifique:
- Divida ambos os lados por dois:
- Área =
- Área =
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Use essa fórmula em um quadrado como exemplo. Esses passos provam que a fórmula Área = funciona em todos os quadrados. Basta substituir o comprimento da diagonal por d e fazer a conta.
- Por exemplo, digamos que um quadrado tenha uma diagonal que mede 10 cm.
- Área =
=
= 50 centímetros quadrados.
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1Calcule a diagonal a partir do comprimento de uma lateral. O Teorema de Pitágoras em um quadrado com lateral igual a s e diagonal igual a d vai criar a fórmula . Calcule o valor de d caso saiba os comprimentos das laterais e queira calcular o comprimento da diagonal.
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. - Por exemplo, se um quadrado tem laterais de 7 cm, sua diagonal d = 7√2 cm, ou cerca de 9,9 cm.
- Caso não tenha uma calculadora, é possível usar 1,4 como estimativa para √2.
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2Calcule o comprimento da lateral a partir da diagonal. #Se você tiver o valor da diagonal e souber que a diagonal de um quadrado equivale a , é possível dividir ambos os lados por para obter .
- Por exemplo, um quadrado com uma diagonal de 10 cm possui laterais com comprimento de cm.
- Caso precise calcular o comprimento da lateral e a área a partir da diagonal, é possível usar essa fórmula antes, e depois elevar a resposta ao quadrado para obter a área: Área centímetros quadrados. Esse procedimento é um pouco menos preciso, visto que é um número irracional que pode levar a erros de arredondamento.
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3Interprete a fórmula da área. As contas para a fórmula Área = conferem, mas existem uma forma de testar isso diretamente? Bem, é a área de um segundo quadrado com uma diagonal como lateral. Como a fórmula completa é , podemos raciocinar que esse segundo quadrado tem exatamente o dobro da área do quadrado original É possível testar isso você mesmo:
- Desenhe um quadrado em um pedaço de papel. Faça-o com todas as laterais iguais.
- Meça a diagonal. Desenha um segundo quadrado usando essa medida como comprimento.
- Faça uma cópia do primeiro quadrado para que você tenha dois dele. Recorte os três quadrados.
- Corte os dois quadrados menores em qualquer forma, de modo que seja possível reorganizar os pedaços em um quadrado maior. Eles deverão preencher o espaço perfeitamente, provando que a área do quadrado maior é exatamente o dobro do quadrado menor.
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Dicas
- Caso não tenha uma calculadora e precise de uma estimativa mais precisa para a raiz quadrada de 2, existem formas de fazê-lo à mão . O Método de Newton-Raphson é uma delas. [1] X Fonte de pesquisa
- Trata-se de uma equação usada em muitos campos, incluindo cristalografia, química e artes. Por exemplo, você pode usá-la para calcular a área de uma paisagem ao fazer algum planejamento, ou ao pensar na perspectiva na hora de tirar uma foto ou fazer uma pintura, medindo a distância caminhada e imaginando uma grade com essa distância como sendo a diagonal.
- Se preferir uma abordagem mais gráfica, ou quiser aprender como usar tabelas e gráficos em arte, explore os artigos das explore mais artigos da categoria ou pesquise na internet.
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