Загрузить PDF
Загрузить PDF
Освоив алгебру, вы сможете изучать другие математические дисциплины, каждая из которых основывается на некоторых базисных принципах и навыках. Освоение таких навыков может стать нелегкой задачей для тех, кто впервые сталкивается с математикой. Если это ваш случай, не нервничайте – прочитайте эту статью, в которой приводятся объяснения, примеры и советы, благодаря которым вы сможете решать задачи как опытный математик.
Шаги
-
Основные математические операции. Для начала освойте основные математические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Это первый шаг на пути изучения алгебры. Если вы не усвоите эти операции, вам будет сложно изучать более сложные алгебраические концепции. Рекомендуем вам прочитать статью Как изучать математику .
- Не обязательно выполнять математические операции в уме. В большинстве случаев вам будет позволено пользоваться калькулятором. Но лучше усвоить принципы выполнения математических операций вручную на случай, если вы не сможете воспользоваться калькулятором.
-
Запомните правильный порядок выполнения операций: выполните выражение в скобках, возведите в степень, умножьте, разделите, сложите, вычтите. Еще раз приведем правильный порядок выполнения математических операций:
- Выражение в скобках
- Возведение в степень
- Умножение
- Деление
- Сложение
- Вычитание
- Порядок выполнения операций имеет важное значение, потому что выполнение операций не в том порядке приведет к неправильному результату. Например, если дано выражение 8 + 2 х 5, то сложив 8 и 2, вы получите 10 х 5 = 50. А если вы сначала перемножите 2 и 5, то получите 8 + 10 = 18. Второй результате является верным, а первый нет.
-
Научитесь работать с отрицательными числами. В алгебре используются отрицательные числа, поэтому необходимо знать, как их складывать, вычитать, умножать и делить. Ниже приведены некоторые основные принципы работы с отрицательными числами.
- На числовой прямой отрицательное число расположено на таком же расстоянии от нуля, что и равное ему по значению положительное число (но в противоположном направлении).
- При сложении двух отрицательных чисел вы получите меньшее отрицательное число (по модулю результат будет больше модулей двух складываемых чисел, а по факту меньше, так как это отрицательные числа).
- При вычитании отрицательного числа вы можете заменить два знака «минус» на знак «плюс», то есть вы прибавите положительное число.
- При перемножении или делении двух отрицательных чисел вы получите положительный результат.
- При перемножении или делении положительного числа и отрицательного числа вы получите отрицательный результат.
-
Решение длинных выражений. В отличие от коротких выражений для решения длинных выражений может потребоваться множество шагов. Во избежание ошибок каждый шаг решения пишите на новой строке. Если вы решаете уравнение, попытайтесь писать знаки равенства друг под другом. Так вам будет проще найти и исправить ошибку.
- Например, дано выражение 9/3 - 5 + 3 х 4. Решите его следующим образом:
-
- 9/3 - 5 + 3 × 4
- 9/3 - 5 + 12
- 3 - 5 + 12
- 3 + 7
- 10
-
Реклама - Например, дано выражение 9/3 - 5 + 3 х 4. Решите его следующим образом:
-
Переменные обозначаются буквами. В некоторых алгебраических выражениях наряду с числами вы встретите и переменные. Работать с переменными не так сложно, как кажется – они просто обозначают величины, значения которых не известны. Ниже приведены примеры переменных:
- Буквы латинского алфавита: x, y, z, a, b, c
- Буквы греческого алфавита, например, θ
- Обратите внимание, что не все буквы обозначают переменные. Например, буква π обозначает число пи, значение которого известно (3,1459).
-
Помните, что переменные – это величины, значения которых не известны. То есть теоретически существует число (или несколько чисел), которое может быть подставлено вместо переменной. Зачастую основной целью решения алгебраических уравнений является нахождение значения переменной.
- Например, в уравнении 2х + 3 = 11 «х» – это переменная. Это означает, что существует такое значение «х», при котором левая сторона уравнения будет равна 11. Так как 2 х 4 + 3 = 11, то х = 4.
