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Em uma equação cúbica, a maior potência é , a operação tem soluções ou raízes e a própria fórmula é expressa como . Embora pareça intimidadora e traga desafios consideráveis em sua resolução, basta fazer uso da abordagem adequada (e uma boa porção de conhecimentos de base) para domar mesmo a mais complexa dentre elas. Você pode tentar, dentre outras opções, usar a fórmula quadrática, encontrar soluções inteiras ou identificar os discriminantes.
Passos
-
Observe se a equação cúbica contém uma constante (valor ). Equações desse grau se apresentam na forma . Entretanto, o único requerimento essencial é , indicando que outros elementos não precisam estar presentes a fim de que a equação seja considerada cúbica. [1] X Fonte de pesquisa
- Se ela contém uma constante (valor ), será necessário utilizar outro método de resolução.
- Se , você não tem uma equação cúbica em mãos. [2] X Fonte de pesquisa
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Fatore o fora da equação. Como ela não possui uma constante, cada termo presente na equação terá também uma variável . Isso indica que um pode ser fatorado e colocado para fora a fim, simplificando a equação. Faça isso e reescreva-a no formato . [3] X Fonte de pesquisa
- Suponha, por exemplo, que a sua equação cúbica inicial seja
- Ao fatorar o na equação, você obterá
-
Se possível, fatore a equação quadrática resultante. Em muitos casos, você poderá inclusive fatorar a equação quadrática ( ) que resultou do passo anterior. Se estiver trabalhando com , por exemplo, você poderá: [4] X Fonte de pesquisa
- Fatorar o e colocá-lo para fora:
- Fatorar a equação quadrática entre parênteses:
- Igualar cada um dos fatores a , obtendo as soluções , e .
- Você também pode fatorar por agrupamento.
-
Caso não consiga avançar em uma fatoração convencional, resolva a porção entre parênteses com a fórmula quadrática. É possível encontrar os valores nos quais a equação quadrática é igual a inserindo as variáveis , e na fórmula . Avance nesse passo para encontra duas das respostas para a equação cúbica. [5] X Fonte de pesquisa
- No exemplo, insira os valores para
,
e
(ou
,
e
, respectivamente) na equação quadrática:
- Resposta 1:
- Resposta 2:
- No exemplo, insira os valores para
,
e
(ou
,
e
, respectivamente) na equação quadrática:
-
Use como resposta na equação cúbica as soluções quadráticas e o número zero. Embora equações quadráticas tenham apenas duas soluções, as cúbicas têm três — você já conheceu duas delas, que estavam na porção "quadrática" do problema entre parênteses. Em casos nos quais a equação pode ser trabalhada com esse método de resolução "fatorada", a terceira resposta será sempre igual a . [6] X Fonte de pesquisa
- Fatorar a sua equação no formato a divide em dois fatores: um deles sendo a variável à esquerda e o outro sendo a porção quadrática entre parênteses. Se qualquer deles for igual a , toda a equação se igualará também a .
- Desse modo, ambas as respostas na porção quadrática entre parênteses (cujos fatores são iguais a ) são respostas também para a equação cúbica — uma vez que o próprio faz com que o fator da esquerda seja igual a esse valor.
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-
Observe se a equação cúbica tem uma constante. Se ela estiver escrita no formato com o valor de sendo diferente de ( ), fatorar a equação quadrática não funcionará. Mas não se preocupe! Há outras opções, como a descrita aqui. [7] X Fonte de pesquisa
- Tome por exemplo a equação . Nesse caso, para se ter um no lado direito da igualdade é preciso somar a ambos.
- A nova equação será . Como , não é possível usar o método da equação quadrática.
-
Determine os fatores de e . Comece a resolver a equação cúbica determinando quais são os fatores do coeficiente de (ou ) e da constante final (ou ). Lembre-se: fatores são os números que podem ser multiplicados a fim de se obter um novo número. [8] X Fonte de pesquisa
- Por exemplo, se você pode obter das multiplicações e , isso significa que , , e são todos fatores de .
- No problema de exemplo, e . Aqui, os fatores de são e e os fatores de são , , e .
-
Divida os fatores de pelos fatores de . Faça uma lista contendo os valores obtidos pela divisão de cada fator de por cada fator de . Como resultado, você geralmente obterá muitas frações e alguns números inteiros. As soluções inteiras da equação cúbica serão ou os números inteiros nessa lista ou suas contrapartes negativas. [9] X Fonte de pesquisa
- Na equação de exemplo, ao se colocar os fatores de ( e ) sobre os fatores de ( , , e ) obtém-se o seguinte: , , , e . A seguir, adiciona-se cada valor negativo à lista para completá-la: , , , , , , , , e . As soluções inteiras da equação cúbica estarão entre essas possibilidades.
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Para uma abordagem mais simples (e mais demorada), insira os valores integrais manualmente. Depois de obter a sua lista de números, você poderá encontrar as soluções inteiras da equação cúbica testando cada um deles manualmente e descobrindo quais deles resultará em . Ao se inserir , por exemplo, obtém-se: [10] X Fonte de pesquisa
- ou , que obviamente não resulta em . Ao chegar em uma conclusão como essa, passe para o próximo valor de sua lista.
- Usando , você obterá , que resulta em . Isso significa que é uma das soluções integrais que você busca.
