Загрузить PDF
Загрузить PDF
Если под рукой есть калькулятор, извлечь кубический корень из любого числа не составит никаких проблем. Но если калькулятора нет или вы просто хотите произвести впечатление на окружающих, извлеките кубический корень вручную. Большинству людей описываемый здесь процесс покажется довольно сложным, но с практикой извлекать кубические корни станет намного легче. Перед тем как приступить к чтению данной статьи, вспомните основные математические операции и вычисления с числами в кубе.
Шаги
-
Запишите задачу. Извлечение кубического корня вручную похоже на деление в столбик, но с некоторыми нюансами. Сначала запишите задачу в определенной форме. [1] X Источник информации
- Запишите число, из которого нужно извлечь кубический корень. Число разбейте на группы по три цифры, причем отсчет начните с десятичной запятой. Например, нужно извлечь кубический корень из 10. Напишите это число так: 10, 000 000. Дополнительные нули призваны повысить точность результата.
- Возле и над числом нарисуйте знак корня. Представьте, что это горизонтальная и вертикальная линии, которые вы рисуете при делении в столбик. Единственное отличие – это форма двух знаков.
- Над горизонтальной линией поставьте десятичную запятую. Сделайте это непосредственно над десятичной запятой исходного числа.
-
Запомните результаты возведения в куб целых чисел. Они будут использованы в вычислениях.
-
Найдите первую цифру ответа. Выберите куб целого числа, который ближе всего, но меньше первой группы из трех цифр. [2] X Источник информации
- В нашем примере первая группа из трех цифр – это число 10. Найдите наибольший куб, который меньше 10. Таким кубом является 8, а кубический корень из 8 равен 2.
- Над горизонтальной линией над цифрой 10 напишите цифру 2. Затем запишите значение операции = 8 под 10. Проведите черту и вычтите 8 из 10 (как при обычном делении в столбик). В результате получится 2 (это первый остаток).
- Таким образом, вы нашли первую цифру ответа. Подумайте, является ли данный результат достаточно точным. В большинстве случаев это будет очень приблизительный ответ. Возведите результат в куб, чтобы выяснить, насколько он близок к исходному числу. В нашем примере: = 8, что не очень близко к 10, поэтому вычисления нужно продолжить.
-
Найдите следующую цифру ответа. К первому остатку припишите вторую группу из трех цифр, а слева от полученного числа проведите вертикальную черту. С помощью полученного числа вы найдете вторую цифру ответа. В нашем примере к первому остатку (2) нужно приписать вторую группу из трех цифр (000), чтобы получить число 2000. [3] X Источник информации
- Слева от вертикальной линии вы напишите три числа, сумма которых равна некоему первому множителю. Оставьте пустые пространства для этих чисел, а между ними поставьте знаки «плюс».
-
Найдите первое слагаемое (из трех). В первом пустом пространстве запишите результат умножения числа 300 на квадрат первой цифры ответа (она записана над знаком корня). В нашем примере первой цифрой ответа является 2, поэтому 300*(2^2) = 300*4 = 1200. Напишите 1200 в первом пустом пространстве. Первым слагаемым является число 1200 (плюс еще два числа, которые нужно найти). [4] X Источник информации
-
Найдите вторую цифру ответа. Выясните, на какое число нужно умножить 1200, чтобы результат был близок, но не превышал 2000. Таким числом может быть только 1, так как 2*1200 = 2400, что больше 2000. Напишите 1 (вторая цифра ответа) после 2 и десятичной запятой над знаком корня. [5] X Источник информации
-
Найдите второе и третье слагаемые (из трех). Множитель состоит из трех чисел (слагаемых), первое из которых вы уже нашли (1200). Теперь нужно найти оставшиеся два слагаемых. [6] X Источник информации
- Умножьте 3 на 10 и на каждую цифру ответа (они записаны над знаком корня). В нашем примере: 3*10*2*1 = 60. Прибавьте этот результат к 1200 и получите 1260.
- Наконец, возведите в квадрат последнюю цифру ответа. В нашем примере последней цифрой ответа является 1, поэтому 1^2 = 1. Таким образом, первый множитель равен сумме следующих чисел: 1200 + 60 + 1 = 1261. Запишите это число слева от вертикальной черты.
-
Умножьте и вычтите. Умножьте последнюю цифру ответа (в нашем примере это 1) на найденный множитель (1261): 1*1261 = 1261. Запишите это число под 2000 и вычтите его из 2000. Вы получите 739 (это второй остаток).
