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A expressão radical é uma expressão algébrica que inclui uma raiz quadrada, cúbica ou de outra ordem. É comum que essas expressões descrevam o mesmo número, mesmo parecendo bastante diferentes (ex.: 1/(√(2) - 1) = √(2)+1). A solução é escolher uma "forma canônica" preferida para elas. Se duas expressões, ambas na forma canônica, ainda parecerem diferentes, elas realmente não representam o mesmo número. Os matemáticos concordam que a forma canônica das expressões radicais deve:
- Evitar frações em radicais;
- Evitar expoentes fracionados;
- Evitar radicais no denominador;
- Evitar multiplicar radicais por radicais;
- Ter apenas termos fora da raiz quadrada embaixo dos radicais.
Um uso prático dessa forma pode ser encontrado nos testes de múltipla escolha. Se você resolver um problema, mas não encontrar a sua resposta entre as alternativas, experimente simplificá-la para a forma canônica. Como os autores dos testes costumam colocar as respostas nessa forma, fazer o mesmo com a sua deixará aparente qual é a resposta certa. Nos testes dissertativos, instruções como "simplifique sua resposta" ou "simplifique todos os radicais" significam que o aluno deve aplicar os passos a seguir até que a resposta satisfaça a forma canônica descrita acima. Essa forma também pode ser útil para a resolução das equações, embora algumas sejam mais fáceis de se resolver usando uma forma não canônica.
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Simplifique os radicais que sejam quadrados perfeitos. Eles são o produto de qualquer número que seja multiplicado por ele mesmo, como 81, que é o produto de 9 x 9. Para simplificar um quadrado perfeito dentro de um radical, é só remover o símbolo do radical e escrever o resultado da raiz quadrada.
- Por exemplo, 121 é um quadrado perfeito, porque 11 x 11 é igual a 121. Assim, você pode simplificar √(121) para 11, removendo o símbolo da raiz quadrada.
- Para facilitar o processo, memorize os primeiros 12 quadrados perfeitos: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
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Simplifique os radicais que sejam cubos perfeitos. Eles são o produto de qualquer número multiplicado por si mesmo duas vezes, como 27, que é o produto de 3 x 3 x 3. Para simplificar uma expressão radical com um cubo perfeito, é só remover o símbolo do radical e escrever o resultado da raiz cúbica do cubo perfeito.
- Por exemplo, 343 é um cubo perfeito, pois trata-se do produto de 7 x 7 x 7. Portanto, a raiz cúbica do cubo perfeito 343 é 7.
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Ou, converta de outra maneira, se preferir (às vezes, há boas razões para tanto), mas não misture termos como √(5) + 5 (3/2) na mesma expressão. Digamos que decida usar a notação radical e use √(n) para a raiz quadrada de n e 3 √(n) para a raiz cúbica.
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Encontre o expoente fracionário e converta-o para o equivalente radical, x (a/b) = a raiz b de x a
- Caso o índice do radical seja uma fração, livre-se dela também. Por exemplo, a raiz (2/3) de 4 = √(4) 3 = 2 3 = 8.
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Converta os expoentes negativos em suas frações equivalentes: x -y = 1/ y
- Isso só se aplica a expoentes constantes e racionais. Caso tenha termos como 2 x , deixe-os como estão, mesmo que o contexto do problema dê a entender que o x possa ser fracionário ou negativo.
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Combine os termos semelhantes e simplifique as expressões racionais que resultarem.Publicidade
A forma canônica requer expressar a raiz de uma fração em termos de raízes de números inteiros.
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Examine os termos abaixo de cada radical para ver se contêm frações. Em caso positivo:
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Troque-a por uma divisão entre dois radicais usando a identidade √(a/b) = √(a)/√(b).
- Não use tal identidade se o denominador for negativo ou uma expressão variável que possa ser negativa. Nesse caso, simplifique a fração primeiro.
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Simplifique os quadrados perfeitos que surgirem, ou seja, converta √(5/4) para √(5)/√(4) e simplifique até chegar em √(5)/2.
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Faça outras simplificações, como reduzir frações complexas , combinar termos semelhantes, etc.Publicidade
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Expresse uma expressão radical imperfeita em seus fatores. Tratam-se de números que se multiplicam para criar um outro número; por exemplo, 5 e 4 são dois fatores do número 20. Para dividir uma expressão radical imperfeita, anote todos os fatores daquele número (ou quantos você conseguir, se o número for grande), até encontrar um quadrado perfeito.
- Por exemplo, experimente listar todos os fatores do número 45: 1, 3, 5, 9, 15 e 45. O 9 é um fator de 45 que também é um quadrado perfeito (9=3 2 ). 9 x 5 = 45.
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Tire os fatores que forem raízes quadradas perfeitas do radical. O 9 é uma raiz quadrada porque é o produto de 3 x 3. Tire-o do radical e coloque um 3 na frente dele, deixando o 5 dentro do radical. Se você "devolver" o 3 para o radical, ele será multiplicado por si mesmo para criar o 9 novamente, que multiplicará o 5 para criar 45 outra vez. 3 raiz de 5 é apenas uma maneira simplificada de dizer raiz de 45.
- Isto é, √(45) = √(9*5) = √(9)*√(5) = 3*√(5).
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Encontre um quadrado perfeito na variável. A raiz quadrada de a elevado à segunda potência seria |a| . Você pode simplificar para "a" somente se souber que a variável é positiva. A raiz cúbica de a elevado à terceira potência pode ser simplificada como a raiz quadrada de a quadrado vezes a , pois você soma os expoentes quando multiplica variáveis, de modo que a quadrado vezes a é igual a a ao cubo.
