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Simplificar uma raiz quadrada não é tão difícil quanto parece. Para isso, você só precisa fatorar o número e tirar as raízes de qualquer quadrado perfeito que encontrar. Depois que memorizar alguns quadrados perfeitos comuns e souber como fatorar um número, estará bem avançado no caminho para simplificar uma raiz quadrada.
Passos
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Entenda a fatoração. O objetivo de simplificar uma raiz quadrada é reescrevê-la numa forma simples de entender e usar em problemas matemáticos. Fatorar quebra um número grande em dois ou mais fatores menores, por exemplo, transformando 9 em 3 x 3. Assim que descobrimos esses fatores, podemos reescrever a raiz quadrada numa forma mais simples, às vezes até transformando-a num número inteiro normal. Por exemplo, √9 = √(3x3) = 3. Siga os passos abaixo para aprender como fazer esse processo com raízes quadradas mais complicadas. [1] X Fonte de pesquisa
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Divida pelo menor número primo possível. Se o número abaixo da raiz quadrada for par, divida-o por 2. Se for ímpar, tente dividi-lo por 3 em vez disso. Se nenhum desses lhe der um número inteiro, siga por essa lista testando os outros primos até obter um número inteiro como resultado. Você só precisa testar os números primos, já que todos os outros têm primos como fatores. Por exemplo, não precisa testar o 4, pois qualquer número divisível por 4 também é divisível por 2, que você já tentou. [2] X Fonte de pesquisa
- 2.
- 3.
- 5.
- 7.
- 11.
- 13.
- 17.
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Reescreva a raiz quadrada como um problema de multiplicação. Deixe tudo embaixo da raiz e não se esqueça de incluir ambos os fatores. Por exemplo, se estiver tentando simplificar √98, siga o passo acima para descobrir que 98 ÷ 2 = 49, portanto 98 = 2 x 49. Reescreva o "98" na raiz quadrada original usando essa informação: √98 = √(2 x 49). [3] X Fonte de pesquisa
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Repita com um dos números remanescentes. Antes que possamos simplificar a raiz, continuamos a fatorar até que a tenhamos quebrado em duas partes idênticas. Isso faz sentido se você pensar no que significa uma raiz quadrada: o termo √(2 x 2) significa "o número que você pode multiplicar por si mesmo que seja igual a 2 x 2." Obviamente, esse número é 2! Com esse objetivo em mente, vamos repetir os passos acima para nosso problema de exemplo, √(2 x 49):
- O 2 já está fatorado ao máximo (em outras palavras, é um daqueles números primos da lista acima). Vamos ignorá-lo por enquanto e tentar dividir o 49 em vez disso.
- 49 não pode ser dividido igualmente por 2, 3 ou 5. Você pode testar isso com uma calculadora ou fazendo a divisão. Como esses números não rendem resultados inteiros, vamos ignorá-los e continuar tentando.
- 49 pode ser dividido igualmente por 7. 49 ÷ 7 = 7, portanto 49 = 7 x 7.
- Reescreva o problema: √(2 x 49) = √(2 x 7 x 7).
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Termine a simplificação "tirando" um número inteiro. Depois que quebrar o problema em dois fatores idênticos, pode transformá-lo num número inteiro comum fora da raiz quadrada. Deixe todos os outros fatores dentro dela. Por exemplo, √(2 x 7 x 7) = √(2)√(7 x 7) = √(2) x 7 = 7√(2). [4] X Fonte de pesquisa
- Mesmo se for possível continuar fatorando, você não precisa uma vez que tiver encontrado dois fatores idênticos. Por exemplo, √(16) = √(4 x 4) = 4. Se continuássemos fatorando, terminaríamos com a mesma resposta, mas fazendo um trabalho maior.√(16) = √(4 x 4) = √(2 x 2 x 2 x 2) = √(2 x 2)√(2 x 2) = 2 x 2 = 4.
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Multiplique os números inteiros, se houver mais de um. Em algumas raízes quadradas grandes, você pode simplificar mais de uma vez. Se isso acontecer, multiplique os inteiros para chegar ao problema final. Aqui está um exemplo:
- √180 = √(2 x 90).
- √180 = √(2 x 2 x 45).
- √180 = 2√45, mas isso ainda pode ser simplificado.
- √180 = 2√(3 x 15).
- √180 = 2√(3 x 3 x 5).
- √180 = (2)(3√5).
- √180 = 6√5.
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Escreva "não pode ser simplificado" se não houver dois fatores idênticos. Algumas raízes quadradas já estão na forma mais simples. Se continuar fatorando até que cada termo abaixo da raiz quadrada seja um número primo (listado em um dos passos acima) e não houver dois números iguais, não há nada que você possa fazer. Pode ter recebido uma pergunta pegadinha! Por exemplo, vamos tentar simplificar √70: [5] X Fonte de pesquisa
- 70 = 35 x 2, portanto √70 = √(35 x 2).
- 35 = 7 x 5, portanto √(35 x 2) = √(7 x 5 x 2).
- Todos esses três números são primos, por isso não podem ser fatorados. Além disso, são todos diferentes, por isso não é possível "retirar" um inteiro. √70 não pode ser simplificado.
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Memorize alguns quadrados perfeitos. Elevar um número ao quadrado, ou multiplicá-lo por ele mesmo, cria um quadrado perfeito. Por exemplo, 25 é um quadrado perfeito porque 5 x 5, ou 5 2 é igual a 25. Memorizar pelos menos os dez primeiros quadrados perfeitos pode ajudá-lo a reconhecer e a simplificar rapidamente as raízes quadradas perfeitas. Aqui estão os primeiros 10 quadrados perfeitos:
- 1 2 = 1.
