Как определять четные и нечетные функции

Соавтор(ы): Jake Adams

Функции бывают четными, нечетными или общего вида (то есть ни четными, ни нечетными). Вид функции зависит от наличия или отсутствия симметрии. Лучший способ определить вид функции – это выполнить ряд алгебраических вычислений. Но вид функции можно выяснить и по ее графику. Если научиться определять вид функций, можно предугадывать поведение определенных сочетаний функций.

Метод 1

Метод 1 из 2:

Алгебраический способ

Загрузить PDF

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/8a\/Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-1-Version-2.jpg\/v4-460px-Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-1-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/8\/8a\/Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-1-Version-2.jpg\/v4-728px-Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-1-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
Запомните, что такое противоположные значения переменных. В алгебре противоположное значение переменной записывается со знаком «-» (минус). Причем это верно при любом обозначении независимой переменной (буквой $x$ или любой другой буквой). Если в исходной функции перед переменной уже стоит отрицательный знак, то ее противоположным значением будет положительная переменная. Ниже приведены примеры некоторых переменных и их противоположных значений: ^{[1]
X
Источник информации}
- Противоположным значением для $x$ является $-x$ .
- Противоположным значением для $q$ является $-q$ .
- Противоположным значением для $-w$ является $w$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/ed\/Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-2-Version-2.jpg\/v4-460px-Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-2-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/ed\/Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-2-Version-2.jpg\/v4-728px-Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-2-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Замените независимую переменную на ее противоположное значение. То есть поменяйте знак независимой переменной на противоположный. Например: ^{[2]
X
Источник информации}
- $f(x)=4x^{2}-7$ превращается в $f(-x)=4(-x)^{2}-7$
- $g(x)=5x^{5}-2x$ превращается в $g(-x)=5(-x)^{5}-2(-x)$
- $h(x)=7x^{2}+5x+3$ превращается в $h(-x)=7(-x)^{2}+5(-x)+3$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/29\/Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-3-Version-2.jpg\/v4-460px-Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-3-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/29\/Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-3-Version-2.jpg\/v4-728px-Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-3-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Упростите новую функцию. На этом этапе вместо независимой переменной не нужно подставлять определенные числовые значения. Необходимо просто упростить новую функцию f(-x), чтобы сравнить ее с исходной функцией f(x). Вспомните основное правило возведения в степень: при возведении отрицательной переменной в четную степень получится положительная переменная, а при возведении отрицательной переменной в нечетную степень получится отрицательная переменная. ^{[3]
X
Источник информации}
- $f(-x)=4(-x)^{2}-7$
  - $f(-x)=4x^{2}-7$
- $g(-x)=5(-x)^{5}-2(-x)$
  - $g(-x)=5(-x^{5})+2x$
  - $g(-x)=-5x^{5}+2x$
- $h(-x)=7(-x)^{2}+5(-x)+3$
  - $h(-x)=7x^{2}-5x+3$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a6\/Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-4-Version-2.jpg\/v4-460px-Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-4-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/a6\/Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-4-Version-2.jpg\/v4-728px-Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-4-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
Сравните две функции. Сравните упрощенную новую функцию f(-x) с исходной функцией f(x). Запишите соответствующие члены обеих функций друг под другом и сравните их знаки. ^{[4]
X
Источник информации}
- Если знаки соответствующих членов обеих функций совпадают, то есть f(x) = f(-x), исходная функция четная. Пример:
  - $f(x)=4x^{2}-7$ и $f(-x)=4x^{2}-7$ .
  - Здесь знаки членов совпадают, поэтому исходная функция четная.
- Если знаки соответствующих членов обеих функций противоположны друг другу, то есть f(x) = -f(-x), исходная функция четная. Пример:
  - $g(x)=5x^{5}-2x$ , но $g(-x)=-5x^{5}+2x$ .
  - Обратите внимание, что если умножить каждый член первой функции на -1, получится вторая функция. Таким образом, исходная функция g(x) является нечетной.
- Если новая функция не соответствует ни одному из приведенных примеров, то она является функцией общего вида (то есть ни четной, ни нечетной). Например:
  - $h(x)=7x^{2}+5x+3$ , но $h(-x)=7x^{2}-5x+3$ . Знаки первых членов обеих функций одинаковы, а знаки вторых членов противоположны. Поэтому эта функция является ни четной, ни нечетной.
Реклама

Метод 2

Метод 2 из 2:

Графический способ

Загрузить PDF

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/58\/Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-5-Version-2.jpg\/v4-460px-Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-5-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/58\/Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-5-Version-2.jpg\/v4-728px-Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-5-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
Постройте график функции . Для этого воспользуйтесь миллиметровкой или графическим калькулятором. Выберите несколько любых числовых значений независимой переменной $x$ и подставьте их в функцию, чтобы вычислить значения зависимой переменной $y$ . Найденные координаты точек нанесите на координатную плоскость, а затем соедините эти точки, чтобы построить график функции. ^{[5]
X
Источник информации}
- В функцию подставьте положительные числовые значения $x$ и соответствующие отрицательные числовые значения. Например, дана функция $f(x)=2x^{2}+1$ . Подставьте в нее следующие значения $x$ :
  - $f(1)=2(1)^{2}+1=2+1=3$ . Получили точку с координатами $(1,3)$ .
  - $f(2)=2(2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9$ . Получили точку с координатами $(2,9)$ .
  - $f(-1)=2(-1)^{2}+1=2+1=3$ . Получили точку с координатами $(-1,3)$ .
  - $f(-2)=2(-2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9$ . Получили точку с координатами $(-2,9)$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/e2\/Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-6-Version-2.jpg\/v4-460px-Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-6-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/e2\/Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-6-Version-2.jpg\/v4-728px-Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-6-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Проверьте, симметричен ли график функции относительно оси Y. Под симметрией подразумевается зеркальное отображение графика относительно оси ординат. Если часть графика справа от оси Y (положительные значения независимой переменной) совпадает с частью графика слева от оси Y (отрицательные значения независимой переменной), график симметричен относительно оси Y. Если функция симметрична относительно оси ординат, такая функция четная. ^{[6]
X
Источник информации}
- Проверить симметричность графика можно по отдельным точкам. Если значение $y$ , которое соответствует значению $x$ , совпадает со значением $y$ , которое соответствует значению $-x$ , функция является четной. В нашем примере с функцией $f(x)=2x^{2}+1$ мы получили следующие координаты точек:
  - (1,3) и (-1,3)
  - (2,9) и (-2,9)
- Обратите внимание, что при x=1 и x=-1 зависимая переменная у=3, а при x=2 и x=-2 зависимая переменная у=9. Таким образом, функция четная. На самом деле, чтобы точно выяснить вид функции, нужно рассмотреть более двух точек, но описанный способ является хорошим приближением.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/3e\/Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-7-Version-2.jpg\/v4-460px-Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-7-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/3\/3e\/Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-7-Version-2.jpg\/v4-728px-Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-7-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Проверьте, симметричен ли график функции относительно начала координат. Начало координат – это точка с координатами (0,0). Симметрия относительно начала координат означает, что положительному значению $y$ (при положительном значении $x$ ) соответствует отрицательное значение $y$ (при отрицательном значении $x$ ), и наоборот. Нечетные функции обладают симметрией относительно начала координат. ^{[7]
X
Источник информации}
- Если в функцию подставить несколько положительных и соответствующих отрицательных значений $x$ , значения $y$ будут различаться по знаку. Например, дана функция $f(x)=x^{3}+x$ . Подставьте в нее несколько значений $x$ :
  - $f(1)=1^{3}+1=1+1=2$ . Получили точку с координатами (1,2).
  - $f(-1)=(-1)^{3}+(-1)=-1-1=-2$ . Получили точку с координатами (-1,-2).
  - $f(2)=2^{3}+2=8+2=10$ . Получили точку с координатами (2,10).
  - $f(-2)=(-2)^{3}+(-2)=-8-2=-10$ . Получили точку с координатами (-2,-10).
- Таким образом, f(x) = -f(-x), то есть функция нечетная.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a7\/Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-8-Version-2.jpg\/v4-460px-Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-8-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/a7\/Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-8-Version-2.jpg\/v4-728px-Tell-if-a-Function-Is-Even-or-Odd-Step-8-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
Проверьте, имеет ли график функции какую-нибудь симметрию. Последний вид функции – это функция, график которой не имеет симметрии, то есть зеркальное отображение отсутствует как относительно оси ординат, так и относительно начала координат. Например, дана функция $f(x)=x^{2}+2x+1$ . ^{[8]
X
Источник информации}
- В функцию подставьте несколько положительных и соответствующих отрицательных значений $x$ :
  - $f(1)=1^{2}+2(1)+1=1+2+1=4$ . Получили точку с координатами (1,4).
  - $f(-1)=(-1)^{2}+2(-1)+(-1)=1-2-1=-2$ . Получили точку с координатами (-1,-2).
  - $f(2)=2^{2}+2(2)+2=4+4+2=10$ . Получили точку с координатами (2,10).
  - $f(-2)=(-2)^{2}+2(-2)+(-2)=4-4-2=-2$ . Получили точку с координатами (2,-2).
- Согласно полученным результатам, симметрии нет. Значения $y$ для противоположных значений $x$ не совпадают и не являются противоположными. Таким образом, функция является ни четной, ни нечетной.
- Обратите внимание, что функцию $f(x)=x^{2}+2x+1$ можно записать так: $f(x)=(x+1)^{2}$ . Будучи записанной в такой форме, функция кажется четной, потому что присутствует четный показатель степени. Но этот пример доказывает, что вид функции нельзя быстро определить, если независимая переменная заключена в скобки. В этом случае нужно раскрыть скобки и проанализировать полученные показатели степени.
Реклама