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O domínio de uma função é o grupo de números que cabe em determinada função. Em outras palavras, é o grupo de valores x que você pode colocar em uma equação. Já o grupo de possíveis valores y é chamado de alcance da função. Para saber como calcular o domínio de uma função em diversas situações, basta seguir os passos abaixo.
Passos
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Aprenda a definição de domínio . Antes de começar a achar o domínio de funções específicas, você precisa primeiro ter um forte entendimento do que é, de fato, um domínio. O domínio é definido como uma série de valores de entrada para os quais a função produz um valor de saída. Em outras palavras, o domínio é o valor completo de valores x que podem ser usados em uma função para produzir valores y.
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Aprenda como encontrar o domínio de uma variedade de funções. O tipo de função irá determinar qual o melhor método a ser usado. Seguem abaixo os tópicos básicos que você precisa saber a respeito de cada função, os quais serão explicados na próxima pauta:
- Uma função polinomial sem radicais ou variáveis no denominador. Para esse tipo de função, o domínio consiste em todos os números reais.
- Uma função com uma fração com uma variável no denominador. Para encontrar o domínio desse tipo de função, deixe a parte de baixo igual a zero e exclua o valor de x que você encontrar ao resolver a equação.
- Uma função com uma variável dentro de um símbolo de radical.' Para encontrar o domínio desse tipo de função, basta deixar os termos dentro do símbolo de radical em >0 e resolver o problema para encontrar os valores adequados para x.
- Uma função usando o logaritmo natural ln(x). Basta deixar os termos entre parênteses em >0 e resolver o problema.
- Um gráfico. Use o gráfico para conferir quais valores são adequados para x.
- Uma relação. Essa será uma lista de coordenadas x e y. Seu domínio será simplesmente uma lista de coordenadas x.
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Determine corretamente o domínio. A representação matemática correta de um domínio é relativamente fácil, mas é importante escrevê-la corretamente para expressar a resposta correta e obter mais pontos em exames acadêmicos. Aqui vão algumas dicas para escrever o domínio de uma função:
- O formato para expressar o domínio é um parêntese/colchete aberto seguido de 2 pontos finais do domínio separados por uma vírgula, seguidos de parênteses/colchetes fechados.
- Por exemplo, [-1,5). Isso significa que o domínio vai de -1 a 5.
- Use colchetes, como [
e ]
para indicar que um número está incluso no domínio.
- Voltando ao nosso exemplo, [-1,5), o domínio inclui -1.
- Use parênteses, como por exemplo, (
e )
para indicar que um número não está incluso no domínio.
- Logo, no exemplo, [-1,5), 5 não está includo no domínio. O domínio pára obrigatoriamente antes de 5, por exemplo, em 4.999…
- Use “U” (que significa "união") para ligar as partes do domínio que estão separadas por um espaço.'
- Por exemplo, [-1,5) U (5,10]. Isso significa que o domínio vai de -1 a 10, mas que há um espaço no domínio no 5. Isso pode ser o resultado de uma função com “x - 5” no denominador.
- Você pode usar o símbolo "U" conforme preciso caso o domínio contenha vários espaços.
- Use os símbolos de infinito e de infinito negativo para mostrar que o domínio se estende infinitamente em uma das direções.
- Sempre use ( ), e não [ ], com símbolos de infinito.
Publicidade - O formato para expressar o domínio é um parêntese/colchete aberto seguido de 2 pontos finais do domínio separados por uma vírgula, seguidos de parênteses/colchetes fechados.
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Escreva o problema. Suponha que você tenha que resolver o seguinte problema:
- f(x) = 2x/(x 2 - 4)
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Para frações com uma variável no denominador, deixe o denominador igual a zero. Ao calcular o domínio de uma função com fração, deve-se excluir todos os valores de x que deixam o denominador igual a zero, pois é impossível dividir um número por zero. Logo, escreva o denominador como uma equação e deixe-a igual a zero. Veja como:
- f(x) = 2x/(x 2 - 4).
- x 2 - 4 = 0.
- (x - 2 )(x + 2) = 0.
- x ≠ (2, - 2).
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Defina o domínio. Veja como:
- x = todos os números reais exceto 2 e -2.
