Загрузить PDF
Загрузить PDF
Обратные функции помогают решить многие математические задачи. Умение найти обратную функцию очень полезно. Однако в случае квадратичных функций эта процедура может оказаться довольно сложной. Во-первых, следует точно записать уравнение и установить область определения и область значений функции. Затем необходимо выбрать один из трех методов нахождения обратной функции. Выбор метода зависит в основном от ваших предпочтений.
Шаги
-
Проверьте, не имеет ли функция вид . Если вам попадется достаточно простая функция, вы легко сможете найти обратную ей функцию. Подобная простая функция должна иметь вид . Если вы сравните ее со стандартной формой квадратичной функции , то увидите, что в ней отсутствует среднее слагаемое . Иными словами, множитель b в этом случае равен 0. В этом случае довольно легко найти обратную функцию.
- Начальная функция не обязательно должна точно выглядеть как . Данный метод подходит и в том случае, если функция состоит из слагаемого с и других чисел.
- Предположим, дано уравнение . Легко увидеть, что оно не содержит членов с первой степенью . Это уравнение вполне подходит для того, чтобы найти обратную функцию данным методом.
-
Объедините одинаковые члены, чтобы упростить уравнение. Начальное уравнение может содержать несколько схожих слагаемых со знаком «плюс» или «минус». Прежде всего следует объединить их, чтобы упростить уравнение и записать его в стандартном виде .
- Рассмотрим приведенный выше пример: . В этом случае можно вычесть y с обеих сторон знака равенства, чтобы избавиться от y в левой части. После этого можно прибавить с обеих сторон 6 и вычесть x 2 , чтобы упростить уравнение. В результате получится .
-
Определите область определения и область значений упрощенной функции. Область определения функции включает в себя те значения независимой переменной x , при которых имеются действительные решения. Этим величинам переменной x соответствует область значений функции, в которой она принимает значения y . Чтобы найти область определения функции, посмотрите, при каких значениях x невозможно получить конкретную величину. Все другие значения переменной x соответствуют области определения данной функции. Чтобы определить область значений функции, проверьте, как она ведет себя в граничных точках. [1] X Источник информации
- В качестве примера рассмотрим функцию . В данном случае нет ограничений для переменной x . Тем не менее эта функция соответствует параболе с центром в точке x =0, поэтому нет однозначного соответствия между величинами x и y . Чтобы ограничить данное уравнение и найти обратную функцию, установим область определения x ≥0.
- Соответственно следует определить область значений. Учтем, что первый член всегда положителен или равен 0 при любых значениях x . Если затем прибавить 2, получим y ≥2.
- Область определения и область значений функции необходимо найти на данном этапе. Затем вы используете эти результаты для нахождения области определения и области значений обратной функции. Фактически, область определения исходной функции станет областью значений обратной функции, а область значений исходной функции — областью определения обратной функции. [2] X Источник информации
-
Поменяйте местами x и y. Запишите то же самое уравнение таким образом, чтобы вместо x стоял y , и наоборот. В результате вы получите обратную функцию. [3] X Источник информации
- В случае приведенной в качестве примера функции данный шаг приведет к тому, что вы получите .
- При замене y на x можно отметить его как или , чтобы обозначить обратную функцию.
-
Выразите обратную функцию через y. С помощью алгебраических действий выделите переменную y — при этом внимательно выполняйте одни и те же операции по обе стороны знака равенства. В случае нашего примера получится следующее: [4] X Источник информации
- (начальное уравнение)
- (вычли 2 с обеих сторон)
- (поделили обе стороны на 2)
- ± (извлекли с обеих сторон квадратный корень — помните, что при этом получается как положительное, так и отрицательное число)
-
Найдите область определения и область значений обратной функции. Как вы делали раньше с прямой функцией, установите область определения и область значений обратной функции. Из двух возможных решений следует выбрать то, для которого область определения и область значений соответствуют области значений и области определения исходной функции. [5] X Источник информации
- Рассмотрим наш пример с решениями ± . Поскольку квадратный корень не определен для отрицательных чисел, дробь должна быть положительной. Таким образом, для допустимых значений x (области определения) должно выполняться условие x ≥2. Исходя из этого, y (область значений) должен удовлетворять условию y ≥0 для положительных значений квадратного корня, либо y ≤0 для отрицательных значений. Чтобы определить обратную функцию, вспомним, что первоначально для области определения мы установили x ≥0. Таким образом, правильным решением являются положительные значения квадратного корня.
- Сравните область определения и область значений обратной функции с аналогичными областями прямой функции. Для первоначальной функции для области определения выполняется условие x ≥0, а для области значений — y ≥2. В случае обратной функции эти условия меняются местами, то есть области определения соответствуют x ≥2, а для области значений выполняется условие y ≥0.
