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Aprender a simplificar expressões algébricas é requisito essencial para dominar a álgebra básica, além de ser uma ferramenta extremamente valiosa para todos os matemáticos. A simplificação permite a um matemático tornar expressões complexas, longas ou inadequadas a formas mais simples ou convenientes, ainda mantendo-se equivalentes. A habilidade da simplificação básica é consideravelmente fácil de aprender — mesmo até para aqueles avessos à matemática. Ao seguir alguns passos simples, é possível simplificar muitos dos mais comuns tipos de expressões algébricas sem possuir qualquer tipo de conhecimento matemático. Leia o Passo 1 para começar!
Passos
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Entendendo conceitos importantes
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Defina “ termos afins ” por variáveis e potências. Na álgebra, “números afins” têm a mesma configuração de variáveis, sendo elevados às mesmas potências. Em outras palavras, para que dois termos sejam “afins”, devem ter as mesmas variáveis, ou nenhuma, e cada uma delas deve ser elevada à mesma potência, ou a nenhuma. A ordem de variáveis dentro do termo não importa. [1] X Fonte de pesquisa
- Por exemplo, 3x 2 e 4x 2 são termos afins porque cada um deles contém a variável x elevada à segunda potência. No entanto, x e x 2 não são termos afins, pois cada um possui x elevado a uma potência distinta. De modo similar, -3yx e 5xz não são termos afins porque cada um deles tem um conjunto distinto de variáveis.
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Fatore ao escrever números como produto de dois fatores. A fatoração é o conceito de representar dado número como produto de dois fatores multiplicados juntamente. Números podem ter mais de um conjunto de fatores — por exemplo, o número 12 pode ser formado por 1×12, 2×6 e 3×4, de modo a ser possível declarar que 1, 2, 3, 4, 6 e 12 são todos fatores de 12. Outro modo de pensar é considerar que os fatores de um número são aqueles números pelos quais ele é igualmente divisível. [2] X Fonte de pesquisa
- Por exemplo, se desejamos fatorar 20, podemos escrevê-lo como 4×5 .
- Note que termos variáveis podem também ser fatorados. -20x, por exemplo, pode ser escrito como 4(-5x) .
- Números primos não podem ser fatorados porque são apenas divisíveis por eles mesmos e por 1.
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Use o acrônimo PEMDAS para lembrar-se da ordem de operações. Ocasionalmente, simplificar uma expressão significa nada mais do que realizar as operações nessa expressão até que isso não mais seja possível. Nesses casos, é importante lembrar-se da ordem de operações de modo a não cometer quaisquer erros aritméticos. O acrônimo PEMDAS pode ser de grande ajuda quando for preciso lembrar-se da ordem de operações — as letras correspondem aos tipos de operações que devem ser efetuadas, em ordem:
- P arênteses.
- E xpoentes.
- M ultiplicação.
- D ivisão.
- A dição.
- S ubtração.
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Escreva a sua equação. As mais simples equações algébricas, aquelas que envolvem somente alguns termos variáveis com coeficientes inteiros e sem frações, radicais, etc., podem frequentemente ser solucionados em poucos passos. Como ocorre na maioria dos problemas matemáticos, o primeiro passo para simplificar a equação é escrevê-la! [3] X Fonte de pesquisa
- Como problema-exemplo, para os próximos passos, consideraremos a expressão 1+2x-3+4x .
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Identifique os termos afins. A seguir, pesquise a sua equação por termos afins. Lembre-se que termos afins têm tanto as mesmas variáveis como os mesmos expoentes.
- Por exemplo, identifiquemos termos afins na equação 1+2x-3+4x. Ambos, 2x e 4x, têm a mesma variável elevada ao mesmo expoente (nesse caso, os x não estão elevados a nenhuma potência). Adicionalmente, 1 e -3 são termos afins, já que nenhum tem variáveis. Desse modo, em nossa equação, 2x e 4x e 1 e -3 são termos afins.
