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Um trinômio é uma expressão algébrica composta de três termos. Provavelmente, você aprenderá a fatorar trinômios quadráticos, que são trinômios escritos na forma ax 2 + bx + c. Existem diversos truques que podem ser aplicados a diferentes tipos de trinômios quadráticos, mas você vai ficar melhor e mais rápido com a prática. Os polinômios de graus maiores, com termos como 3 ou x 4 , nem sempre podem ser resolvidos com os mesmos métodos, mas você pode muitas vezes recorrer à fatoração simples ou à substituição de termos para transformá-los em problemas que possam ser solucionados com qualquer fórmula quadrática.
Passos
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Aprenda a propriedade distributiva (também conhecida como FOIL em inglês) , para multiplicar expressões como (x+2)(x+4). Antes de começar a fatorar, é bom saber como isso funciona:
- Multiplique os primeiros termos: ( x +2)( x +4) = x 2 + __
- Multiplique os termos de fora : ( x +2)(x+ 4 ) = x 2 + 4x + __
- Multiplique os termos de dentro : (x+ 2 )( x +4) = x 2 +4x+ 2x + __
- Multiplique os últimos termos: (x+ 2 )(x+ 4 ) = x 2 +4x+2x+ 8
- Simplifique: x 2 + 4x+2x +8 = x 2 + 6x +8
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Entenda a fatoração. Quando você multiplica dois binômios entre si usando a distributiva, acaba com um trinômio (uma expressão com três termos) na forma a x 2 + b x+ c , na qual “a”, “b” e “c” são números comuns. Se você começar com uma equação na mesma forma, é possível fatorá-la, transformando-a de volta em dois binômios.
- Se a equação não estiver escrita nessa ordem, leve os termos para a posição adequada. Por exemplo, reescreva 3x - 10 + x 2 como x 2 + 3x - 10 .
- Como o maior expoente é 2 (x 2 ), essa expressão é chamada de "quadrática".
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Reserve um espaço para a resposta do método apresentado. Por ora, basta escrever (__ __) (__ __) no espaço dedicado à resposta. Preencheremos esses campos em breve.
- Não coloque sinais de + ou – entre os termos em branco ainda, pois não sabemos qual será usado.
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Preencha os primeiros termos. Em problemas simples, nos quais o primeiro termo de seu trinômio é apenas x 2 , os termos da primeira posição sempre serão x e x . Esses são os fatores de x 2 , pois x vezes x = x 2 .
- O nosso exemplo, x 2 + 3x - 10, começa com x 2 , então podemos escrever:
- (x __)(x __)
- Veremos problemas mais elaborados na próxima seção, incluindo trinômios que começam com um termo como 6x 2 ou -x 2 . Por enquanto, acompanhe o problema do exemplo.
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Use a fatoração para adivinhar os últimos termos. Se você voltar e reler o método usado inicialmente, verá que multiplicar os últimos termos dá o termo final no polinômio (aquele sem nenhum x). Portanto, para fatorar, precisamos encontrar dois números que se multipliquem para formar o último termo.
- Em nosso exemplo, x 2 + 3x - 10, o último termo é -10.
- Quais são os fatores de -10? Quais dois números multiplicados entre si resultam em -10?
- Há algumas possibilidades: -1 vezes 10, 1 vez -10, -2 vezes 5, ou 2 vezes -5. Anote esses pares em algum lugar para não esquecer.
- Não altere a resposta ainda. Ela ainda tem esta aparência: (x __)(x __) .
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Teste quais possibilidades funcionam com a multiplicação de fora e de dentro. Nós reduzimos os últimos termos a poucas possibilidades. Teste cada uma delas multiplicando os termos externos e internos, então comparando o resultado com o nosso trinômio. Por exemplo:
- O termo com "x" do nosso problema original é "3x", então é a esse valor que queremos chegar no teste.
- Teste -1 e 10: (x-1)(x+10). Valor de fora + de dentro = 10x - x = 9x. Não.
- Teste 1 e -10: (x+1)(x-10). -10x + x = -9x. Isso não está certo. Na verdade, depois de testar -1 e 10, você sabe que a resposta 1 e -10 será apenas o oposto do resultado acima: -9x, ao invés de 9x.
