Как вычислить площадь квадрата по длине диагонали

Соавтор(ы): David Jia

Наиболее распространенной формулой для вычисления площади квадрата является следующая: S = a ² . Но иногда в задаче дана только диагональ квадрата, то есть отрезок, соединяющий противоположные вершины. Если вы знакомы с прямоугольными треугольниками, для вычисления площади квадрата можно воспользоваться формулой, которая включает диагональ.

Часть 1

Часть 1 из 2:

Вычисление площади по диагонали

Загрузить PDF

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a7\/Find-the-Area-of-a-Square-Using-the-Length-of-its-Diagonal-Step-3-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-a-Square-Using-the-Length-of-its-Diagonal-Step-3-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/a7\/Find-the-Area-of-a-Square-Using-the-Length-of-its-Diagonal-Step-3-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-a-Square-Using-the-Length-of-its-Diagonal-Step-3-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

У квадрата четыре равные стороны. ^{[1]
X
Источник информации} Допустим, что длина каждой стороны равна а.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/68\/Find-the-Area-of-a-Square-Using-the-Length-of-its-Diagonal-Step-4-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-a-Square-Using-the-Length-of-its-Diagonal-Step-4-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/68\/Find-the-Area-of-a-Square-Using-the-Length-of-its-Diagonal-Step-4-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-a-Square-Using-the-Length-of-its-Diagonal-Step-4-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

Площадь квадрата равна произведению длины на ширину. Так как каждая сторона квадрата равна а, формула для вычисления площади квадрата: S = а х а = а ² . Эта формула понадобится далее.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/4\/4b\/Find-the-Area-of-a-Square-Using-the-Length-of-its-Diagonal-Step-5-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-a-Square-Using-the-Length-of-its-Diagonal-Step-5-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/4\/4b\/Find-the-Area-of-a-Square-Using-the-Length-of-its-Diagonal-Step-5-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-a-Square-Using-the-Length-of-its-Diagonal-Step-5-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

Соедините два противоположных угла квадрата, чтобы провести диагональ. Допустим, что длина диагонали равна d. Диагональ делит квадрат на два прямоугольных треугольника.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/b\/bd\/Find-the-Area-of-a-Square-Using-the-Length-of-its-Diagonal-Step-6-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-a-Square-Using-the-Length-of-its-Diagonal-Step-6-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/b\/bd\/Find-the-Area-of-a-Square-Using-the-Length-of-its-Diagonal-Step-6-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-a-Square-Using-the-Length-of-its-Diagonal-Step-6-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
К одному из треугольников примените теорему Пифагора . По теореме Пифагора ^{[2]
X
Источник информации} можно найти гипотенузу (самую длинную сторону) прямоугольного треугольника: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ , где а и b — катеты, с — гипотенуза. Разделив квадрат на два прямоугольных треугольника, примените эту формулу к одному из них.
- Катетами прямоугольного треугольника являются стороны квадрата, каждая из которых равна а.
- Гипотенузой является диагональ квадрата, равная d.
- $a^{2}+a^{2}=d^{2}$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/13\/Find-the-Area-of-a-Square-Using-the-Length-of-its-Diagonal-Step-7-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-a-Square-Using-the-Length-of-its-Diagonal-Step-7-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/13\/Find-the-Area-of-a-Square-Using-the-Length-of-its-Diagonal-Step-7-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-a-Square-Using-the-Length-of-its-Diagonal-Step-7-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

5
Изолируйте а ² на одной стороне формулы. Помните, что согласно основной формуле для вычисления площади квадрата, она равна а ² . Если изолировать а ² на одной стороне формулы, можно вывести новую формулу для вычисления площади квадрата.
- $a^{2}+a^{2}=d^{2}$
- Упростите: $2a^{2}=d^{2}$
- Разделите обе стороны на 2: $a^{2}={\frac {d^{2}}{2}}$
- S = $a^{2}={\frac {d^{2}}{2}}$
- S = ${\frac {d^{2}}{2}}$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/db\/Find-the-Area-of-a-Square-Using-the-Length-of-its-Diagonal-Step-9-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-a-Square-Using-the-Length-of-its-Diagonal-Step-9-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/db\/Find-the-Area-of-a-Square-Using-the-Length-of-its-Diagonal-Step-9-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-a-Square-Using-the-Length-of-its-Diagonal-Step-9-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

