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O intervalo de uma função é o conjunto de números que a função pode produzir. Em outras palavras, é o conjunto de valores (y) que você obtém quando conecta todos os possíveis valores de x para a função. Este conjunto de valores possíveis de x é chamado domínio. Se você quer saber como encontrar o intervalo de uma função, basta seguir estes passos.
Passos
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Escreva a fórmula. Digamos que você está trabalhando com a fórmula seguinte: f (x) = 3 x 2 + 6 x-2. Isto significa que quando você colocar qualquer x na equação, você obterá o valor de y . Esta é a função de uma parábola. [1] X Fonte de pesquisa
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Encontre o vértice da função, caso seja quadrática. Se você estiver trabalhando com uma linha reta ou qualquer função com um polinômio de número ímpar, como f (x) = 6 x 3 + 2 x + 7, você pode pular este passo. Mas se você estiver trabalhando com uma parábola, ou qualquer equação na qual a coordenada x seja elevada ao quadrado ou elevada a uma potência, você vai precisar delinear o vértice. Para fazer isso, basta usar a fórmula -b/2a para chegar a coordenada x da função 3 x 2 + 6 x-2, onde 3 = a, 6 = -2 e b = c. Neste caso -b é -6, e 2a é 6, então a coordenada x é -6/6 ou -1. [2] X Fonte de pesquisa
- Agora, coloque -1 na função para obter a coordenada y. f(-1) = 3(-1) 2 + 6(-1) -2 = 3 - 6 -2 = -5.
- O vértice é (-1, -5). Faça um gráfico desenhando um ponto no qual a coordenada x é -1 e a coordenada y é -5. Deve ficar no terceiro quadrante do gráfico.
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Encontre alguns outros pontos na função. Para ter uma noção da função, você deve relacionar algumas outras coordenadas de x, para que você possa ter uma noção de como a função é antes de começar a procurar o intervalo. Uma vez que é uma parábola e a coordenada de 2 x é positiva, vai estar apontando para cima. Mas, apenas para cobrir as suas bases, vamos ligar as coordenadas de x para ver as coordenadas de y: [3] X Fonte de pesquisa
- f(-2) = 3(-2) 2 + 6(-2) -2 = -2. Um ponto no gráfico é (-2, -2)
- f(0) = 3(0) 2 + 6(0) -2 = -2. Outro ponto no gráfico é (0, -2)
- f(1) = 3(1) 2 + 6(1) -2 = 7. Um terceiro ponto no gráfico é (1, 7).
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Encontre o intervalo do gráfico. Agora, olhe para as coordenadas de y no gráfico e encontre o ponto mais baixo no qual o gráfico toca uma coordenada y. Neste caso, a menor coordenada y fica no vértice, -5, e o gráfico se estende infinitamente acima deste ponto. Isto significa que o intervalo da função é y = todos os números reais ≥ -5 . [4] X Fonte de pesquisaPublicidade
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Encontre o mínimo da função. Procure a menor coordenada y da função. Digamos que a função atinge seu ponto mais baixo no -3. Esta função também pode ficar menor e infinitamente menor, de modo que não tem um ponto mais baixo definido — é simplesmente infinito.
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Encontre o máximo da função. Digamos que a coordenada y mais alta atinge da função seja 10. Esta função também pode ficar infinitamente maior, por isso não tem um ponto mais alto definido — é simplesmente infinito.
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Determine o intervalo. Isto significa que o intervalo da função, ou o intervalo das coordenadas y, varia de -3 a 10. Então, -3 ≤ f(x) ≤ 10. Esse é o intervalo da função.
- Mas digamos que o gráfico atinge seu ponto mais baixo em y = -3, porém sobre indefinidamente. Então, o intervalo é f (x) ≥ -3.
- Digamos que o gráfico atinge seu ponto mais alto em 10, mas desce indefinidamente. Então, o intervalo é f (x) ≤ 10.