- Для лучшего уяснения переменных в уравнениях меняйте их на вопросительный знак. Например, уравнение 2 + 3 + х = 9 можно переписать в виде 2 + 3 + ? = 9; таким образом, нужно выяснить, какое число следует прибавить к 2 + 3, чтобы получить 9. Таким числом является число 4.
-
Если в выражении переменная присутствует в нескольких членах, то такое выражение можно упростить. Для этого сложите или вычтите подобные члены, то есть члены с одинаковой переменной (при этом у одинаковых переменных должен быть одинаковый показатель степени). Это не так сложно, как кажется. Например, х + х = 2х, но х + у ≠ 2xy.
- Например, рассмотрим уравнение 2x + 1x = 9. В этом случае сложите 2х и 1х: 2х+1х = 3х, то есть начальное уравнение переписывается в виде 3х = 9. Таким образом, х = 3.
- Еще раз: складываются и вычитаются члены с одинаковыми переменными. В уравнении 2х + 1y = 9 вы не можете сложить 2x и 1y, потому что в этих членах разные переменные.
- Также помните, что у одинаковых переменных должен быть одинаковый показатель степени. Например, в уравнении 2x + 3x 2 = 10 вы не можете сложить 2x и 3x 2 из-за разных показателей степени. Рекомендуем прочитать статью Как складывать степени .
Реклама
-
Для решения уравнения обособьте переменную на одной стороне уравнения. Решение алгебраического уравнения – это нахождение значения переменной. Поэтому необходимо обособить переменную на одной стороне уравнения, а числа – на другой стороне. Например, рассмотрим уравнение х + 2 = 9 х 4.
- В нашем примере для обособления переменной «х» необходимо перенести 2 на правую сторону уравнения. Для этого из обеих частей уравнения вычтите 2 (чтобы значение уравнения не поменялось). Вы получите х = 9 х 4 – 2 = 36 - 2 = 34.
-
При переносе числа через знак равенства математическая операция меняется на противоположную – здесь рассмотрим операции сложения и вычитания. Для обособления переменной на одной стороне уравнения необходимо перенести число за знак равенства. Для этого необходимо вычесть или прибывать это число к обеим сторонам уравнения. Например, рассмотрим уравнение х + 3 = 0. Здесь необходимо перенести 3 за знак равенства. Для этого нужно вычесть 3 от обеих сторон уравнения, то есть написать так: х + 3 - 3 = 0 - 3. Таким образом, вы получите х = -3.
- Запомните: если число прибавляется, вычтите его на другой стороне уравнения; если число вычитается, прибавьте его на другой стороне уравнения.
-
- Прибавляемое число вычитайте. Например, х + 9 = 3; х = 3 - 9
- Вычитаемое число прибавляйте. Например, х - 4 = 20; х = 20 + 4
-
- Запомните: если число прибавляется, вычтите его на другой стороне уравнения; если число вычитается, прибавьте его на другой стороне уравнения.
-
При переносе числа через знак равенства математическая операция меняется на противоположную – здесь рассмотрим операции умножения и деления. Например, если переменная умножается на 3, то разделите обе стороны уравнения на 3.
- Запомните: если переменная умножается на число, делите на него другую сторону уравнения; если переменная делится на число, умножьте на него другую сторону уравнения.
-
- Умножение меняйте на деление. Например, 6x = 14 + 2; x = (14 + 2) /6
- Деление меняйте на умножение. Например, x/5 = 25; x = 25 × 5
-
- Запомните: если переменная умножается на число, делите на него другую сторону уравнения; если переменная делится на число, умножьте на него другую сторону уравнения.
-
При переносе числа через знак равенства математическая операция меняется на противоположную – здесь рассмотрим возведение в степень и извлечение корня. Рекомендуем прочитать статью Как решать выражения со степенями . Операцией, противоположной возведению в степень, является извлечение корня (и наоборот). Например, операцией, противоположной возведению в квадрат (во вторую степень), является извлечение квадратного корня (√); операцией, противоположной возведению в куб (в третью степень), является извлечение кубического корня ( 3 √).
- Если переменная возводится в степень, извлеките корень из обеих сторон уравнения. Если переменная стоит под знаком корня, возведите в степень обе стороны уравнения.
