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Como Encontrar o Valor Máximo e Mínimo de uma Função Quadrática Facilmente

Coescrito por Jake Adams

Por diversas razões, você talvez precise definir o valor máximo ou mínimo de uma determinada função quadrática. É possível encontrar esse valor se a função original estiver escrita em forma genérica, $f(x)=ax^{2}+bx+c$ , ou padrão, $f(x)=a(x-h)^{2}+k$ . Finalmente, você também pode usar conceitos de Cálculo básico para definir o valor máximo ou mínimo de qualquer função quadrática.

Método 1

Método 1 de 3:

Começando com a forma genérica da função

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1
Escreva a função na forma genérica. A função quadrática é aquela que possui um termo $x^{2}$ . Ela pode ou não conter um termo $x$ sem expoente. Nesse caso, não deve haver expoente maior que 2. A forma genérica é $f(x)=ax^{2}+bx+c$ . Se necessário, combine termos similares e reordene-os para adequar a função à forma genérica. ^{[1]
X
Fonte de pesquisa}
- Por exemplo, suponha que você tenha começado com $f(x)=3x+2x-x^{2}+3x^{2}+4$ . Combine os termos $x^{2}$ e os termos $x$ para obter a equação em sua forma genérica:
  - $f(x)=2x^{2}+5x+4$
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2
Determine a direção do gráfico. Uma função quadrática resulta no gráfico de uma parábola, que pode se abrir para cima ou para baixo. Se $a$ , o coeficiente do termo $x^{2}$ , for positivo, a parábola estará voltada para cima. Se, por outro lado, $a$ for negativo, ela estará voltada para baixo. Observe os exemplos seguintes: ^{[2]
X
Fonte de pesquisa}
- Para $f(x)=2x^{2}+4x-6$ , $a=2$ , de modo que a parábola se abre para cima.
- Para $f(x)=-3x^{2}+2x+8$ , $a=-3$ , de modo que a parábola se abre para baixo.
- Para $f(x)=x^{2}+6$ , $a=1$ , de modo que a parábola se abre para cima.
- Se a parábola estiver voltada para cima, você encontrará seu valor mínimo. De outro modo, caso esteja voltada para baixo, o valor máximo será encontrado.
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3
Calcule -b/2a. O valor de $-{\frac {b}{2a}}$ representa o valor $x$ do vértice da parábola. Quando a função quadrática está escrita em sua forma genérica $ax^{2}+bx+c$ , use os coeficientes $x$ e $x^{2}$ da seguinte maneira:
- Para uma função $f(x)=x^{2}+10x-1$ , $a=1$ e $b=10$ . Logo, para encontrar o valor do vértice:
  - $x=-{\frac {b}{2a}}$
  - $x=-{\frac {10}{(2)(1)}}$
  - $x=-{\frac {10}{5}}$
  - $x=-5$
- Como segundo exemplo, considere a função $f(x)=-3x^{2}+6x-4$ . Nesse exemplo, $a=-3$ e $b=6$ . Logo, para encontrar o valor x do vértice:
  - $x=-{\frac {b}{2a}}$
  - $x=-{\frac {6}{(2)(-3)}}$
  - $x=-{\frac {6}{-6}}$
  - $x=-(-1)$
  - $x=1$
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4
Encontre o valor f(x) correspondente. Insira o valor de x recém-calculado na função para encontrar o valor correspondente de f(x). Ele representará o máximo ou mínimo da função.
- Para o exemplo acima, $f(x)=x^{2}+10x-1$ , você calculou o valor x para o vértice como sendo $x=-5$ . Insira $-5$ no $x$ da função para determinar o valor máximo.
  - $f(x)=x^{2}+10x-1$
  - $f(x)=(-5)^{2}+10(-5)-1$
  - $f(x)=25-50-1$
  - $f(x)=-26$
- Para o segundo exemplo acima, $f(x)=-3x^{2}+6x-4$ , você determinou que o vértice estava em $x=1$ . Insira $1$ no $x$ da função para determinar o valor máximo:
  - $f(x)=-3x^{2}+6x-4$
  - $f(x)=-3(1)^{2}+6(1)-4$
  - $f(x)=-3+6-4$
  - $f(x)=-1$
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5
Anote os resultados. Revise a questão feita. Se foram pedidas as coordenadas do vértice, é necessário anotar tanto os valores de $x$ quanto de $y$ (ou $f(x)$ ). Se, no entanto, foi pedido apenas o valor máximo ou mínimo, basta escrever o valor $y$ (ou $f(x)$ ). Volte à definição do coeficiente $a$ para certificar-se da existência de um valor máximo ou mínimo.
- Para o primeiro exemplo, $f(x)=x^{2}+10x-1$ , o valor de $a$ é positivo, de modo que você escreverá o valor mínimo. O vértice se encontra em $(-5,-26)$ e o valor mínimo é $-26$ .
- Para o segundo exemplo, $f(x)=-3x^{2}+6x-4$ , o valor de $a$ é negativo e, por isso, você escreverá o valor máximo. O vértice se encontra em $(1,-1)$ e o valor máximo é $-1$ .
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Método 2