-
Trabalhe com a divisão sintética se quiser uma abordagem mais complexa, mas mais rápida. Caso não pretenda gastar tempo inserindo os valores um a um, experimente um método mais veloz envolvendo uma técnica denominada divisão sintética . Basicamente, você sinteticamente dividirá os valores integrais pelos coeficientes originais , , e de sua equação cúbica. Caso o resto seja igual a , entenda que o valor utilizado é uma das respostas à sua equação cúbica. [11] X Fonte de pesquisa
- Esse é um tema complexo que vai além do escopo do presente artigo. Entretanto, aqui está uma amostra de como chegar a uma das soluções da equação cúbica através da divisão sintética:
- Como o resto final é igual a , você sabe que uma das soluções inteiras da equação cúbica será .
Publicidade - Esse é um tema complexo que vai além do escopo do presente artigo. Entretanto, aqui está uma amostra de como chegar a uma das soluções da equação cúbica através da divisão sintética:
-
Escreva os valores de , , e . Nesse método, você precisará lidar com os coeficientes dos termos em sua equação. Anote os valores de , , e antes de começar para não se esquecer de cada um. [12] X Fonte de pesquisa
- Tomando por base a equação de exemplo , escreva , , e assuma implicitamente que seu coeficiente seja igual a .
-
Calcule o discriminante de zero usando a fórmula adequada. Essa abordagem na equação quadrática faz uso de alguns cálculos complicados, mas ao seguir o processo com cuidado você notará que se trata de um método valioso para os casos de outro modo insolúveis. Para começar, encontre (discriminante de ), o primeiro de diversos valores importantes a serem necessários no futuro, inserindo os valores respectivos na equação . [13] X Fonte de pesquisa
- A discriminante é apenas um número que traz informações sobre as raízes de um polinômio (você possivelmente já conhece a discriminante quadrática ).
- No problema de exemplo, faça o seguinte:
-
Prossiga calculando . A próxima quantidade necessária, (discriminante de ), requer um pouco mais de esforço, mas será calculada de forma similar a . Insira os valores respectivos na equação para obter o valor de . [14] X Fonte de pesquisa
- No exemplo, avance da seguinte maneira:
- No exemplo, avance da seguinte maneira:
-
Calcule: . A seguir, calcula-se a discriminante a partir dos valores de e . No caso da raiz cúbica, se a discriminante for positiva a equação terá três soluções reais. Se for igual a , no entanto, isso indica que há uma ou duas soluções reais, estando algumas delas compartilhadas. Em caso de um valor negativo, a equação tem apenas uma solução. [15] X Fonte de pesquisa
- Uma equação cúbica tem sempre ao menos uma solução real, pois o gráfico sempre cruzará o eixo uma vez ou mais.
- No exemplo, como
e
, determinar o valor de
passa a ser relativamente simples. Prossiga da seguinte maneira:
Desse modo, a equação possui uma ou duas respostas.
-
Calcule: . O último valor necessário será , e essa importante quantidade permitirá a você encontrar as três raízes existentes. Prossiga normalmente, substituindo e conforme a necessidade.
- No exemplo, o cálculo de
se dará da seguinte maneira:
- No exemplo, o cálculo de
se dará da seguinte maneira:
-
Calcule as três raízes com as variáveis encontradas. As respostas à sua equação cúbica serão dadas pela fórmula , onde e é igual a , ou . A seguir, insira os valores conforme a necessidade e resolva a equação — muito esforço matemático ocorre nessa etapa, mas você chegará a três respostas viáveis!
- É possível solucionar o exemplo observando quando é igual a , e . As respostas obtidas desses testes serão as soluções possíveis da equação cúbica — e qualquer uma que quando inserida resulte em estará correta.
- Por exemplo, como colocar um em resulta na resposta , essa será uma das soluções de sua equação cúbica.
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![C={\sqrt[ {3}]{\left({\frac {{\sqrt {\Delta _{{1}}^{{2}}-4\Delta _{{0}}^{{3}}}}+\Delta _{{1}}}{2}}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c02731e1c13e30ea0e1fc78450932c78d899af24)
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Referências
- ↑ http://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/mc-ty-cubicequations-2009-1.pdf
- ↑ https://sciencing.com/solve-cubic-equations-8136094.html
- ↑ https://sciencing.com/solve-cubic-equations-8136094.html
- ↑ http://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/mc-ty-cubicequations-2009-1.pdf
- ↑ https://www.purplemath.com/modules/quadform.htm
- ↑ https://math.vanderbilt.edu/schectex/courses/cubic/
- ↑ http://www.rasmus.is/uk/t/F/Su52k02.htm
- ↑ http://www.rasmus.is/uk/t/F/Su52k02.htm
- ↑ http://www.rasmus.is/uk/t/F/Su52k02.htm
- ↑ http://www.rasmus.is/uk/t/F/Su52k02.htm
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- ↑ http://www2.trinity.unimelb.edu.au/~rbroekst/MathX/Cubic%20Formula.pdf
- ↑ http://www2.trinity.unimelb.edu.au/~rbroekst/MathX/Cubic%20Formula.pdf
- ↑ http://www2.trinity.unimelb.edu.au/~rbroekst/MathX/Cubic%20Formula.pdf
- ↑ http://www2.trinity.unimelb.edu.au/~rbroekst/MathX/Cubic%20Formula.pdf
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