6
Воспользуйтесь этой формулой для решения задачи. Полученную формулу S = ${\frac {d^{2}}{2}}$ можно применять к любым квадратам: просто подставьте в нее значение диагонали (вместо d).
- Например, диагональ квадрата равна 10 см.
- S = ${\frac {10^{2}}{2}}$
  = ${\frac {100}{2}}$
  = 50 см ² .
Реклама

Часть 2

Часть 2 из 2:

Дополнительная информация

Загрузить PDF

1
Найдите диагональ по стороне. ^{[3]
X
Источник информации} Если сторона квадрата равна а, а диагональ равна d, теорема Пифагора запишется так: $2a^{2}=d^{2}$ . По этой формуле можно вычислить диагональ, если сторона квадрата известна.
- $2a^{2}=d^{2}$
  ${\sqrt {2a^{2}}}={\sqrt {d^{2}}}$
  $a{\sqrt {2}}=d$
- Например, если сторона квадрата равна 7 см, его диагональ равна d = 7√2 ≈ 9,9 см.
- Если калькулятора нет, √2 ≈ 1,4.
2
Найдите сторону по диагонали. Если диагональ известна, а формула для вычисления диагонали $d=a{\sqrt {2}}$ , разделите обе стороны формулы на ${\sqrt {2}}$ и получите $a={\frac {d}{{\sqrt {2}}}}$
- Например, если диагональ квадрата равна 10 см, то сторона $a={\frac {10}{{\sqrt {2}}}}=7,071$ см.
- Если нужно найти и сторону, и площадь по диагонали, воспользуйтесь этой формулой, чтобы вычислить сторону, а затем результат возведите в квадрат, чтобы вычислить площадь: S = $=a^{2}=7,071^{2}=50$ см ² . Такой метод не совсем точен, потому что ${\sqrt {2}}$ является иррациональным числом, то есть могут иметь место ошибки округления.
3
Проверьте правильность формулы. Верность математического вывода формулы S = ${\frac {d^{2}}{2}}$ не вызывает сомнений, но можно ли проверить правильность формулы наглядно? Допустим, что сторона второго квадрата равна d, то есть диагонали первого квадрата; тогда площадь второго квадрата равна $d^{2}$ . Так как формула для вычисления площади S = ${\frac {d^{2}}{2}}$ , можно заключить, что площадь второго квадрата в два раза больше площади первого квадрата. Проверьте это наглядно:
- На бумаге нарисуйте первый квадрат. Убедитесь, что все стороны равны.
- Измерьте диагональ. Нарисуйте второй квадрат: каждая его сторона должна быть равна диагонали первого квадрата.
- Нарисуйте копию первого квадрата, а затем вырежьте три квадрата.
- Разрежьте два меньших квадрата так, чтобы они поместились в большем квадрате. Два меньших квадрата должны полностью покрыть больший квадрат, что доказывает, что площадь большего квадрата в два раза больше площади меньшего квадрата.
Реклама

Советы

Если калькулятора нет, но необходимо получить точное значение √2, извлеките корень вручную . Например, примените метод Ньютона-Рафсона. ^{[4]
X
Источник информации}
Приведенная формула используется во многих областях, в том числе в кристаллографии, химии и технике. Например, при помощи этой формулы можно вычислить площадь ландшафта, который виден воочию или на фотографии/рисунке. Для этого измерьте пройденный путь, а затем проведите воображаемую диагональ.
Если вы предпочитаете изучать математику с наглядными примерами или хотите узнать, как использовать диаграммы и графики в искусстве, читайте статьи на сайте wikiHow (например, в категориях «Математика», «Графические программы», «Офисные программы» и других).

[1]

[2]

[3]

[4]

Войти

Как вычислить площадь квадрата по длине диагонали

Шаги

Вычисление площади по диагонали

Дополнительная информация

Советы

Дополнительные статьи

Источники

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Дополнительные статьи

Избранные статьи

Актуальные статьи

Избранные статьи

Избранные статьи

Избранные статьи

Избранные статьи

Explore Categories