Как найти угол между векторами

Математики и физики часто вычисляют угол между двумя данными векторами. Для вычисления такого угла применяют формулу, которая основана на скалярном произведении векторов. Формула может применяться для векторов как в двумерном, так и в многомерном пространствах.

Часть 1

Часть 1 из 2:

Нахождение угла между двумя векторами

Загрузить PDF

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/b\/ba\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-01.jpg\/v4-460px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-01.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/b\/ba\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-01.jpg\/v4-728px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-01.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
Запишите информацию о двух векторах. В этой статье мы будем рассматривать векторы в двумерном пространстве. ^{[1]
X
Источник информации} Если длины векторов вам даны, пропустите некоторые из следующих шагов.
- Пример. Даны векторы ${\overrightarrow {u}}$ = (2,2) и ${\overrightarrow {v}}$ = (0,3). Эти векторы также можно записать в виде ${\overrightarrow {u}}$ = 2 i + 2 j и ${\overrightarrow {v}}$ = 0 i + 3 j = 3 j .
- Наш пример рассматривает двумерные векторы, но описанные ниже инструкции можно применять и к многомерным векторам.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/4\/49\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-02.jpg\/v4-460px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-02.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/4\/49\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-02.jpg\/v4-728px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-02.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Запишите формулу. Чтобы найти угол θ между двумя векторами, начните с нахождения косинуса этого угла. (Об этой формуле мы расскажем в следующем разделе.) ^{[2]
X
Источник информации}
- cosθ = ( ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ ) / (|| ${\overrightarrow {u}}$ || || ${\overrightarrow {v}}$ ||)
- || ${\overrightarrow {u}}$ || – это длина вектора ${\overrightarrow {u}}$ .
- ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ – это скалярное произведение двух векторов.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/e7\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-03.jpg\/v4-460px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-03.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/e7\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-03.jpg\/v4-728px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-03.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Вычислите скалярное произведение двух векторов. ^{[3]
X
Источник информации} Для этого перемножьте соответствующие компоненты двух векторов и сложите полученные значения. ^{[4]
X
Источник информации}
- ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ = u ₁ v ₁ + u ₂ v ₂ , где u = (u ₁ , u ₂ ). Если ваши вектора имеют более двух компонент, просто продолжайте прибавлять произведения их компонентов: + u ₃ v ₃ + u ₄ v ₄ ...
- Таким образом, в двухмерном векторе, || u || = √(u ₁ ² + u ₂ ² ) .
- В нашем примере: ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ = u ₁ v ₁ + u ₂ v ₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6 .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a0\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-04.jpg\/v4-460px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-04.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/a0\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-04.jpg\/v4-728px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-04.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
Вычислите длину каждого вектора. Нарисуйте прямоугольный треугольник, сторонами которого будет сам вектор (гипотенуза), его х-компонента и его у-компонента (катеты). Теперь найдите длину вектора при помощи теоремы Пифагора (ее можно применять к многокомпонентным векторам). ^{[5]
X
Источник информации}
- ||u|| ² = u ₁ ² + u ₂ ² . Если ваши вектора имеют более двух компонент, просто продолжайте прибавлять: +u ₃ ² + u ₄ ² + ...
- Таким образом, для двумерного вектора: ||u|| = √(u ₁ ² + u ₂ ² ) .
- В нашем примере: || ${\overrightarrow {u}}$ || = √(2 ² + 2 ² ) = √(8) = 2√2 . || ${\overrightarrow {v}}$ || = √(0 ² + 3 ² ) = √(9) = 3 .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/8f\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-05.jpg\/v4-460px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-05.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/8\/8f\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-05.jpg\/v4-728px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-05.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

5
Подставьте найденные значения (длину векторов и их скалярное произведение) в формулу cosθ = ( ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ ) / (|| ${\overrightarrow {u}}$ || || ${\overrightarrow {v}}$ ||).
- В нашем примере: cosθ = 6 / ( 2√2 * 3 ) = 1 / √2 = √2 / 2.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/ee\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-06.jpg\/v4-460px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-06.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/ee\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-06.jpg\/v4-728px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-06.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

6
Найдите угол по его косинусу. Вы можете использовать кнопку arccos или cos ^-1 на калькуляторе, чтобы найти угол θ по известному значению cosθ. В некоторых случаях вы можете найти угол, пользуясь единичной окружностью .
- В нашем примере, cosθ = √2/2. На единичной окружности это значение соответствует углу ' θ = ^π / ₄ или 45º
- Совмещая все, получаем формулу : угол θ = arccosin(( ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ ) / ( || ${\overrightarrow {u}}$ || || ${\overrightarrow {v}}$ || ))
Реклама

'.