-
- В случае возведения в степень извлекайте корень. Например, x 2 = 49; x = √49
- В случае извлечения корня возводите в степень. Например, √x = 12; x = 12 2
-
Реклама - Если переменная возводится в степень, извлеките корень из обеих сторон уравнения. Если переменная стоит под знаком корня, возведите в степень обе стороны уравнения.
-
Если вы не можете определить, как решить данное вам уравнение, визуализируйте его при помощи картинок или диаграмм. Или же возьмите несколько предметов, например, кубики или монеты (если есть).
- Например, решим уравнение х + 2 = 3, воспользовавшись значком ☐.
-
- x +2 = 3
- ☒+☐☐ =☐☐☐
- Из обеих сторон уравнения вычтите 2. Для этого с каждой стороны уравнения уберите по два значка (☐☐):
- ☒+☐☐-☐☐ =☐☐☐-☐☐
- ☒=☐, то есть x = 1
-
- Другой пример 2x = 4.
-
- ☒☒ =☐☐☐☐
- Обе стороны уравнения разделите на 2. Для этого разделите значки на две равные группы с обеих сторон уравнения.
- ☒|☒ =☐☐|☐☐
- ☒ = ☐☐, то есть x = 2
-
- Например, решим уравнение х + 2 = 3, воспользовавшись значком ☐.
-
При решении задачи проверяйте составленное вами уравнение. Для этого вместо переменной подставьте простейшие значения, например, х = 0, или х = 1, или х = -1, и выясните, имеет ли уравнение смысл. Например, легко ошибиться и написать р = 6d, тогда как нужно написать р = d/6.
- Например, дана такая задача: длина футбольного поля больше его ширины на 30 м. Составьте следующее уравнение: l = w + 30. Проверьте, имеет ли это уравнение смысл; для этого вместо переменных подставьте некоторые значения. Например, если ширина w = 10 м, то длина поля l = 10 + 30 = 40 м; если ширина w = 30 м, то длина поля l = 30 + 30 = 60 м (и так далее). Это уравнение имеет смысл, так как при любом значении ширины длина получается больше.
-
Помните, что ответы (конечные значения) не всегда будут целыми числами. Они могут быть десятичными дробями, обыкновенными дробями или иррациональными числами. Такие ответы находятся при помощи калькулятора, но ваш преподаватель может потребовать указать ответ в другом виде.
- Например, вы получили ответ х = 1250 7 . При помощи калькулятора возведите 1250 в седьмую степень, и вы получите огромное число. В этом случае лучше записать ответ в виде х = 1250 7 или же в экспоненциальном представлении.
-
Изучив основы алгебры, переходите к разложению многочленов на множители. Это весьма продвинутая техника, которая позволит вам представлять сложные многочлены в упрощенном виде. Рекомендуем прочитать эту статью . Ниже приведены несколько советов по разложению многочленов на множители.
- Многочлены вида ax + ba раскладываются на множители a(x + b). Например: 2x + 4 = 2(x + 2)
- Многочлены вида ax 2 + bx раскладываются на множители cx((a/c)x + (b/c)), где c – наибольшее число, на которое нацело делятся a и b. Например: 3y 2 + 12y = 3y(y + 4)
- Многочлены вида x 2 + bx + c раскладываются на множители (x + y)(x + z), где y × z = c и yx + zx = bx. Например: x 2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1).
-
Больше практикуйтесь в решении уравнений и задач. Только так вы освоите алгебраические навыки. Не волнуйтесь – внимательно слушайте учителя, выполняйте домашнее задание и, если необходимо, просите помощи у учителя или ваших одноклассников.
-
Задавайте вопросы учителю, если вы что-то не понимаете. Вы не обязаны самостоятельно разбираться в тонкостях алгебры, поэтому задавайте вопросы вашему преподавателю. Подойдите к нему после урока и вежливо задайте вопрос. Хороший учитель с готовностью объяснит вам непонятные моменты (скорее всего, после уроков) и покажет, как решать задачи.
- Если по какой-либо причине ваш учитель не может помочь вам, попробуйте получить объяснения как-то по-другому. Например, в некоторых школах существуют факультативы, которые проводятся после занятий и на которых вы сможете найти ответы на интересующие вас вопросы. Помните, что не стоит стесняться просить о помощи – это свидетельствует о вашей заинтересованности в изучении предмета.
