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As assíntotas de uma hipérbole sãs as linhas que passam pelo seu centro. A hipérbole chega bem próxima das assíntotas, mas nunca as alcança. Existem duas abordagens diferentes para calcular as assíntotas. Aprenda a usar ambas para compreender melhor esse conceito.
Passos
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Escreva a equação da hipérbole em sua forma padrão. Vamos começar com um exemplo simples: uma hipérbole com o centro de sua origem. Para essas hipérboles, a forma padrão da equação é x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1 para as hipérboles horizontais ou y 2 / b 2 - x 2 / a 2 = 1 para as hipérboles verticais. [1] X Fonte de pesquisa Lembre-se de que x e y são variáveis, enquanto a e b são constantes (números ordinários).
- Exemplo 1: x 2 / 9 - y 2 / 16 = 1
- Alguns livros didáticos e professores alteram as posições de a e b nessas equações. [2] X Fonte de pesquisa Siga a equação atentamente para entender o que está acontecendo. Se apenas memorizar as equações, você não estará preparado para lidar com uma noção diferente.
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Defina a equação para equivaler a zero em vez de um. Essa nova equação representa ambas as assíntotas, embora seja necessário um pouco mais de trabalho para separá-las. [3] X Fonte de pesquisa
- Exemplo 1: x 2 / 9 - y 2 / 16 = 0
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Fatore a nova equação. Fatore o lado esquerdo da equação em dois produtos. Se precisar refrescar sua memória sobre como realizar a fatoração, [Fatorar Equações Algébricas clique aqui], ou continue acompanhando o Exemplo 1:
- Terminaremos com uma equação na forma (__ ± __)(__ ± __) = 0.
- Os dois primeiros termos precisam ser multiplicados para formar x 2 / 9 , então calcule a raiz quadrada e escreva-a nesses espaços: ( x / 3 ± __)( x / 3 ± __) = 0
- De forma parecida, calcule a raiz quadrada de y 2 / 16 e coloque-a nos dois espaços restantes: ( x / 3 ± y / 4 )( x / 3 ± y / 4 ) = 0
- Como não existem outros termos, escreva um sinal de soma e um de subtração para que os outros termos sejam cancelados quando forem multiplicados: ( x / 3 + y / 4 )( x / 3 - y / 4 ) = 0
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Separe os fatores e encontre o valor de y . Para montar a equações das assíntotas, separa os dois fatores e encontre os valores dos termos de y .
- Exemplo 1: Como ( x / 3 + y / 4 )( x / 3 - y / 4 ) = 0 , sabemos que x / 3 + y / 4 = 0 e x / 3 - y / 4 = 0
- Reescreva x / 3 + y / 4 = 0 → y / 4 = - x / 3 → y = - 4x / 3
- Reescreva x / 3 - y / 4 = 0 → - y / 4 = - x / 3 → y = 4x / 3
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Tente fazer o mesmo processo com uma equação mais difícil. Acabamos de encontrar as assíntotas para uma hipérbole centrada na origem. Uma hipérboles com o centro em (h,k) tem uma equação na forma (x - h) 2 / a 2 - (y - k) 2 / b 2 = 1 ou na forma (y - k) 2 / b 2 - (x - h) 2 / a 2 = 1 . Você pode resolvê-las exatamente com o mesmo método de fatoração descrito acima. Baste deixar os termos (x - h) e (y - k) intactos até o último passo.
- Exemplo 2 : (x - 3) 2 / 4 - (y + 1) 2 / 25 = 1
- Defina a equação igual a zero e fatore-a para obter:
- ( (x - 3) / 2 + (y + 1) / 5 )( (x - 3) / 2 - (y + 1) / 5 ) = 0
- Separe cada fator e resolva a conta até encontrar a equações das assíntotas:
- (x - 3) / 2 + (y + 1) / 5 = 0 → y = - 5 / 2 x + 13 / 2
- ( (x - 3) / 2 - (y + 1) / 5 ) = 0 → y = 5 / 2 x - 17 / 2
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Escreva a equação da hipérbole com o termo y 2 no lado esquerdo. Este método é útil caso você tenha uma equação que esteja na forma quadrada. Mesmo que ela esteja na forma padrão para hipérboles, essa abordagem pode lhe dar uma maior visão sobre a natureza das assíntotas. Reorganize a equação para que os termos y 2 ou (y - k) 2 fiquem em um lado para começar.
- Exemplo 3: (y + 2) 2 / 16 - (x + 3) 2 / 4 = 1
- Some os termos x em ambos os lados, depois multiplique cada lado por 16:
- (y + 2) 2 = 16(1 + (x + 3) 2 / 4 )
- Simplifique:
- (y + 2) 2 = 16 + 4(x + 3) 2
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Tire a raiz quadrada de cada lado. Calcule a raiz quadrada, mas ainda não tente simplificar o lado direito. Lembre-se de que, ao calcular a raiz quadrada, existem duas soluções possíveis: uma positiva e outra negativa. Por exemplo: -2 * -2 = 4, então √4 pode ser igual a -2 ou 2.) Use o sinal de mais ou menos "±" para indicar ambas as soluções.
- √((y + 2) 2 ) = √(16 + 4(x + 3) 2 )
- (y+2) = ± √(16 + 4(x + 3) 2 )
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Reveja a definição de uma assíntota. É importante que você entenda isso antes de continuar com o próximo passo. A assíntota de uma hipérbole é uma linha na qual a hipérbole chega cada vez mais perto ao passo em que o valor de x aumenta. O x na verdade pode atingir a assíntota, mas se seguirmos a hipérbole por valores maiores de x , chegaremos cada vez mais perto da assíntota.
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Ajuste a equação para valores maiores de x . Como estamos tentando encontrar a equação da assíntota, o valor de x só nos interessa se tiver valores grandes ("aproximando do infinito"). Isso nos permite ignorar algumas constantes na equação, pois elas contribuem com uma parte muito pequena em relação ao termo x . Quando o x estiver em 99 bilhões (por exemplo), somar o número 3 a ele é tão pequeno que podemos ignorá-lo.
- Na equação (y+2) = ± √(16 + 4(x + 3) 2 ) , ao passo em que x se aproxima do infinito, então 16 se torna irrelevante.
- (y+2) = aproximadamente ± √(4(x + 3) 2 ) para grandes valores de x .
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Calcule o valor de y para encontrar as duas equações da assíntota. Agora que você se livrou da constante, basta simplificar a raiz quadrada. Calcule os temos de y para obter a resposta. Lembre-se de dividir o símbolo ± em duas equações separadas, uma com o sinal de "+" e a outra com sinal de "-".
- y + 2 = ±√(4(x+3)^2)
- y + 2 = ±2(x+3)
- y + 2 = 2x + 6 e y + 2 = -2x - 6
- y = 2x + 4 e y = -2x - 8
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Dicas
- Nunca se esqueça de que uma equação de hipérbole e seu par de assíntotas sempre difere por uma constante.
- Uma hipérbole retangular é aquela onde a=b=constante=c.
- Ao lidar com elas, primeiramente é preciso convertê-la à sua forma padrão, e depois encontrar as assíntotas.
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Avisos
- Lembre-se de sempre colocar as equações em sua forma padrão.
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Referências
Sobre este guia wikiHow
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