- Teste -2 e 5: (x-2)(x+5). 5x - 2x = 3x. Isso coincide com o polinômio original, então essa é a resposta correta: (x-2)(x+5) .
- Em casos simples como esse, quando não há uma constante na frente do x 2 , você pode usar um atalho: basta somar os dois fatores e colocar um "x" depois (-2+5 → 3x). Isso não vai funcionar com problemas mais complicados, por isso é bom se lembrar do caminho completo descrito acima.
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Recorra à fatoração simples para facilitar os problemas mais elaborados. Digamos que você precise fatorar 3x 2 + 9x - 30 . Procure um número que fatore todos os três termos (o "máximo divisor comum" deles, ou MDC). [1] X Fonte de pesquisa Nesse caso, é 3:
- 3x 2 = (3)(x 2 )
- 9x = (3)(3x)
- -30 = (3)(-10)
- Portanto, 3x 2 + 9x - 30 = (3)(x 2 +3x-10). Nós podemos fatorar o novo trinômio usando os passos do início deste artigo. A resposta será (3)(x-2)(x+5) .
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Procure fatores mais elaborados. Às vezes, o fator pode envolver variáveis, ou talvez você precise fatorar algumas vezes até encontrar a expressão mais simples possível. Aqui estão alguns exemplos:
- 2x 2 y + 14xy + 24y = (2y) (x 2 + 7x + 12)
- x 4 + 11x 3 - 26x 2 = (x 2 ) (x 2 + 11x - 26)
- -x 2 + 6x - 9 = (-1) (x 2 - 6x + 9)
- Não se esqueça de fatorar o novo trinômio mais uma vez, usando as etapas do início. Confira a sua resposta e encontre problemas semelhantes de exemplo perto do final deste artigo.
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Resolva problemas com um número na frente do x 2 . Alguns trinômios quadráticos não podem ser simplificados até alcançar o tipo de problema mais fácil. Aprenda a resolver problemas como 3x 2 + 10x + 8 e, em seguida, pratique sozinho com os problemas de exemplo no final deste artigo:
- Monte a resposta: (__ __)(__ __)
- Os primeiros termos têm um "x" cada e, quando multiplicados, resultam em 3x 2 . Há somente uma opção possível aqui: (3x __)(x __) .
- Liste os fatores de 8. Nossas opções são 1 vezes 8, ou 2 vezes 4.
- Teste-os usando os termos de fora e de dentro. Perceba que a ordem dos fatores importa, uma vez que o termo de fora está sendo multiplicado por "3x", não por "x". Experimente todas as possibilidades até chegar a um resultado de fora + dentro de 10x (de acordo com o problema original):
- (3x+1)(x+8) → 24x+x = 25x Não .
- (3x+8)(x+1) → 3x+8x = 11x Não .
- (3x+2)(x+4) → 12x+2x=14x Não .
- (3x+4)(x+2) → 6x+4x=10x Sim , esse é o fator correto.
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Recorra à substituição por trinômios de grau mais elevado. Seu livro de matemática pode surpreendê-lo com uma equação de expoente alto x 4 , mesmo depois de já ter usado a fatoração simples para facilitar o problema. Tente substituir por uma nova variável que transforme a equação em algo que você saiba resolver. Por exemplo:
- x 5 +13x 3 +36x
- =(x)(x 4 +13x 2 +36)
- Vamos inventar uma nova variável. Diremos que y = x 2 e faremos as substituições:
- (x)(y 2 +13y+36)
- =(x)(y+9)(y+4). Agora, volte a usar a variável original:
- =(x)(x 2 +9)(x 2 +4)
- = (x)(x±3)(x±2)
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Procure por números primos. Verifique se a constante no primeiro ou no terceiro termo do trinômio é um número primo. Um número primo só pode ser dividido igualmente por si mesmo e por 1, portanto há apenas um par possível de fatores binomiais.br>
- Por exemplo, em x 2 + 6x + 5, "5" é um número primo, portanto o binômio deve ficar assim: (__ 5)(__ 1).
- No problema 3x 2 +10x+8, 3 é um número primo, portanto o binômio deve ficar assim: (3x __)(x __).