Реклама
-
Построение графика функции (уравнения с переменными х и у). Графики являются важной составляющей алгебры, потому что они позволяют визуализировать информацию, представленную числами. В большинстве случаев нужно построить график уравнения с двумя переменными (х и у); это делается на двумерной плоскости координат, представленной осями Х и Y. Для построения графика вместо переменной «х» подставьте определенные значения, чтобы найти значения переменной «у» (или наоборот); так вы получите парные значения, являющиеся координатами точек графика.
- Например, дано уравнение у = 3x. Подставьте в него х = 2 и получите у = 6, то есть вы получили точку с координатами (2,6) (два по оси X и шесть по оси Y).
- Уравнения вида у = mх + b (где m и b – это числа) являются самыми распространенными алгебраическими уравнениями. Угловой коэффициент графика этого уравнения равен m, и график пересекает ось Y при у = b.
-
Решение неравенств. В неравенствах вместо знака равенства стоит один из знаков неравенств. Неравенства со знаками > (больше) и < (меньше) решаются аналогично обычным равенствам. В результате вы получите переменную, большую или меньшую определенного значения.
- Например, рассмотрим неравенство 3 > 5x – 2.
-
- 3 > 5x - 2
- 5 > 5x
- 1 > x или x < 1 .
-
- Это означает, что переменная «х» принимает любое значение, меньшее 1. То есть переменная «х» может быть равной 0, -1, -2 и так далее. Если подставить эти значения в исходное неравенство, вы получите ответ, меньший 3.
- Например, рассмотрим неравенство 3 > 5x – 2.
-
Решение квадратных уравнений. Это уравнения вида ax 2 + bx + c = 0, где a, b, c – числа, причем «а» может равняться нулю, а «b» и «c» не могут равняться нулю. Такие уравнения решаются по формуле x = [-b +/- √(b 2 - 4ac)]/2a. Обратите внимание на то, что знак +/- указывает на возможность наличия двух корней.
- Например, рассмотрим квадратное уравнение 3x 2
+ 2x -1 = 0.
-
- x = [-b +/- √(b 2 - 4ac)]/2a
- x = [-2 +/- √(2 2 - 4(3)(-1))]/2(3)
- x = [-2 +/- √(4 - (-12))]/6
- x = [-2 +/- √(16)]/6
- x = [-2 +/- 4]/6
- x1 = -1 и х2 = 1/3
-
- Например, рассмотрим квадратное уравнение 3x 2
+ 2x -1 = 0.
-
Решение систем уравнений. Система уравнений включает в себя несколько уравнений. Решать системы уравнений не так сложно, как кажется. Многие преподаватели требуют решать системы уравнений при помощи графиков. Если система уравнений включает два уравнения, то решением системы являются координаты точек пересечения графиков двух уравнений.
- Например, дана система уравнений у = 3x - 2 и у = -х - 6. Если вы построите графики обоих уравнений, вы получите возрастающую прямую и убывающую прямую, которые пересекутся в точке с координатами (-1, -5). Это и есть решение системы уравнений. [1] X Источник информации
- Если вы хотите проверить ответ, подставьте найденные значения в уравнения.
-
- y = 3x - 2
- -5 = 3(-1) - 2
- -5 = -3 - 2
- -5 = -5
- y = -x - 6
- -5 = -(-1) - 6
- -5 = 1 - 6
- -5 = -5
-
- Равенство соблюдено!
Реклама
Советы
- В интернете есть множество полезных ресурсов для людей, изучающих алгебру. Для их поиска в поисковике введите что-то вроде «помощь по алгебре». Также вы найдете сотни полезных статей по алгебре на сайте ru.wikihow.com.
- Если вы столкнулись с проблемами, откройте сайт videourokionline.ru или school-assistant.ru. Там вы найдете советы и задачи по различным предметам, включая алгебру.
- Помните, что за помощью лучше обратиться к людям, которых вы знаете. Например, обратитесь к друзьям или одноклассникам, если вы не поняли тему последнего урока по алгебре.
Реклама
Реклама