-
Проверьте, правильно ли вы нашли обратную функцию. Чтобы убедиться, что вы все сделали правильно, выберите любое значение переменной x , подставьте его в начальное уравнение и найдите y . После этого подставьте найденную величину y вместо x в обратную функцию и посмотрите, получится ли первоначальное значение. Если вы получите выбранное значение, обратная функция найдена правильно. [6] X Источник информации
- Например, выберем x =1 и подставим его в первоначальное уравнение . В результате получим y =4.
- После этого подставим полученное значение 4 в обратную функцию . Получим y =1. Таким образом, обратная функция определена правильно.
Реклама
-
Запишите квадратичную функцию в подходящей форме. Чтобы найти обратную функцию, для начала следует записать уравнение в виде . При необходимости можно объединить подобные члены, чтобы получить выражение в данном виде. После этого вы сможете получить больше информации о функции. [7] X Источник информации
- Первым делом следует обратить внимание на коэффициент a . Если a >0, уравнение соответствует параболе, ветви которой направлены вверх. Если a <0, функция определяет параболу, ветви которой направлены вниз. Проверьте, чтобы a ≠0. Если коэффициент a равен нулю, вы имеете дело с линейной, а не квадратичной функцией.
-
Запишите квадратичную функцию в стандартном виде. Прежде чем приступить к нахождению обратной функции, необходимо переписать уравнение в стандартной форме. Стандартная форма любой квадратичной функции выглядит следующим образом: . Значения a , h и k определяются в результате процедуры, известной как «выделение квадрата». [8] X Источник информации
- Обратите внимание, что данный стандартный формат содержит квадратный член , а также два коэффициента a и k . Чтобы получить эту квадратную форму, необходимо определенным образом преобразовать квадратную функцию.
-
Вспомните каноничный вид квадратичной функции. Если функция представляет собой полный квадрат, она записывается в виде произведения двух биномов , то есть . При перемножении у вас получится . При этом первое слагаемое — это квадрат первого члена бинома, а последнее слагаемое представляет собой квадрат второго члена бинома. Среднее слагаемое является удвоенным произведением двух членов бинома, в нашем случае . [9] X Источник информации
- Чтобы выделить полный квадрат, необходимо действовать в обратном направлении. Вам даны слагаемое и второй член с первой степенью x . Коэффициент при x соответствует 2b , и следует найти . Для этого необходимо поделить на 2, а затем возвести полученное число в квадрат.
-
Убедитесь, что коэффициент при равен 1. Вспомните каноничный вид квадратичной функции . Если коэффициент при первом слагаемом отличается от 1, следует поделить на него все члены, чтобы получилось a =1. [10] X Источник информации
- В качестве примера рассмотрим квадратичную функцию . Требуется просто поделить все члены на 2, в результате у вас получится функция . Коэффициент 2 останется за скобками и войдет в окончательное выражение.
- Если не все члены делятся на a без остатка, вам придется иметь дело с дробными коэффициентами. Например, функция после упрощения будет иметь вид . Будьте внимательны при действиях с дробями.
-
Поделите средний коэффициент на 2 и возведите полученный результат в квадрат. У вас уже есть два первых члена каноничной квадратичной формы. Это и коэффициент перед x . Каким бы ни был этот коэффициент, вы прибавите или отнимете необходимое число, чтобы привести квадратную функцию к каноничному виду. Как вы помните, чтобы найти третий член квадратичной формы, следует поделить этот второй коэффициент на два, а затем возвести полученное значение в квадрат. [11] X Источник информации
- Например, если первые два члена квадратичной функции имеют вид , для нахождения третьего члена необходимо поделить 3 на 2, что даст 3/2, а затем возвести это число в квадрат, и в результате вы получите 9/4. Таким образом, полный квадрат будет иметь вид .
- В качестве еще одного примера предположим, что первые два члена имеют вид . При делении среднего члена получаем -2, возведение в квадрат дает 4. Таким образом, полный квадрат запишется в виде .
-
Одновременно прибавьте И вычтите необходимый третий член. Это довольно хитрый прием, но он работает. Если прибавить к функции и вычесть из нее одно и то же число, ее значение не изменится. В то же время это позволит вам придать функции нужный вид. [12] X Источник информации
- Предположим, дана функция . Как отмечено выше, для получения полной квадратной формы вам понадобятся первые два члена. По среднему члену -4x вы найдете третье слагаемое +4. После этого прибавьте и вычтите 4, в результате у вас получится . Скобки поставлены лишь для того, чтобы обозначить полную квадратную форму, которую вы получили. Обратите внимание, что +4 стоит внутри скобок, а -4 снаружи. После сокращения получится .