Часть 2

Часть 2 из 2:

Формула для вычисления угла

Загрузить PDF

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/f5\/Become-a-College-Professor-Step-17.jpg\/v4-460px-Become-a-College-Professor-Step-17.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/f\/f5\/Become-a-College-Professor-Step-17.jpg\/v4-728px-Become-a-College-Professor-Step-17.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
Эта формула была выведена для определения скалярного произведения двух векторов и угла между ними. ^{[6]
X
Источник информации} Но эту формулу не взяли «с потолка». Она была выведена, основываясь на геометрических принципах.
- Приведенные ниже примеры рассматривают двумерные вектора (потому что с ними проще работать). Векторы с тремя или более компонентами имеют свойства, определяемые аналогичной формулой.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/b\/b5\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-08.jpg\/v4-460px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-08.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/b\/b5\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-08.jpg\/v4-728px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-08.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

Рассмотрите произвольный треугольник с углом θ между сторонами а и b и противоположной ему стороной с. Теорема косинусов гласит: c ² = a ² + b ² -2ab cos (θ). ^{[7]
X
Источник информации}
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/23\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-09.jpg\/v4-460px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-09.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/23\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-09.jpg\/v4-728px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-09.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

Нарисуйте два двумерных вектора ${\overrightarrow {a}}$ и ${\overrightarrow {b}}$ с углом θ между ними. Проведите третий вектор так, чтобы получился треугольник. Другими словами, нарисуйте вектор ${\overrightarrow {c}}$ так, чтобы ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {c}}$ = ${\overrightarrow {b}}$ . Таким образом, ${\overrightarrow {c}}$ = ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ . ^{[8]
X
Источник информации}
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a5\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-10-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-10-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/a5\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-10-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-10-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
Запишите теорему косинусов для полученного треугольника:
- ||(a - b)|| ² = ||a|| ² + ||b|| ² - 2||a|| ||b|| cos (θ)
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/c3\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-11-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-11-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/c3\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-11-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-11-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

5
Перепишите полученное уравнение через скалярное произведение двух векторов. Скалярное произведение – это умножение длины вектора «x» на проекцию вектора «y» на вектор «x». Но скалярное произведение вектора на самого себя не требует каких-либо проекций. ^{[9]
X
Источник информации} Это означает, что ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ = ||a|| ² /. Используйте этот факт, чтобы переписать уравнение в виде:
- ( ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ ) • ( ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ ) = ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - 2||a|| ||b|| cos (θ)
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/de\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-12-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-12-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/de\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-12-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-12-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

6
Раскройте скобки в левой части уравнения и упростите его.
- ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ = ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - 2||a|| ||b|| cos (θ)
- - ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ = -2||a|| ||b|| cos (θ)
- -2( ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ ) = -2||a|| ||b|| cos (θ)
- ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ = ||a|| ||b|| cos (θ)
Реклама

Советы

Для ускорения решения используйте следующую формулу для любой пары двумерных векторов: cosθ = (u ₁ • v ₁ + u ₂ • v ₂ ) / (√(u ₁ ² • u ₂ ² ) • √(v ₁ ² • v ₂ ² )).
Если вы работаете на компьютере в графической программе, вам, скорее всего нужно только направление вектора, а не длина. Используйте эти шаги, чтобы упростить уравнения и ускорить вашу программу: ^{[10]
X
Источник информации} ^{[11]
X
Источник информации}
- Нормализмруйте каждый вектор, поэтому длина становится 1. Для этого делим каждый компонент вектора на длину вектора.
- Берем скалярное произведение нормализованных векторов вместо исходных векторов.
- После того, как длину нашли равной 1, оставьте ее так как ваше окончательное уравнение для угла arccos( ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ ).
На основе описанной формулы вы можете быстро определить, является ли угол острым или тупым. Начните с cosθ = ( ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ ) / (|| ${\overrightarrow {u}}$ || || ${\overrightarrow {v}}$ ||):
- Левая сторона и правая стороны уравнения должны иметь одинаковый знак (положительный или отрицательный).
- Так как длины всегда положительны, cosθ должен иметь тот же знак, что и скалярное произведение.
- Таким образом, если скалярное произведение положительно, cosθ положителен. В этом случае угол лежит в первом квадранте единичного круга (θ <π/2 или 90º). Угол острый.
- Если скалярное произведение отрицательно, cosθ тоже отрицателен. Угол лежит во втором квадранте единичного круга (π/2<θ ≤ π или 90º<θ ≤180º). Угол тупой.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

Войти

Как найти угол между векторами

Шаги

Нахождение угла между двумя векторами

Формула для вычисления угла

Советы

Дополнительные статьи

Источники

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Дополнительные статьи

Избранные статьи

Актуальные статьи

Избранные статьи

Избранные статьи

Избранные статьи

Избранные статьи

Explore Categories