- 2 2 = 4.
- 3 2 = 9.
- 4 2 = 16.
- 5 2 = 25.
- 6 2 = 36.
- 7 2 = 49.
- 8 2 = 64.
- 9 2 = 81.
- 10 2 = 100.
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Encontre a raiz quadrada de um quadrado perfeito. Se reconhecer um quadrado perfeito abaixo de um símbolo de raiz quadrada, pode imediatamente transformá-lo em sua raiz quadrada e se livrar do símbolo de radical (√). Por exemplo, se vir o número 25 abaixo do símbolo de raiz quadrada, você já sabe que a resposta é 5 porque 25 é um quadrado perfeito. Aqui está a mesma lista acima, dessa vez indo da raiz quadrada para a resposta:
- √1 = 1.
- √4 = 2.
- √9 = 3.
- √16 = 4.
- √25 = 5.
- √36 = 6.
- √49 = 7.
- √64 = 8.
- √81 = 9.
- √100 = 10.
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Fatore os números em quadrados perfeitos. Use os quadrados perfeitos para auxiliá-lo quando estiver seguindo o método de fatoração ao simplificar raízes quadradas. Se notar alguma forma de obter um quadrado perfeito, isso pode lhe poupar tempo e esforço. Aqui estão algumas dicas: [6] X Fonte de pesquisa
- √50 = √(25 x 2) = 5√2. Se os dois últimos dígitos de um número terminarem em 25, 50 ou 75, você sempre pode obter 25.
- √1700 = √(100 x 17) = 10√17. Se os dois últimos dígitos terminarem em 00, você sempre pode obter 100.
- √72 = √(9 x 8) = 3√8. Reconhecer múltiplos de 9 costuma ser útil. Aqui está um truque para isso: se, ao somar todos os dígitos de um número, o resultado for 9, então o 9 será sempre um fator.
- √12 = √(4 x 3) = 2√3. Não há nenhum truque especial aqui, mas geralmente é fácil checar se um número pequeno é divisível por 4. Lembre-se disso quando estiver procurando por fatores.
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Fatore um número com mais de um quadrado perfeito. Se os fatores de um número contiverem mais de um quadrado perfeito, mova todos para fora do símbolo de radical. Se encontrar vários quadrados perfeitos durante o processo de simplificação, mova todas as raízes quadradas deles para fora do símbolo de √ e multiplique-as. Por exemplo, vamos simplificar √72:
- √72 = √(9 x 8).
- √72 = √(9 x 4 x 2).
- √72 = √(9) x √(4) x √(2).
- √72 = 3 x 2 x √2.
- √72 = 6√2.
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Saiba que o símbolo de radical (√) é o símbolo de raiz quadrada. Por exemplo, no problema √25, "√" é o símbolo do radical. [7] X Fonte de pesquisa
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Saiba que o radicando é o número dentro do símbolo de radical. Você precisa achar a raiz quadrada desse número. Por exemplo, no problema √25, "25" é o radicando. [8] X Fonte de pesquisa
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Saiba que o coeficiente é o número do lado de fora do símbolo do radical. Esse é o número pelo qual a raiz quadrada está sendo multiplicada; ele fica à esquerda do símbolo de √. Por exemplo, no problema 7√2, "7" é o coeficiente.
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Saiba que um fator é um número que divide outro por igual, sem deixar resto. Por exemplo, 2 é um fator de 8 porque 8 ÷ 4 = 2, mas 3 não é um fator de 8 porque 8 ÷ 3 não resulta em um número inteiro. Como outro exemplo: 5 é um fator de 25 porque 5 x 5 = 25.
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Entenda qual o significado de simplificar uma raiz quadrada. Isso significa apenas fatorar e retirar quaisquer quadrados perfeitos do radicando, movendo-os para a esquerda do símbolo de radical e deixando o outro fator dentro do símbolo. Se o número for um quadrado perfeito, o símbolo de radical desaparecerá depois que você escrever a raiz. Por exemplo, √98 pode ser simplificado para 7√2.Publicidade
Dicas
- Uma forma de achar raízes quadradas perfeitas que fatoram num número é olhar pela lista de quadrados perfeitos, começando com o próximo menor número comparado com o seu radicando. Por exemplo, ao procurar pelo quadrado perfeito que cabe no 27, pode começar no 25 e descer a lista até o 16, parando no 9 , quando achar aquele é fator de 27.
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Avisos
- Simplificar não é o mesmo que avaliar. Em nenhum ponto nesse processo você deve obter um número com ponto decimal!
- As calculadoras podem ser úteis para números grandes, mas quanto mais praticar fazer isso sozinho, mais fácil ficará.
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Referências
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/algebra/rational-exponents-and-radicals/alg1-simplify-square-roots/v/simplifying-square-roots-1
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/algebra/rational-exponents-and-radicals/alg1-simplify-square-roots/v/simplifying-square-roots-1
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/algebra/rational-exponents-and-radicals/alg1-simplify-square-roots/v/simplifying-square-roots-1
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/algebra/rational-exponents-and-radicals/alg1-simplify-square-roots/v/simplifying-square-roots-1
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/algebra/rational-exponents-and-radicals/alg1-simplify-square-roots/v/simplifying-square-roots-1
- ↑ https://mathbitsnotebook.com/Algebra1/Radicals/RADSimplifyingRadicals.html
- ↑ http://www.mathwords.com/r/radical.htm
- ↑ http://www.mathwords.com/r/radicand.htm
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