-
Запишите полный квадрат в виде степени. Полином в скобках должен представлять собой полный квадрат, который можно переписать в виде . В примере из предыдущего шага квадратную форму можно записать в виде . В полном виде функция запишется как . Это та же функция, что была в начале ( ), но представленная в стандартной форме . [13] X Источник информации
- Обратите внимание, что для данной функции a =1, h =2 и k =5. Преимущество такой записи функции заключается в том, что по коэффициенту a можно судить о том, куда направлены ветви параболы. В нашем случае он положителен, то есть ветви параболы направлены вверх. По значениям (h,k) вы определите координаты вершины параболы и сможете построить ее график.
-
Найдите область определения и область значений функции. Область определения представляет собой значения переменной x , для которых задана функция. Область значений — это величины y , которые принимает данная функция. Вспомним, что парабола не имеет однозначно определенной обратной функции, так как нет однозначного соответствия между значениями x и y из-за того, что у нее две симметричные ветви. Чтобы преодолеть данное затруднение, необходимо взять в качестве области определения все значения x , которые больше h , то есть лежат по одну сторону от вершины параболы. [14] X Источник информации
- Продолжим рассматривать функцию . Поскольку она записана в каноническом виде, можно сразу определить координаты вершины параболы: x =2, y =5. Чтобы избежать неоднозначности, рассмотрим лишь правую половину параболы и в качестве области определения возьмем все значения x ≥2. Подставим значение x =2 в функцию и получим y =5. Видно, что значения y увеличиваются с ростом x . Таким образом, области значений данной функции соответствуют y ≥5.
-
Поменяйте местами переменные x и y. На этом шаге вы приступите к нахождению обратной функции. Оставьте все как есть, просто поменяйте местами переменные. [15] X Источник информации
- Продолжим рассматривать функцию . Подставим x вместо f(x) , а y (или f(x) , если вам так удобнее) вместо x . В результате у вас получится функция .
-
Перепишите обратную функцию относительно y. Необходимо выделить переменную y с помощью одних и тех же алгебраических действий с обеих сторон знака равенства. Для нашей функции это будет выглядеть следующим образом: [16] X Источник информации
- (первоначальная функция)
- (вычли 5 с обеих сторон)
- ± (извлекли квадратный корень с обеих сторон — помните, что в результате этой операции можно получить как положительное, так и отрицательное значение)
- ± (прибавили 2 к обеим сторонам)
-
Найдите область определения и область значений обратной функции. Как вы уже делали в начале, установите область определения и область значений обратной функции. Из двух возможных решений выберите то, область определения и область значений которого являются обратными по отношению к аналогичным областям исходной функции. [17] X Источник информации
- Рассмотрим полученное решение ± . Поскольку квадратный корень не определен для отрицательных чисел, член должен быть положительным. Таким образом, допустимые значения x (область определения) должны удовлетворять условию x ≥5. Для данной области определения получаются такие величины y (область значений), которые либо y ≥2, если взять положительное значение квадратного корня, либо y ≤2 для отрицательных значений. Вспомним, что ранее мы установили область определения x ≥2, чтобы найти обратную функцию. Следовательно, правильным ответом для обратной функции будут положительные значения.
- Сравните область определения и область значений обратной функции с этими же областями исходной функции. Вспомним, что для первоначальной функции в качестве области определения мы взяли x ≥2, а область значений удовлетворяла условию y ≥5. В случае обратной функции эти области поменяются местами: области определения соответствуют x ≥5, а области значений — y ≥2.
-
Проверьте, правильно ли вы нашли обратную функцию. Для этого возьмите какое-либо значение x , подставьте его в первоначальную функцию и найдите y . Затем подставьте найденное значение y в обратную функцию вместо x и посмотрите, получится ли у вас то значение, которое вы выбрали в начале. Если да, обратная функция правильна. [18] X Источник информации
- Например, возьмем x =3 и подставим в первоначальную функцию . В результате получим y =6.
- Затем подставим значение 6 в обратную функцию вместо x . В результате получим y =3, то есть то значение, с которого мы начинали. Таким образом, обратная функция найдена правильно.
Реклама
-
Вспомните квадратичную формулу для решения квадратных уравнений. Один из методов решения квадратных уравнений заключается в том, чтобы попытаться разложить их на множители. Если это не удается, используют квадратичную формулу, которая позволяет найти действительные корни любого квадратного уравнения. С помощью квадратичной формулы можно найти и обратную функцию. [19] X Источник информации
- Квадратичная формула записывается следующим образом: x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a .
- Учтите, что квадратичная формула даст два возможных решения, положительное и отрицательное. Необходимо выбрать подходящее решение, исходя из области определения и области значений функции.