- Assim, o quadrado perfeito do a ao cubo é a quadrado.
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Tire as variáveis que forem quadrados perfeitos do radical. Em seguida, pegue a quadrado e tire-o do radical para transformá-lo em um |a| simples. A forma simplificada de a ao cubo é apenas |a| raiz de a .
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Combine os termos semelhantes e simplifique as expressões racionais que surgirem como resultado.Publicidade
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A forma canônica exige que o denominador seja um número inteiro, ou um polinômio, se contiver indeterminados.
- Se o denominador for formado por um termo dentro de um radical, como [x]/√(5), multiplique o numerador e o denominador por aquele radical para obter [x]*√(5)/√(5)*√(5) = [x]*√(5)/5.
- Para as raízes cúbicas ou maiores, multiplique pela potência apropriada do radical para tornar o denominador racional. Se o denominador for 3 √(5), multiplique o numerador e o denominador por 3 √(5) 2 .
- Se o denominador for uma soma ou diferença de raízes quadradas, como √(2) + √(6), multiplique o numerador e o denominador pela mesma expressão conjugada com o operador oposto. Assim, [x]/(√(2) + √(6)) = [x](√(2)-√(6))/(√(2) + √(6))(√(2)-√(6)). Em seguida, use a identidade da diferença de quadrados [(a+b)(a-b) = a 2
-b 2
] para racionalizar o denominador, simplificando (√(2) + √(6))(√(2)-√(6)) = √(2)^2 - √(6)^2 = 2-6 = -4.
- Esse passo também funciona para denominadores como 5 + √(3), já que cada número inteiro é uma raiz quadrada de outro número inteiro. [1/(5 + √(3)) = (5-√(3))/(5 + √(3))(5-√(3)) = (5-√(3))/(5 2 -√(3) 2 ) = (5-√(3))/(25-3) = (5-√(3))/22]
- Esse método serve para uma soma de raízes quadradas, como √(5)-√(6)+√(7). Se você a agrupar como (√(5)-√(6))+√(7) e multiplicar por (√(5)-√(6))-√(7), sua resposta não será racional, mas terá a seguinte forma: a+b*√(30), onde a e b são racionais. Em seguida, você pode repetir o processo com o conjugado de a+b*√(30), e (a+b*√(30))(a-b*√(30)) é racional. Você pode usar esse truque uma vez para diminuir o número de radicais no denominador, e várias vezes para eliminar todos eles.
- Ele funciona até com denominadores contendo raízes maiores, como a raiz quádrupla de 3 mais a raiz sétima de 9. É só multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Infelizmente, o processo para encontrar o conjugado do denominador não é tão claro. Para entendê-lo, procure por um bom livro de teoria algébrica dos números.
- Se o denominador for formado por um termo dentro de um radical, como [x]/√(5), multiplique o numerador e o denominador por aquele radical para obter [x]*√(5)/√(5)*√(5) = [x]*√(5)/5.
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Agora, o denominador foi racionalizado, mas o numerador está uma bagunça. Você terá o número inicial mais até três vezes o conjugado do denominador. Expanda o produto como faria com um produto de polinômios. Veja se algo pode ser cancelado ou simplificado e combine os termos semelhantes se possível.
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Caso o denominador seja um número inteiro negativo, multiplique o numerador e o denominador por -1 para torná-lo positivo.Publicidade
Dicas
- Você pode procurar por sites que simplifiquem a expressão radical por você. É só digitar a equação no radical e pressionar Enter para que a resposta simplificada apareça.
- Muitos dos passos acima não serão usados em problemas simples. Para os mais complicados, alguns passos podem precisar ser aplicados mais de uma vez. Faça as simplificações de maneira contínua enquanto resolve o problema e verifique a resposta final para ver se ela se encaixa nos critérios da forma canônica descritos na introdução. Caso a resposta seja canônica, você terminou. Enquanto ela não for canônica, um desses passos dirá a você o que ainda precisa ser feito para se chegar a essa forma.
- A maioria das referências à "forma canônica preferida" de uma expressão radical também se aplica a números complexos (i = √(-1)). Mesmo que eles sejam escritos com um i em vez de um radical, evite deixar o i no denominador.
- Parte das instruções acima presume que todos os radicais são raízes quadradas. Os princípios gerais são os mesmos para as raízes cúbicas ou maiores, embora alguns deles, especialmente racionalizar o denominador, sejam mais difíceis de se aplicar. Você também precisará decidir se deseja termos como 3 √(4) ou 3 √(2) 2 (dependendo da forma preferida pelos seus livros didáticos).
- Parte das instruções usa o termo "forma canônica" de maneira errada, quando na verdade está descrevendo apenas a forma normal. A diferença é que a forma canônica exigiria 1+√(2) ou √(2)+1 e diria que a outra é imprópria, enquanto a forma normal assume que você, leitor, é inteligente o bastante para reconhecer que os dois números são "obviamente iguais", mesmo que não estejam escritos da mesma maneira. "Óbvio", nesse caso, significa usando apenas propriedades aritméticas como a da adição, que é comutativa, não propriedades algébricas (√(2) é uma raiz não negativa de x 2-2 ). Esperamos que os leitores perdoem esse pequeno abuso da terminologia.
- Caso as instruções pareçam ambíguas ou contraditórias, aplique todos os passos consistentes e não ambíguos e escolha a forma que se parecer mais com a das expressões radicais no seu livro.
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