Método 2 de 3:

Usando a forma padrão ou do vértice

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1
Escreva a função quadrática em forma padrão, ou do vértice. Essa forma, chamada de forma padrão ou do vértice, pode ser escrita da seguinte forma: ^{[3]
X
Fonte de pesquisa}
- $f(x)=a(x-h)^{2}+k$
- Se a sua função já foi dada nessa forma, basta reconhecer as variáveis $a$ , $h$ e $k$ . Se a função começa na forma genérica $f(x)=ax^{2}+bx+c$ , você deve completar o quadrado para reescrevê-la na forma do vértice.
- Para revisar como completar o quadrado leia este artigo.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/b\/b1\/Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-7-Version-4.jpg\/v4-460px-Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-7-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/b\/b1\/Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-7-Version-4.jpg\/v4-728px-Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-7-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Determine a direção do gráfico. Assim como na função quadrática escrita em forma genérica, você saberá a direção da parábola observando o coeficiente $a$ . Se $a$ , nessa forma padrão, for positivo, a parábola estará voltada para cima. Se, por outro lado, $a$ for negativo, ela estará voltada para baixo. Observe os seguintes exemplos: ^{[4]
X
Fonte de pesquisa}
- Para $f(x)=2(x+1)^{2}-4$ , $a=2$ , positivo, de modo que a parábola se abre para cima.
- Para $f(x)=-3(x-2)^{2}+2$ , $a=-3$ , negativo, de modo que a parábola se abre para baixo.
- Se a parábola estiver voltada para cima, você encontrará seu valor mínimo. Se, por outro lado, estiver voltada para baixo, o valor máximo será encontrado.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/e4\/Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-8-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-8-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/e4\/Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-8-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-8-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Identifique o valor máximo ou mínimo. Quando a função é escrita em forma padrão, para encontrar o valor máximo ou mínimo, basta reconhecer o valor da variável $k$ . Para os dois exemplos dados acima, esses valores são:
- Para $f(x)=2(x+1)^{1}-4$ , $k=-4$ . Esse é o valor mínimo da função, pois a parábola se abre para cima.
- Para $f(x)=-3(x-2)^{2}+2$ , $k=2$ . Esse é o valor máximo da função, porque a parábola se abre para baixo.
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4
Determine o vértice. Se forem pedidas as coordenadas do valor máximo ou mínimo, o ponto será $(h,k)$ . No entanto, observe que, na forma padrão, o termo da equação que fica entre parênteses será $(x-h)$ , sendo necessário o sinal oposto do número que acompanha o $x$ .
- Para $f(x)=2(x+1)^{2}-4$ , o termo entre parênteses é $(x+1)$ , podendo ser reescrito como $(x-(-1))$ . Logo, $h=-1$ . Dessa forma, as coordenadas do vértice dessa função serão $(-1,-4)$ .
- Para $f(x)=-3(x-2)^{2}+2$ , o termo entre parênteses é $(x-2)$ . Logo, $h=2$ . As coordenadas do vértice serão $(2,2)$ .
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Método 3