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Combine termos afins. Agora que você identificou termos afins, pode combiná-los para simplificar a equação. Some os termos (ou subtraia-os, no caso de termos negativos) para reduzir cada conjunto de termos com variáveis e expoentes iguais a um termo singular. [4] X Fonte de pesquisa
- Somemos os termos afins em nosso exemplo:
- 2x+4x = 6x .
- 1+(-3) = -2 .
- Somemos os termos afins em nosso exemplo:
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Crie uma expressão simplificada a partir de seus termos simplificados. Depois de combinar os seus termos afins, construa uma expressão a partir de seu conjunto de termos novos e simplificados. Você deve obter uma expressão mais simples, com um termo para cada conjunto diferente de variáveis e expoentes na expressão original. Essa nova expressão é igual à primeira.
- Em nosso exemplo, os termos simplificados são 6x e -2, de modo que a nova expressão será 6x-2 . Essa expressão simplificada é igual à original (1+2x-3+4x), mas menor e mais fácil de resolver. Ela é também mais simples de fatorar, o que, como veremos a seguir, é outra importante habilidade na simplificação.
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Obedeça a ordem de operações ao combinar termos afins. Em expressões extremamente simples como aquela no exemplo anterior, identificar os termos é simples. No entanto, em expressões mais complexas, como as que envolvem termos em parênteses, frações e radicais, termos afins que podem ser combinados talvez não estejam aparentes de imediato. Nesses casos, siga a ordem de operações, realizando operações nos termos existentes na expressão conforme necessário, até que apenas soma e subtração permaneçam. [5] X Fonte de pesquisa
- Por exemplo, consideremos a equação 5(3x-1)+x(2x/2)+8-3x. Seria incorreto identificar imediatamente 3x e 2x como termos afins e combiná-los, apesar dos parênteses, pois devemos realizar outras operações em primeiro lugar. Inicialmente, efetuaremos as operações aritméticas na expressão de acordo com a ordem de operações, a fim de obter termos que possamos
usar. Veja a seguir:
- 5(3x-1)+x(2x/2)+8-3x.
- 15x-5+x(x)+8-3x.
- 15x-5+x 2
.
- Agora , uma vez que restam apenas as operações de adição e subtração, poderemos combinar os termos afins.
- x 2 +12x+3 .
Publicidade - Por exemplo, consideremos a equação 5(3x-1)+x(2x/2)+8-3x. Seria incorreto identificar imediatamente 3x e 2x como termos afins e combiná-los, apesar dos parênteses, pois devemos realizar outras operações em primeiro lugar. Inicialmente, efetuaremos as operações aritméticas na expressão de acordo com a ordem de operações, a fim de obter termos que possamos
usar. Veja a seguir:
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Identifique o máximo divisor comum na expressão. A fatoração é uma forma de simplificar expressões ao remover fatores comuns nos termos da expressão. Para começar, encontre o máximo divisor comum que todos os termos na expressão compartilham — em outras palavras, o maior número pelo qual todos os termos na expressão são igualmente divisíveis. [6] X Fonte de pesquisa
- Usemos a equação 9x 2 +27x-3. Note que todos os termos da equação são divisíveis por 3. Uma vez que os termos não são igualmente divisíveis por outro número maior, podemos determinar que 3 é o máximo divisor comum na expressão.
-
Divida os termos da expressão pelo máximo divisor comum. A seguir, divida cada termo na equação pelo máximo divisor comum encontrado. Os termos resultantes terão menores coeficientes do que na expressão original. [7] X Fonte de pesquisa
- Fatoremos a nossa equação por seu máximo divisor comum, 3. Para tal, dividiremos cada termo por 3.
- 9x 2 /3 = 3x 2
- 27x/3 = 9x
- -3/3 = -1
- Logo, a nossa nova expressão é 3x 2 +9x-1 .
- Fatoremos a nossa equação por seu máximo divisor comum, 3. Para tal, dividiremos cada termo por 3.