-
Запишите квадратное уравнение, чтобы найти обратную функцию. Оно должно иметь следующий вид: . Проделайте необходимые алгебраические операции, чтобы привести функцию к этому виду. [20] X Источник информации
- В данном разделе в качестве примера рассмотрим функцию .
-
Постройте график функции, чтобы найти область определения и область значений. Используйте для этого графический калькулятор или просто отложите несколько точек, чтобы обозначить параболу. В результате у вас получится парабола с вершиной в точке (-1,-4). Таким образом, чтобы найти обратную функцию, можно взять в качестве области определения x ≤-1. Область значений при этом будет удовлетворять условию y ≥-4. [21] X Источник информации
-
Поменяйте местами переменные x и y. Чтобы приступить к нахождению обратной функции, переставьте переменные x и y . При этом оставьте все остальное неизменным. На данном этапе вы замените x на f(x) . [22] X Источник информации
- В нашем примере функция после перестановки переменных приобретет вид .
-
Получите в левой части 0. Чтобы использовать квадратичную формулу, необходимо приравнять функцию 0, а затем найти входящие в формулу коэффициенты. Этот метод следует использовать и при нахождении обратной функции: приравняйте функцию нулю.
- В нашем примере нужно вычесть x с обеих сторон, в результате слева у вас получится 0. Должно получиться следующее уравнение: .
-
Переопределите переменные, чтобы они соответствовали квадратичной формуле. Это довольно хитрый прием. Квадратичная формула служит для того, чтобы найти решение x квадратного уравнения . Чтобы текущее уравнение соответствовало этому виду, необходимо переопределить переменные следующим образом: [23] X Источник информации
- Пусть . Таким образом, x =1
- Пусть . Таким образом, b =2
- Пусть . Таким образом, c=(-3-x)
-
Используйте квадратичную формулу после того, как переопределите переменные. Обычно в квадратичную формулу подставляют коэффициенты a , b и c , чтобы найти x . Однако выше мы поменяли местами переменные x и y , чтобы найти обратную функцию. Таким образом, если вы используете квадратичную формулу, чтобы найти x , то на самом деле решите уравнение относительно y , то есть f(x) . Используйте квадратичную формулу следующим образом: [24] X Источник информации
- x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a
- x=(-2)±√((-2)^2-4(1)(-3-x)) / 2(1)
- x=((-2)±√(4+12+4x))/2
- x=(-2±√(16+4x))/2
- x=(-2±√(4)(4+x))/2
- x=-2±2√(4+x))/2
- x=-1±√(4+x)
- f-обратная = -1±√(4+x) (этот последний шаг возможен благодаря тому, что ранее вы подставили вместо f(x) x ).
-
Запишите два возможных решения. Учтите, что квадратичная формула дает два возможных решения, что обозначается знаком ±. Запишите оба решения, чтобы вам легче было найти область определения и область значений и выбрать правильный ответ. В нашем примере эти решения выглядят следующим образом: [25] X Источник информации
-
Установите область определения и область значений обратной функции. Обратите внимание, что для существования квадратного корня область определения должна удовлетворять условию x ≥-4. Вспомним, что область определения первоначальной функции была x ≤-1, а область значений задавалась условием y ≥-4. Чтобы выбрать соответствующую обратную функцию, ее следует взять в виде второго решения . [26] X Источник информации
-
Проверьте, правильно ли вы нашли обратную функцию. Для этого возьмите какое-либо значение x , подставьте его в первоначальную функцию и найдите y . Затем подставьте найденное значение y в обратную функцию вместо x и посмотрите, получится ли у вас то значение, которое вы выбрали в начале. Если да, обратная функция найдена правильно. [27] X Источник информации
- Подставим в первоначальную функцию значение x =-2. В результате получим y =-3. Затем подставим x =-3 в обратную функцию . Это даст -2, то есть то значение, с которого мы начали. Таким образом, обратная функция определена правильно.
Реклама
Источники
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ http://www.personal.kent.edu/~bosikiew/Algebra-handouts/quad-stand.pdf
- ↑ http://www.personal.kent.edu/~bosikiew/Algebra-handouts/quad-stand.pdf
- ↑ http://www.personal.kent.edu/~bosikiew/Algebra-handouts/quad-stand.pdf
- ↑ http://www.personal.kent.edu/~bosikiew/Algebra-handouts/quad-stand.pdf
- ↑ http://www.personal.kent.edu/~bosikiew/Algebra-handouts/quad-stand.pdf
- ↑ http://www.personal.kent.edu/~bosikiew/Algebra-handouts/quad-stand.pdf
- ↑ http://www.personal.kent.edu/~bosikiew/Algebra-handouts/quad-stand.pdf
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
Об этой статье
Эту страницу просматривали 39 899 раз.
Реклама