Método 3 de 3:

Usando Cálculo para derivar o valor mínimo ou máximo

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/03\/Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-10-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-10-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/0\/03\/Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-10-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-10-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
Comece com a forma genérica. Escreva a função quadrática na forma genérica $f(x)=ax^{2}+bx+c$ . Se necessário, você talvez tenha que combinar termos semelhantes e reordená-los para o formato adequado. ^{[5]
X
Fonte de pesquisa}
- Inicie com a função de exemplo $f(x)=2x^{2}-4x+1$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/f5\/Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-11-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-11-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/f\/f5\/Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-11-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-11-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Use a regra da potência para encontrar a primeira derivada. Com noções de Cálculo básico, você encontrará a primeira derivada da função quadrática geral como sendo $f'(x)=2ax+b$ . ^{[6]
X
Fonte de pesquisa}
- Para a função de exemplo $f(x)=2x^{2}-4x+1$ , encontre a derivada:
  - $f'(x)=4x-4$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/fd\/Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-12-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-12-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/f\/fd\/Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-12-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-12-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Iguale a derivada a zero. Lembre-se de que a derivada de uma função indica sua inclinação naquele ponto específico. O mínimo ou máximo de uma função existe no ponto em que a inclinação é igual a zero. Logo, para saber onde ele se encontra, iguale a derivada a zero. Continue com o problema de exemplo acima: ^{[7]
X
Fonte de pesquisa}
- $f'(x)=4x-4$
- $0=4x-4$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/75\/Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-13-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-13-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/75\/Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-13-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-13-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
Encontre o valor de x. Use as regras básicas da Álgebra para reordenar a função e encontrar o valor de x, quando a derivada for igual a zero. Essa solução indica a coordenada x do vértice da função, que é onde o máximo ou mínimo estará. ^{[8]
X
Fonte de pesquisa}
- $0=4x-4$
- $4=4x$
- $1=x$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/7a\/Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-14-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-14-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/7a\/Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-14-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-14-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

5
Insira o valor solucionado de x na função original. O valor mínimo ou máximo da função será o valor de $f(x)$ na posição $x$ selecionada. Insira o valor de $x$ na função original e resolva para encontrar o mínimo ou máximo. ^{[9]
X
Fonte de pesquisa}
- Para a função $f(x)=2x^{2}-4x+1$ , em $x=1$ ,
  - $f(1)=2(1)^{2}-4(1)+1$
  - $f(1)=2-4+1$
  - $f(1)=-1$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/37\/Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-15-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-15-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/3\/37\/Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-15-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily-Step-15-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

A solução dá a você o valor do vértice, ou o ponto máximo ou mínimo. Nessa função de exemplo, $f(x)=2x^{2}-4x+1$ , o vértice se encontra em $(1,-1)$ . O coeficiente $a$ é positivo e, desse modo, abre para cima. Logo, o valor mínimo da função está no eixo y do vértice, que é igual a $-1$ . ^{[10]
X
Fonte de pesquisa}

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Dicas

O eixo de simetria da parábola é $x=h$ .

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Referências

Mais referências

↑ http://www.themathpage.com/acalc/max.htm

Sobre este guia wikiHow

Coescrito por :

Especialista em Exames Preparatórios e Tutor Acadêmico

Este artigo foi coescrito por Jake Adams . Jake Adams é tutor acadêmico e proprietário da Simplifi EDU, um serviço de tutoria acadêmica online que oferece recursos e aulas pré-vestibular. Com mais de 14 anos de experiência profissional, Jake busca oferecer aos seus clientes a melhor experiência em aulas à distância, fornecendo uma rede de excelentes tutores graduados nas melhores universidades dos Estados Unidos. Jake é formado em Administração Internacional e Marketing pela Pepperdine University. Este artigo foi visualizado 138 674 vezes.

Categorias: Álgebra

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