Как пользоваться теоремой косинусов

Соавтор(ы): Joseph Meyer

Теорема косинусов широко применяется в тригонометрии . Ее используют при работе с неправильными треугольниками, чтобы находить неизвестные величины, например стороны и углы. Теорема схожа с теорема Пифагора , и ее довольно легко запомнить. Теорема косинусов гласит, что в любом треугольнике $c^{{2}}=a^{{2}}+b^{{2}}-2ab\cos {C}$ .

Метод 1

Метод 1 из 3:

Как найти неизвестную сторону

Загрузить PDF

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/34\/Use-the-Cosine-Rule-Step-1-Version-2.jpg\/v4-460px-Use-the-Cosine-Rule-Step-1-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/3\/34\/Use-the-Cosine-Rule-Step-1-Version-2.jpg\/v4-728px-Use-the-Cosine-Rule-Step-1-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
Запишите известные величины. Чтобы найти неизвестную сторону треугольника, нужно знать две другие стороны и угол между ними. ^{[1]
X
Источник информации}
- Например, дан треугольник XYZ. Сторона YX равна 5 см, сторона YZ равна 9 см, а угол Y равен 89°. Чему равна сторона XZ?
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/9\/99\/Use-the-Cosine-Rule-Step-2-Version-2.jpg\/v4-460px-Use-the-Cosine-Rule-Step-2-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/9\/99\/Use-the-Cosine-Rule-Step-2-Version-2.jpg\/v4-728px-Use-the-Cosine-Rule-Step-2-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

Формула: $c^{{2}}=a^{{2}}+b^{{2}}-2ab\cos {C}$ , где $c$ — неизвестная сторона, $\cos {C}$ — косинус угла, противоположного неизвестной стороне, $a$ и $b$ — две известные стороны. ^{[2]
X
Источник информации}
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/d3\/Use-the-Cosine-Rule-Step-3-Version-2.jpg\/v4-460px-Use-the-Cosine-Rule-Step-3-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/d3\/Use-the-Cosine-Rule-Step-3-Version-2.jpg\/v4-728px-Use-the-Cosine-Rule-Step-3-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Подставьте известные значения в формулу. Переменные $a$ и $b$ обозначают две известные стороны. Переменная $C$ — это известный угол, который лежит между сторонами $a$ и $b$ . ^{[3]
X
Источник информации}
- В нашем примере сторона XZ неизвестна, поэтому в формуле она обозначена как $c$ . Так как стороны YX и YZ известны, они обозначены переменными $a$ и $b$ . Переменная $C$ — это угол Y. Итак, формула запишется следующим образом: $c^{{2}}=5^{{2}}+9^{{2}}-2(5)(9)\cos {89}$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/7a\/Use-the-Cosine-Rule-Step-4-Version-2.jpg\/v4-460px-Use-the-Cosine-Rule-Step-4-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/7a\/Use-the-Cosine-Rule-Step-4-Version-2.jpg\/v4-728px-Use-the-Cosine-Rule-Step-4-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
Найдите косинус известного угла. Сделайте это с помощью калькулятора. Введите значение угла, а затем нажмите кнопку $COS$ . Если у вас нет научного калькулятора, найдите онлайн-таблицу значений косинусов, например, здесь . ^{[4]
X
Источник информации} Также в Яндексе можно ввести «косинус Х градусов» (вместо X подставьте значение угла), и поисковая система отобразит косинус угла.
- Например, косинус 89° ≈ 0,01745. Итак: $c^{{2}}=5^{{2}}+9^{{2}}-2(5)(9)(0,01745)$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/2d\/Use-the-Cosine-Rule-Step-5.jpg\/v4-460px-Use-the-Cosine-Rule-Step-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/2d\/Use-the-Cosine-Rule-Step-5.jpg\/v4-728px-Use-the-Cosine-Rule-Step-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