-
Подумайте, является ли полученный ответ достаточно точным. Делайте это каждый раз, после того как завершите очередное вычитание. После первого вычитания ответ был равен 2, что не является точным результатом. После второго вычитания ответ равен 2,1. [7] X Источник информации
- Чтобы проверить точность ответа, возведите его в куб: 2,1*2,1*2,1 = 9,261.
- Если вы считаете, что ответ достаточно точный, вычисления можно не продолжать; в противном случае проделайте еще одно вычитание.
-
Найдите второй множитель. Чтобы попрактиковаться в вычислениях и получить более точный результат, повторите действия, которые описаны выше. [8] X Источник информации
- Ко второму остатку (739) припишите третью группу из трех цифр (000). Вы получите число 739000.
- Умножьте 300 на квадрат числа, которое записано над знаком корня (21): = 132300.
- Найдите третью цифру ответа. Выясните, на какое число нужно умножить 132300, чтобы результат был близок, но не превышал 739000. Таким числом является 5: 5*132200 = 661500. Напишите 5 (третья цифра ответа) после 1 над знаком корня.
- Умножьте 3 на 10 на 21 и на последнюю цифру ответа (они записаны над знаком корня). В нашем примере: .
- Наконец, возведите в квадрат последнюю цифру ответа. В нашем примере последней цифрой ответа является 5, поэтому
- Таким образом, второй множитель равен: 132300 + 3150 + 25 = 135475.
-
Умножьте последнюю цифру ответа на второй множитель. После того как вы нашли второй множитель и третью цифру ответа, действуйте следующим образом:
- Умножьте последнюю цифру ответа на найденный множитель: 135475*5 = 677375.
- Вычтите: 739000-677375 = 61625.
- Подумайте, является ли полученный ответ достаточно точным. Для этого возведите его в куб: .
-
Запишите ответ. Результат, записанный над знаком корня, является ответом с точностью до двух цифр после запятой. В нашем примере кубический корень из 10 равен 2,15. Проверьте ответ, возведя его в куб: 2,15^3 = 9,94, что приблизительно равно 10. Если вам нужна большая точность, продолжите вычисления (как описано выше).Реклама
-
Используйте кубы чисел, чтобы определить верхний и нижний пределы. Если нужно извлечь кубический корень практически из любого числа, найдите кубы (некоторых чисел), которые близки к данному числу.
- Например, нужно извлечь кубический корень из 600. Так как и , то значение кубического корня из 600 лежит между 8 и 9. Поэтому используйте числа 512 и 729 в качестве верхнего и нижнего пределов ответа.
-
Оцените второе число. Первое число вы нашли благодаря знанию кубов целых чисел. Теперь целое число превратите в десятичную дробь, приписав к нему (после десятичной запятой) некоторую цифру от 0 до 9. Необходимо найти десятичную дробь, куб которой будет близок, но меньше исходного числа.
- В нашем примере число 600 находится между числами 512 и 729. Например, к первому найденному числу (8) припишите цифру 5. Получится число 8,5.
-
Оцените полученное число, возведя его в куб. Сделайте это, чтобы проверить, что куб близок, но не больше исходного числа.
- В нашем примере:
-
Если нужно, оцените другое число. Сравните куб полученного числа с исходным числом. Если куб полученного числа больше исходного числа, попробуйте оценить меньшее число. Если же куб полученного числа намного меньше исходного числа, оценивайте большие числа до тех пор, пока куб одного из них не превысит исходное число.
- В нашем примере: > 600. Таким образом, оцените меньшее число 8,4. Возведите это число в куб и сравните его с исходным числом: . Этот результат меньше исходного числа. Таким образом, значение кубического корня из 600 лежит между 8,4 и 8,5.
-
Оцените следующее число, чтобы повысить точность ответа. К каждому числу, которое вы оценили последним, приписывайте цифру от 0 до 9 до тех пор, пока не получите точный ответ. В каждом оценочном раунде нужно найти верхний и нижний пределы, между которыми находится исходное число.
- В нашем примере: и . Исходное число 600 ближе к 592, чем к 614. Поэтому к последнему числу, которое вы оценили, припишите цифру, которая ближе к 0, чем к 9. Например, таким числом является 4. Поэтому возведите в куб число 8,44.
-
Если нужно, оцените другое число. Сравните куб полученного числа с исходным числом. Если куб полученного числа больше исходного числа, попробуйте оценить меньшее число. Короче говоря, нужно найти такие два числа, кубы которых чуть больше и чуть меньше исходного числа.