- Para o problema 3x 2 +4x+1, tanto "3" como "1" são números primos, portanto a única solução possível é (3x+1)(x+1). (Você ainda deve realizar essa multiplicação para conferir seu cálculo, pois algumas expressões não podem ser fatoradas – por exemplo, 3x2 + 100x + 1 não tem fatores).
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Verifique se o trinômio é um quadrado perfeito. Um trinômio quadrado perfeito pode ser fatorado em dois binômios idênticos, e o fator geralmente é escrito como (x+1) 2 , em vez de (x+1)(x+1). Aqui estão alguns comuns que tendem a aparecer em problemas:
- x 2 +2x+1=(x+1) 2 , and x 2 -2x+1=(x-1) 2
- x 2 +4x+4=(x+2) 2 , and x 2 -4x+4=(x-2) 2
- x 2 +6x+9=(x+3) 2 , and x 2 -6x+9=(x-3) 2
- Em um trinômio quadrado perfeito na forma de a x 2 + b x + c , os termos "a" e "c" sempre são quadrados perfeitos positivos (como 1, 4, 9, 16 ou 25), e o termo b (positivo ou negativo) é sempre igual a 2(√a * √c). [2] X Fonte de pesquisa
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Verifique se não existe solução. Nem todos os trinômios podem ser fatorados. Se você estiver empacado em um trinômio quadrático (ax 2 +bx+c), use a fórmula quadrática para encontrar o resultado. Se as únicas respostas forem a raiz quadrada de um número negativo, então não existe uma solução real, portanto não há fatores.
- Para trinômios não quadráticos, use o critério de Eisenstein, que é descrito na seção de dicas.
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Respostas e Exemplos de Problemas
- Respostas para os problemas de fatoração mais elaborados.
Esses são os problemas da parte sobre trinômios “mais elaborados”. Nós já os simplificamos, tornando-os um problema mais fácil. Agora, tente resolvê-los usando os passos do início, então confira seus cálculos aqui:
- (2y)(x 2 + 7x + 12) = (x+3)(x+4)
- (x 2 )(x 2 + 11x - 26) = (x+13)(x-2)
- (-1)(x 2 - 6x + 9) = (x-3)(x-3) = (x-3) 2
- Tente resolver problemas de fatoração mais complexos.
Esses problemas têm um fator comum em cada termo que precisa ser fatorado primeiro. Destaque o espaço após os sinais de igual para ver a resposta e confira seus cálculos aqui:
- 3x 3 +3x 2 -6x = (3x)(x+2)(x-1) ← destaque esse espaço para ver sua resposta
- -5x 3 y 2 +30x 2 y 2 -25y 2 x = (-5xy^2)(x-5)(x-1)
- Pratique com problemas difíceis.
Esses problemas não podem ser fatorados em equações mais fáceis, então você vai precisar elaborar uma resposta na forma de (_x + __)(_x + __) através de testes:
- 2x 2 +3x-5 = (2x+5)(x-1) ← destaque para ver a resposta
- 9x 2 +6x+1 = (3x+1)(3x+1)=(3x+1) 2 (Dica: talvez seja necessário tentar mais de um par de fatores para 9x).
Dicas
- Se você não souber fatorar um trinômio quadrático (ax 2 +bx+c), pode usar a fórmula quadrática para encontrar o valor de x.
- Embora você não precise saber como fazer isso, é possível usar o critério de Eisenstein para determinar rapidamente se um polinômio é irredutível e não pode ser fatorado. Esse critério se aplica a qualquer polinômio, mas funciona particularmente bem com trinômios. Se houver um número primo "p" que divida igualmente os dois últimos termos e satisfaça às seguintes condições, então o polinômio é irredutível:
- O termo constante (sem variável) é um múltiplo de p, mas não de p 2 .
- O termo principal (por exemplo, "a" em ax 2 +bx+c) não é um múltiplo de p.
- Por exemplo, 14x 2 + 45x + 51 é irredutível, pois há um número primo (3) que divide igualmente 45 e 51, mas não 14, e 51 não pode ser dividido igualmente por 3 2 .
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Avisos
- Embora isso seja válido para equações quadráticas, os trinômios fatoráveis não são necessariamente o produto de dois binômios. Por exemplo: x 4 + 105x + 46 = (x 2 + 5x + 2)(x 2 - 5x + 23).
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Referências
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