5
Перемножьте числа. Умножьте $2ab$ на косинус известного угла.
- Например:
  $c^{{2}}=5^{{2}}+9^{{2}}-2(5)(9)(0,01745)$
  $c^{{2}}=5^{{2}}+9^{{2}}-1,5707$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/d4\/Use-the-Cosine-Rule-Step-6.jpg\/v4-460px-Use-the-Cosine-Rule-Step-6.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/d4\/Use-the-Cosine-Rule-Step-6.jpg\/v4-728px-Use-the-Cosine-Rule-Step-6.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

6
Сложите квадраты известных сторон. Помните, чтобы возвести число в квадрат, его нужно умножить на само себя. Сначала возведите в квадрат соответствующие числа, а затем сложите полученные значения.
- Например:
  $c^{{2}}=5^{{2}}+9^{{2}}-1,5707$
  $c^{{2}}=25+81-1,5707$
  $c^{{2}}=106-1,5707$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/11\/Use-the-Cosine-Rule-Step-7.jpg\/v4-460px-Use-the-Cosine-Rule-Step-7.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/11\/Use-the-Cosine-Rule-Step-7.jpg\/v4-728px-Use-the-Cosine-Rule-Step-7.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

7
Вычтите два числа. Вы найдете $c^{{2}}$ .
- Например:
  $c^{{2}}=106-1,5707$
  $c^{{2}}=104,4293$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/2e\/Use-the-Cosine-Rule-Step-8.jpg\/v4-460px-Use-the-Cosine-Rule-Step-8.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/2e\/Use-the-Cosine-Rule-Step-8.jpg\/v4-728px-Use-the-Cosine-Rule-Step-8.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

8
Извлеките квадратный корень из полученного значения. Для этого воспользуйтесь калькулятором. Так вы найдете неизвестную сторону. ^{[5]
X
Источник информации}
- Например:
  $c^{{2}}=104,4293$
  ${\sqrt {c^{{2}}}}={\sqrt {104,4293}}$
  $c=10,2191$
  Итак, неизвестная сторона равна 10,2191 см.
Реклама

Метод 2

Метод 2 из 3:

Как найти неизвестный угол

Загрузить PDF

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/d9\/Use-the-Cosine-Rule-Step-9.jpg\/v4-460px-Use-the-Cosine-Rule-Step-9.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/d9\/Use-the-Cosine-Rule-Step-9.jpg\/v4-728px-Use-the-Cosine-Rule-Step-9.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
Запишите известные величины. Чтобы найти неизвестный угол треугольника, нужно знать все три стороны треугольника. ^{[6]
X
Источник информации}
- Например, дан треугольник RST. Сторона СР = 8 см, ST = 10 см, РТ = 12 см. Найдите значение угла S.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/af\/Use-the-Cosine-Rule-Step-10.jpg\/v4-460px-Use-the-Cosine-Rule-Step-10.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/af\/Use-the-Cosine-Rule-Step-10.jpg\/v4-728px-Use-the-Cosine-Rule-Step-10.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

Формула: $c^{{2}}=a^{{2}}+b^{{2}}-2ab\cos {C}$ , где $\cos {C}$ — косинус неизвестного угла, $c$ — известная сторона, противолежащая неизвестному углу, $a$ и $b$ — две другие известные стороны. ^{[7]
X
Источник информации}
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/16\/Use-the-Cosine-Rule-Step-11.jpg\/v4-460px-Use-the-Cosine-Rule-Step-11.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/16\/Use-the-Cosine-Rule-Step-11.jpg\/v4-728px-Use-the-Cosine-Rule-Step-11.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Найдите значения $a$ , $b$ и $c$ . Затем подставьте их в формулу. ^{[8]
X
Источник информации}
- Например, сторона RT противоположна неизвестному углу S, поэтому сторона RT — это $c$ в формуле. Другие стороны будут $a$ и $b$ . Итак, формула запишется следующим образом: $12^{{2}}=8^{{2}}+10^{{2}}-2(8)(10)\cos {C}$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/f1\/Use-the-Cosine-Rule-Step-12.jpg\/v4-460px-Use-the-Cosine-Rule-Step-12.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/f\/f1\/Use-the-Cosine-Rule-Step-12.jpg\/v4-728px-Use-the-Cosine-Rule-Step-12.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
Перемножьте числа. Умножьте $2ab$ на косинус неизвестного угла.
- Например, $12^{{2}}=8^{{2}}+10^{{2}}-160\cos {C}$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/f0\/Use-the-Cosine-Rule-Step-13.jpg\/v4-460px-Use-the-Cosine-Rule-Step-13.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/f\/f0\/Use-the-Cosine-Rule-Step-13.jpg\/v4-728px-Use-the-Cosine-Rule-Step-13.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