- В нашем примере . Это чуть больше исходного числа, поэтому оцените другое (меньшее) число, например, 8,43: . Таким образом, значение кубического корня из 600 лежит между 8,43 и 8,44.
-
Выполняйте описанный процесс до тех пор, пока не получите ответ, точность которого вас устроит. Оцените следующее число, сравните его с исходным, затем, если нужно, оцените другое число и так далее. Обратите внимание, что каждая дополнительная цифра после десятичной запятой повышает точность ответа.
- В нашем примере куб числа 8,43 меньше исходного числа менее чем на 1. Если нужна большая точность, возведите в куб число 8,434 и получите, что , то есть результат меньше исходного числа менее чем на 0,1.
Реклама
-
Вспомните биноминальный ряд. Биноминальный ряд – это результат возведения бинома (двучлена) в некоторую степень, в данном случае в куб. Чтобы понять описанный здесь алгоритм извлечения кубического корня, сначала вспомните, как возводится в куб двучлен. Скорее всего, вы изучали это в школе (и, вероятно, вскоре забыли, как большинство людей). Переменными и обозначьте некоторые однозначные числа. Тогда двузначное число можно записать в виде бинома . [9] X Источник информации
- Здесь член представляет собой разряд десятков, то есть если – это любое однозначное число, то – это уже соответствующее двузначное число. Например, если = 2, а = 6, то = 26, то есть вы получили двузначное число 26. [10] X Источник информации
-
Возведите двучлен в куб. Сделайте это для того, чтобы понять процесс извлечения кубического корня, который описан в первом разделе. Вычислите = = (здесь мы опустили несколько этапов возведения в куб, чтобы не загромождать статью вычислениями). [11] X Источник информации
- Подробное объяснение можно найти здесь .
-
Уясните алгоритм деления в столбик. Обратите внимание, что описанный здесь метод извлечения кубического корня очень напоминает деление в столбик. При делении в столбик нужно найти число (частное), при умножении которого на делитель получится делимое. В описанном методе в качестве частного выступает результат извлечения кубического корня (он записывается над знаком корня). То есть результат извлечения кубического корня можно представить как бином (10A + B). Точные значения А и В на данном этапе не важны: просто запомните, что результат можно записать в виде двучлена. [12] X Источник информации
-
Посмотрите на биноминальный ряд. Он представляет собой сумму четырех одночленов, благодаря которым можно понять принцип действия алгоритма извлечения кубического корня. Обратите внимание, что множитель каждого этапа извлечения корня равен сумме четырех слагаемых, которые нужно вычислить и сложить. [13] X Источник информации
- Множителем первого члена является число 1000. Чтобы вычислить первую цифру ответа, сначала вы находите куб целого числа, который ближе всего, но меньше некоторого числа (а именно первой группы из трех цифр). Это определяет член 1000A^3 биноминального ряда.
- Множителем второго члена биноминального ряда является число 300 ( = 300). Напомним, что на каждом этапе извлечения кубического корня соответствующая цифра(ы) ответа умножалась на 300.
- Второе слагаемое на каждом этапе извлечения корня определяется третьим членом биномиального ряда, который равен 30AB^2.
- Третье слагаемое на каждом этапе извлечения корня определяется четвертым членом биномиального ряда, который равен B^3.
-
Обратите внимание на увеличение точности ответа. Чем больше этапов извлечения корня вы пройдете, тем точнее будет ответ. Например, в этой статье нужно было извлечь кубический корень из 10. На первом этапе ответ равен 2, так как = 8, что близко, но меньше 10. На втором этапе ответ равен 2,1, потому что , что гораздо ближе к 10. На третьем этапе ответ равен 2,15, так как . Можно продолжить вычисления, используя группы из трех цифр, чтобы повысить точность ответа. [14] X Источник информацииРеклама
Советы
- Практикуйтесь, чтобы освоить описанные методы. Чем больше практики, тем быстрее вы справитесь с вычислениями.
Реклама
Предупреждения
- В процессе вычисления довольно легко сделать ошибку. Поэтому обязательно проверьте ответ.
Реклама
Что вам понадобится
- Ручка или карандаш
- Лист бумаги
- Линейка
- Ластик
Источники
- ↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html
- ↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html
- ↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html
- ↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html
- ↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html
- ↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html
- ↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html
- ↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html
- ↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html
Реклама