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Represente a sua expressão como produto do máximo divisor comum e os termos restantes. A nova expressão não é igual à anterior, ou seja, não se pode dizer que está simplificada. Para torná-la igual à anterior, é preciso observar o fato de que ela foi dividida pelo máximo divisor comum. Feche a sua expressão entre parênteses e defina o máximo divisor comum da equação original como coeficiente para a expressão entre parênteses. [8] X Fonte de pesquisa
- No caso de nossa expressão-exemplo, 3x 2 +9x-1, fecharemos a expressão entre parênteses e a multiplicaremos pelo máximo divisor comum da equação original para obter 3(3x 2 +9x-1) . Essa equação é igual à original, 9x 2 +27x-3.
-
Use a fatoração para simplificar frações. Você pode agora estar se perguntando por qual razão a fatoração é útil se, depois de remover o máximo divisor comum, a nova expressão deve ser novamente multiplicada por ele. Na verdade, a fatoração permite a um matemático realizar diversos truques ao simplificar uma expressão. Uma das mais simples envolve tirar vantagem do fato de que multiplicar o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número resultará em uma fração equivalente. Veja a seguir:
- Digamos que a nossa expressão-exemplo original, 9x 2
+27x-3, seja o numerador de uma fração maior com 3 em seu denominador. Essa fração teria a seguinte aparência: (9x 2
+27x-3)/3. Poderemos usar a fatoração para simplificar essa fração:
- Substituamos a forma fatorada de nossa expressão original pela expressão no numerador: [3(3x 2 +9x-1)]/3.
- Observe que, agora, tanto numerador quanto denominador compartilham o coeficiente 3. Ao dividir a ambos por 3, teremos: (3x 3 +9x-1)/1.
- Uma vez que toda fração que tem “1” em seu denominador é igual aos termos no numerador, podemos afirmar que a fração original pode ser simplificada para 3x 2 +9x-1 .
Publicidade - Digamos que a nossa expressão-exemplo original, 9x 2
+27x-3, seja o numerador de uma fração maior com 3 em seu denominador. Essa fração teria a seguinte aparência: (9x 2
+27x-3)/3. Poderemos usar a fatoração para simplificar essa fração:
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Simplifique frações dividindo os fatores comuns. Como observado acima, se numerador e denominador de uma expressão compartilharem fatores, esses fatores poderão ser removidos inteiramente da fração. Às vezes isso exigirá a fatoração do numerador, do denominador ou de ambos (como foi o caso descrito acima), enquanto em outros momentos os fatores compartilhados estarão aparentes de imediato. Note que também é possível dividir os termos do numerador pela expressão no denominador, de modo individual, a fim de obter uma expressão simplificada. [9] X Fonte de pesquisa
- Façamos um exemplo que não requeira necessariamente a fatoração imediata. No caso da fração (5x 2
+10x+20)/10, podemos talvez dividir cada termo no numerador pelo número 10 no denominador a fim de simplificá-la, embora o coeficiente “5” em 5x 2
não seja maior do que 10 e, por essa razão, não possa ter 10 como divisor.
- Fazê-lo nos traz ao resultado [(5x 2 )/10]+x+2. Se preferirmos, podemos reescrever o primeiro termo por (1/2)x 2 para obter o resultado (1/2)x 2 +x+2.
- Façamos um exemplo que não requeira necessariamente a fatoração imediata. No caso da fração (5x 2
+10x+20)/10, podemos talvez dividir cada termo no numerador pelo número 10 no denominador a fim de simplificá-la, embora o coeficiente “5” em 5x 2
não seja maior do que 10 e, por essa razão, não possa ter 10 como divisor.