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Escreva o problema. Imagine-se resolvendo o seguinte problema: Y =√(x-7)
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Deixe os termos dentro do radicando para que sejam maiores ou iguais a zero. Como não dá para obter a raiz quadrada de um número negativo, pode-se obter a raiz quadrada de zero. Logo, deixe os termos dentro do radicando para que sejam maiores ou iguais a zero. Lembre-se que isso vale não apenas para raizes quadradas, mas também para todas as raizes de números pares. Porém, isso não é válido para as raizes de números ímpares, pois é perfeitamente aceitável haver números negativos em raizes ímpares. Observe:
- x-7 ≧ 0.
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Isole a variável. Agora, isole x no lado esquerdo da equação e some 7 em ambos os lados para obter o seguinte resultado:
- x ≧ 7.
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Defina o domínio. Veja como:
- D = [7,∞).
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Encontre o domínio de uma função com uma raiz quadrada quando há soluções múltiplas. Suponha que você esteja trabalhando com a seguinte função: Y = 1/√( ̅x 2 -4). Ao fatorar o denominador e deixá-lo igual a zero, você obtém x ≠ (2, - 2). Confira o desdobramento:
- Agora, verifique a área abaixo de -2 (ao encaixar -3, por exemplo), para ver se os números abaixo de -2 podem ser encaixados no denominador para resultar em um número maior do que 0.
- (-3) 2 - 4 = 5
- Agora, verifique a área entre -2 e 2. Vamos escolher 0, por exemplo.
- 0 2 - 4 = -4, logo, você sae que os números entre -2 e 2 não servem.
- Agora tente um número acima de 2, como +3.
- 3 2 - 4 = 5, logo, os números acima de 2 são válidos.
- Para finalizar, escreva o domínio. Eis o modelo:
- D = (-∞, -2) U (2, ∞)
Publicidade - Agora, verifique a área abaixo de -2 (ao encaixar -3, por exemplo), para ver se os números abaixo de -2 podem ser encaixados no denominador para resultar em um número maior do que 0.
Método 4
Método 4 de 6:
Encontrando o domínio de uma função usando um algoritmo natural
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Escreva o problema. Suponha que você esteja trabalhando com o seguinte problema:
- f(x) = ln(x-8)
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Deixe os termos dentro do parênteses maiores que zero. O algoritmo natural tem um número positivo, então os termos dentro do parênteses são maiores do que zero para que isso seja possível. Observe:
- x - 8 > 0
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Resolva o problema. Isole a variável x somando 8 em ambos os lados. Repare:
- x - 8 + 8 > 0 + 8
- x > 8
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Defina o domínio. Mostre que o domínio para esta equação é igual a todos os números maiores do que 8 até o infinito. Veja como:
- D = (8,∞)
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Observe o gráfico.
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Preste atenção nos valores de x inclusos nele. Parece fácil, mas aqui vão algumas ressalvas:
- Uma linha. Caso você veja uma linha no gráfico que se estende para o infinito, isso significa que todas as versões de x valem, pois o domínio consiste em todos os números reais.
- Uma parábola normal. Se você encontrar uma parábola virada para cima ou para baixo, então o domínio será composto por todos os números reais, pois todos os números no eixo x serão válidos.
- Uma parábola lateral. Caso você veja uma parábola com um vértex em (4,0) que se estende infinitamente à direita, então o seu domínio é D = [4,∞)
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Defina o domínio. Defina o domínio tendo como base o gráfico com o qual você está trabalhando. Em caso de dúvida, mas conhecendo a equação na linha, encaixe as coordenadas x de volta à função para verificar se o resultado está correto.Publicidade
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Anote a relação. Uma relação nada mais é do que uma lista de coordenadas x e y. Imagine-se trabalhando com as seguintes coordenadas: {(1, 3), (2, 4), (5, 7)}
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Escreva as coordenadas x. Elas são: 1, 2, 5.
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Defina o domínio. D = {1, 2, 5}.
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Confira se a relação é uma função. Para que uma relação seja uma função, toda vez que você coloca uma coordenada numérica x, deve-se obter a mesma coordenada y. Logo, se você colocar 3 para x, deve-se obter sempre 6 para y, e assim por diante. A seguinte relação não é uma função porque nela se obtém dois valores diferentes para "y" para cada valor de "x": {(1, 4),(3, 5),(1, 5)}.Publicidade
Referências
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