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Escreva a relação. Uma relação é um conjunto de pares ordenados com coordenadas x e y. Você pode olhar para uma relação e determinar o seu domínio e intervalo. Digamos que você está trabalhando com a seguinte relação: {(2, – 3), (4, 6), (3, – 1), (6, 6), (2, 3)}. [5] X Fonte de pesquisa
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Liste as coordenadas y da relação. Para encontrar o intervalo da relação, basta escrever todas as coordenadas y de cada par ordenado: {-3, 6, -1, 6, 3}. [6] X Fonte de pesquisa
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Remova quaisquer coordenadas duplicadas para que você só tenha uma de cada coordenada y. Você vai notar que listou "6" duas vezes. Remova um e sobrará {-3, -1, 6, 3}. [7] X Fonte de pesquisa
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Escreva o intervalo da relação em ordem crescente. Agora, reordene os números do conjunto, mudando do menor para o maior, e você obterá o intervalo. O intervalo da relação {(2, – 3), (4, 6), (3, – 1), (6, 6), (2, 3)} é {-3, -1, 3, 6}. Pronto. [8] X Fonte de pesquisa
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Certifique-se de que a relação seja uma função. Para uma relação ser uma função, cada vez que você colocar um número de uma coordenada x, a coordenada y tem de ser a mesma. Por exemplo, a relação {(2, 3) (2, 4) (6, 9)} não é uma função, porque quando você coloca em 2 como x na primeira vez, você tem um 3, mas na segunda vez, se você colocar um 2, obterá um quatro. Para uma relação ser uma função, se você colocar uma mesma entrada, você sempre deve obter o mesmo produto. Se você colocar em um -7, você deve obter a mesma coordenada de y (qualquer que seja) sempre. [9] X Fonte de pesquisaPublicidade
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Leia o problema. Digamos que você está trabalhando com o seguinte problema: “Roberta está vendendo ingressos para o show de talentos da escola por 5 Reais cada. A quantidade de dinheiro que ela recolhe é uma função de quantos bilhetes que ela vende. Qual é o alcance da função?”
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Escreva o problema como uma função. Neste caso, M representa a quantidade de dinheiro que ela recolhe, e T representa a quantidade de bilhetes que ela vende. No entanto, uma vez que cada bilhete custará 5 Reais, você terá que multiplicar a quantidade de bilhetes vendidos por 5 para encontrar a quantidade de dinheiro. Portanto, a função pode ser escrita como M(t) = 5 t.
- Por exemplo, se ela vender 2 bilhetes, você terá que multiplicar 2 por 5 para obter 10, a quantidade de Reais que ela terá.
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Determine o domínio. Para determinar o intervalo, você deve primeiro encontrar o domínio. O domínio é de todos os possíveis valores de t que funcionam com a equação. Neste caso, Roberta pode vender bilhetes de 0 ou mais - ela não pode vender bilhetes negativos. Como não sabemos o número de lugares em seu auditório da escola, podemos assumir que ela teoricamente pode vender um número infinito de bilhetes. E ela só pode vender ingressos inteiros; ela não pode vender 1/2 bilhete, por exemplo. Portanto, o domínio da função é T = qualquer número inteiro não-negativo.
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Determine o intervalo. O intervalo é a quantidade possível de dinheiro que Roberta pode fazer com sua venda. Você tem que trabalhar com o domínio para encontrar o intervalo. Se você sabe que o domínio é qualquer número inteiro não-negativo e que a fórmula é M(t) = 5t, então você sabe que pode usar esta função para obter o resultado, ou o intervalo de qualquer número inteiro não-negativo. Por exemplo, se ela vender 5 bilhetes, então, M(5) = 5 x 5 ou 25 Reais. Se ela vender 100, então, M(100) = 5 x 100, ou R$ 500. Portanto, o intervalo da função é qualquer inteiro não-negativo que é um múltiplo de 5.
- Isso significa que qualquer número inteiro não-negativo que é um múltiplo de cinco é um produto possível para a entrada da função.
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Dicas
- Veja se você pode encontrar a função inversa. O domínio da função inversa de uma função é igual ao intervalo dessa função.
- Verifique se a função se repete. Qualquer função que se repita ao longo do eixo x terá o mesmo intervalo para a função inteira. Por exemplo, f (x) = sen (x) tem um intervalo entre -1 e 1.
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Referências
- ↑ http://www.khanacademy.org/math/trigonometry/functions_and_graphs/domain_range/v/domain-and-range-of-a-relation
- ↑ http://www.uiowa.edu/~examserv/mathmatters/tutorial_quiz/geometry/findingvertexofparabola.html
- ↑ http://www.khanacademy.org/math/trigonometry/functions_and_graphs/domain_range/v/domain-and-range-of-a-relation
- ↑ http://www.khanacademy.org/math/trigonometry/functions_and_graphs/domain_range/v/domain-and-range-of-a-relation
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/fcns2.htm
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/fcns2.htm
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/fcns2.htm
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/fcns2.htm
- ↑ http://www.mathsisfun.com/sets/domain-range-codomain.html
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