Как найти уравнения асимптот гиперболы

Загрузить PDF
Соавтор(ы): Grace Imson, MA

Загрузить PDF

Асимптоты гиперболы – это прямые, проходящие через центр гиперболы. Гипербола приближается к асимптотам, но никогда не пересекает (и даже не касается) их. Найти уравнения асимптот можно двумя способами, которые помогут понять саму концепцию асимптот.

Метод 1
Метод 1 из 2:

Разложение на множители

Загрузить PDF
  1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/59\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-1-Version-4.jpg\/v4-460px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-1-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/59\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-1-Version-4.jpg\/v4-728px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-1-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Рассмотрим простейший пример – гиперболу, центр которой расположен в начале координат. В этом случае каноническое уравнение гиперболы имеет вид: x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1 (когда ветви гиперболы направлены вправо или влево) или y 2 / b 2 - x 2 / a 2 = 1 (когда ветви гиперболы направлены вверх или вниз). [1] Имейте в виду, что в этом уравнении «х» и «у» – это переменные, а «а» и «b» – постоянные (то есть числа).
    • Пример 1: x 2 / 9 - y 2 / 16 = 1
    • Некоторые преподаватели и авторы учебников меняют местами постоянные «а» и «b». [2] Поэтому изучите данное вам уравнение, чтобы понять, что к чему. Не стоит просто запоминать уравнение – в этом случае вы ничего не поймете, если переменные и/или постоянные будут обозначены другими символами.
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/0b\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-2-Version-4.jpg\/v4-460px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-2-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/0\/0b\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-2-Version-4.jpg\/v4-728px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-2-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Новое уравнение описывает обе асимптоты, но чтобы получить уравнение каждой асимптоты, придется приложить некоторые усилия. [3]
    • Пример 1: x 2 / 9 - y 2 / 16 = 0
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/d4\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-3-Version-4.jpg\/v4-460px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-3-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/d4\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-3-Version-4.jpg\/v4-728px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-3-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Разложите на множители левую часть уравнения. Вспомните, как раскладывать на множители квадратное уравнение, и читайте дальше.
    • Конечное уравнение (то есть уравнение, разложенное на множители) будет иметь вид (__ ± __)(__ ± __) = 0.
    • При перемножении первых членов (внутри каждой пары скобок) должен получиться член x 2 / 9 , поэтому из этого члена извлеките квадратный корень, и результат запишите вместо первого пробела внутри каждой пары скобок: ( x / 3 ± __)( x / 3 ± __) = 0
    • Аналогично извлеките квадратный корень из члена y 2 / 16 , и результат запишите вместо второго пробела внутри каждой пары скобок: ( x / 3 ± y / 4 )( x / 3 ± y / 4 ) = 0
    • Вы нашли все члены уравнения, поэтому внутри одной пары скобок между членами напишите знак плюс, а внутри второй – знак минус, чтобы при перемножении соответствующие члены сокращались: ( x / 3 + y / 4 )( x / 3 - y / 4 ) = 0
  4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/c8\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-4-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-4-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/c8\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-4-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-4-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Приравняйте каждый двучлен (то есть выражение внутри каждой пары скобок) к нулю и вычислите «y». Так вы найдете два уравнения, которые описывают каждую асимптоту.
    • Пример 1: Так как ( x / 3 + y / 4 )( x / 3 - y / 4 ) = 0 , то x / 3 + y / 4 = 0 и x / 3 - y / 4 = 0
    • Перепишите уравнение следующим образом: x / 3 + y / 4 = 0 → y / 4 = - x / 3 → y = - 4x / 3
    • Перепишите уравнение следующим образом: x / 3 - y / 4 = 0 → - y / 4 = - x / 3 → y = 4x / 3
  5. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/31\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-5-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-5-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/3\/31\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-5-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-5-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Выполните описанные действия с гиперболой, уравнение которой отличается от канонического. В предыдущем шаге вы нашли уравнения асимптот гиперболы с центром в начале координат. Если центр гиперболы находится в точке с координатами (h,k), то она описывается следующим уравнением: (x - h) 2 / a 2 - (y - k) 2 / b 2 = 1 или (y - k) 2 / b 2 - (x - h) 2 / a 2 = 1 . Это уравнение также можно разложить на множители. Но в этом случае не трогайте двучлены (x - h) и (y - k) до тех пор, пока не придете к последнему шагу.
    • Пример 2 : (x - 3) 2 / 4 - (y + 1) 2 / 25 = 1
    • Приравняйте это уравнение к 0 и разложите его на множители:
    • ( (x - 3) / 2 + (y + 1) / 5 )( (x - 3) / 2 - (y + 1) / 5 ) = 0
    • Приравняйте каждый двучлен (то есть выражение внутри каждой пары скобок) к нулю и вычислите «y», чтобы найти уравнения асимптот:
    • (x - 3) / 2 + (y + 1) / 5 = 0 → y = - 5 / 2 x + 13 / 2
    • ( (x - 3) / 2 - (y + 1) / 5 ) = 0 → y = 5 / 2 x - 17 / 2
    Реклама
Метод 2
Метод 2 из 2:

Вычисление Y

Загрузить PDF
  1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/4\/4e\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-6-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-6-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/4\/4e\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-6-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-6-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Применяйте этот метод в том случае, когда уравнение гиперболы дано в квадратичной форме. Даже если дано каноническое уравнение гиперболы, этот метод позволит лучше понять концепцию асимптот. Обособьте y 2 или (y - k) 2 на левой стороне уравнения.
    • Пример 3: (y + 2) 2 / 16 - (x + 3) 2 / 4 = 1
    • К обеим частям уравнения прибавьте «х», а затем умножьте обе части на 16:
    • (y + 2) 2 = 16(1 + (x + 3) 2 / 4 )
    • Упростите полученное уравнение:
    • (y + 2) 2 = 16 + 4(x + 3) 2
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/7d\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-7-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-7-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/7d\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-7-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-7-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    При этом не упрощайте правую часть уравнения, так как при извлечении квадратного корня получаются два результата – положительный и отрицательный (например, -2 * -2 = 4, поэтому √4 = 2 и √4 = -2). Чтобы привести оба результата, используйте символ ±.
    • √((y + 2) 2 ) = √(16 + 4(x + 3) 2 )
    • (y+2) = ± √(16 + 4(x + 3) 2 )
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/b\/b3\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-8-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-8-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/b\/b3\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-8-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-8-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Сделайте это до того, как перейти к следующему шагу. Асимптота – это прямая, к которой приближается гипербола с ростом значений «х». Гипербола никогда не пересечет асимптоту, но с увеличением «х» гипербола приблизится к асимптоте на бесконечно малое расстояние.
  4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/fb\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-9-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-9-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/f\/fb\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-9-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-9-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Как правило, при работе с уравнениями асимптот учитываются только большие значения «х» (то есть такие значения, которые стремятся к бесконечности). Поэтому в уравнении можно пренебречь определенными константами, так как по сравнению с «х» их вклад невелик. Например, если переменная «х» равна нескольким миллиардам, то прибавление числа (константы) 3 окажет мизерное влияние на значение «х».
    • В уравнении (y+2) = ± √(16 + 4(x + 3) 2 ) при стремлении «x» к бесконечности постоянной 16 можно пренебречь.
    • При больших значениях «х» (y+2) ≈ ± √(4(x + 3) 2 )
  5. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/dd\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-10-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-10-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/dd\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-10-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-10-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Избавившись от констант, можно упростить подкоренное выражение. Помните, что в ответе нужно записать два уравнения – одно со знаком плюс, а второе со знаком минус.
    • y + 2 = ±√(4(x+3)^2)
    • y + 2 = ±2(x+3)
    • y + 2 = 2x + 6 и y + 2 = -2x - 6
    • y = 2x + 4 и y = -2x - 8
    Реклама

Советы

  • Помните, что уравнение гиперболы и уравнения ее асимптот всегда включают постоянные (константы).
  • Равносторонняя гипербола – это гипербола, в уравнении которой а = b = с (константа).
  • Если дано уравнение равносторонней гиперболы, сначала преобразуйте его в каноническую форму, а затем найдите уравнения асимптот.
Реклама

Предупреждения

  • Помните, что ответ не всегда записывается в канонической форме.
Реклама

Дополнительные статьи

Как
вычислить диагональ прямоугольника
Как
вычислить диагональ квадрата
Как
найти гипотенузу
Как
вычислять углы
Как
найти центр круга
Как
найти площадь четырехугольника
Как
вычислить диаметр окружности
Как
вычислить объем куба
Как
найти объем призмы
Как
нарисовать шестиугольник
Как
вычислить квадратные метры
Как
найти площадь пятиугольника
Как
найти высоту треугольника
Как
найти объем в кубических метрах
Реклама

Источники

  1. ↑ http://www.purplemath.com/modules/hyperbola.htm
  2. ↑ https://www.khanacademy.org/math/algebra2/conics_precalc/hyperbolas-precalc/
  3. ↑ https://books.google.com/books?id=MBAwrjc3gqMC&sitesec=buy&source=gbs_vpt_read

Об этой статье

На других языках
Эту страницу просматривали 106 702 раза.

Была ли эта статья полезной?

Реклама