-
Use fatores quadrados para simplificar radicais. Expressões sob o símbolo de raiz quadrada são chamadas de expressões radicais. Elas podem ser simplificadas identificando-se fatores quadrados (fatores que são quadrados de um dado número) e realizando-se nelas a operação de raiz quadrada, separadamente, a fim de removê-las de debaixo do sinal de raiz quadrada. [10] X Fonte de pesquisa
- Façamos o seguinte exemplo: √(9). Se pensamos no número 90 como produto de dois de seus fatores, 9 e 10, podemos tomar a raiz quadrada de 9 para obter o número inteiro 3 e removê-lo do radical. Em outras palavras:
- √(90).
- √(9×10).
- [√(9)×√(10)].
- 3×√(10).
- 3√10 .
- Façamos o seguinte exemplo: √(9). Se pensamos no número 90 como produto de dois de seus fatores, 9 e 10, podemos tomar a raiz quadrada de 9 para obter o número inteiro 3 e removê-lo do radical. Em outras palavras:
-
Some expoentes ao multiplicar dois termos exponenciais; subtraia-os ao dividir esses termos. Algumas expressões algébricas exigem a multiplicação ou divisão de termos exponenciais. No lugar de computar a cada termo exponencial e multiplicar ou dividir manualmente, simplesmente some expoentes ao multiplicar e subtraia-os ao dividir, para poupar tempo. Esse conceito pode também ser usado para se simplificar expressões variáveis. [11] X Fonte de pesquisa
- Por exemplo, consideremos a expressão 6x 3
×8x 4
+(x 17
/x 15
). Em cada ocasião na qual é necessário multiplicar ou dividir por expoentes, subtrairemos ou somaremos, respectivamente, a fim de encontrar rapidamente um termo simplificado. Veja a seguir:
- 6x 3 ×8x 4 +(x 17 /x 15 )
- (6×8)x 3+4 +(x 17-15 )
- 48x 7 +x 2
- A razão pela qual isso funciona é a seguinte:
- Multiplicar termos exponenciais é, em essência, como multiplicar longas cadeias de termos não exponenciais. Por exemplo, uma vez que x 3 = x×x×x e x 5 = x×x×x×x×x, x 3 ×x 5 = (x×x×x)×(x×x×x×x×x), ou x 8
- De modo similar, dividir termos exponenciais é como dividir longas cadeias de termos não exponenciais. x 5 /x 3 = (x×x×x×x×x)/(x×x×x). Uma vez que cada termo no numerador pode ser cancelado por um termo combinante no denominador, restamos com dois x no numerador e nenhum no denominador, obtendo a resposta x 2 .
Publicidade - Por exemplo, consideremos a expressão 6x 3
×8x 4
+(x 17
/x 15
). Em cada ocasião na qual é necessário multiplicar ou dividir por expoentes, subtrairemos ou somaremos, respectivamente, a fim de encontrar rapidamente um termo simplificado. Veja a seguir:
Dicas
- Lembre-se sempre de que você deve pensar nesses números como possuindo sinais de positivo ou negativo. Muitas pessoas têm dificuldade por pensar “ Qual sinal devo colocar aqui? ”
- Peça ajuda quando necessário!
- Simplificar expressões algébricas não é fácil, mas, quando você pegar o jeito, fará uso dessa habilidade ao longo de toda a sua vida.
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Avisos
- Sempre procure por termos afins e não se deixe enganar por expoentes.
- Não some acidentalmente algum número, expoente ou operação que não pertença à expressão.
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Referências
- ↑ http://www.webmath.com/liketerms.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/factoring.html
- ↑ https://www.softschools.com/math/topics/combining_like_terms/
- ↑ https://www.mathwarehouse.com/algebra/like-terms/how-to-combine-like-terms-in-math.php
- ↑ https://www.freemathhelp.com/combining-like-terms.html
- ↑ http://www.mesacc.edu/~scotz47781/mat120/notes/factoring/gcf/gcf.html
- ↑ http://www.mesacc.edu/~scotz47781/mat120/notes/factoring/gcf/gcf.html
- ↑ http://www.mesacc.edu/~scotz47781/mat120/notes/factoring/gcf/gcf.html
- ↑ https://www.bbc.com/bitesize/guides/zwv9y4j/revision/1
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