5
Возведите $c$ в квадрат. То есть умножьте число само себя.
- Например, $144=8^{{2}}+10^{{2}}-160\cos {C}$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/c4\/Use-the-Cosine-Rule-Step-14.jpg\/v4-460px-Use-the-Cosine-Rule-Step-14.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/c4\/Use-the-Cosine-Rule-Step-14.jpg\/v4-728px-Use-the-Cosine-Rule-Step-14.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

6
Сложите квадраты $a$ и $b$ . Но сначала возведите соответствующие числа в квадрат.
- Например:
  $144=64+100-160\cos {C}$
  $144=164-160\cos {C}$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/b\/bf\/Use-the-Cosine-Rule-Step-15.jpg\/v4-460px-Use-the-Cosine-Rule-Step-15.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/b\/bf\/Use-the-Cosine-Rule-Step-15.jpg\/v4-728px-Use-the-Cosine-Rule-Step-15.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

7
Изолируйте косинус неизвестного угла. Для этого вычтите сумму $a^{{2}}$ и $b^{{2}}$ из обеих частей уравнения. Затем разделите каждую часть уравнения на коэффициент (множитель) при косинусе неизвестного угла.
- Например, чтобы изолировать косинус неизвестного угла, вычтите 164 из обеих сторон уравнения, а затем разделите каждую сторону на -160:
  $144-164=164-164-160\cos {C}$
  $-20=-160\cos {C}$
  ${\frac {-20}{-160}}={\frac {-160\cos {C}}{-160}}$
  $0,125=\cos {C}$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/76\/Use-the-Cosine-Rule-Step-16.jpg\/v4-460px-Use-the-Cosine-Rule-Step-16.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/76\/Use-the-Cosine-Rule-Step-16.jpg\/v4-728px-Use-the-Cosine-Rule-Step-16.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

8
Вычислите арккосинус. Так вы найдете значение неизвестного угла. ^{[9]
X
Источник информации} На калькуляторе функция арккосинуса обозначается $COS^{{-1}}$ .
- Например, арккосинус 0,0125 равен 82,8192. Итак, угол S равен 82,8192°.
Реклама

Метод 3

Метод 3 из 3:

Примеры задач

Загрузить PDF

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/81\/Use-the-Cosine-Rule-Step-17.jpg\/v4-460px-Use-the-Cosine-Rule-Step-17.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/8\/81\/Use-the-Cosine-Rule-Step-17.jpg\/v4-728px-Use-the-Cosine-Rule-Step-17.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
Найдите неизвестную сторону треугольника. Известные стороны равны 20 см и 17 см, а угол между ними равен 68°.
- Так как даны две стороны и угол между ними, можно использовать теорему косинусов. Запишите формулу: $c^{{2}}=a^{{2}}+b^{{2}}-2ab\cos {C}$ .
- Неизвестная сторона — это $c$ . Подставьте известные значения в формулу: $c^{{2}}=20^{{2}}+17^{{2}}-2(20)(17)\cos {68}$ .
- Вычислите $c^{{2}}$ , соблюдая порядок математических операций:
  $c^{{2}}=20^{{2}}+17^{{2}}-2(20)(17)\cos {68}$
  $c^{{2}}=20^{{2}}+17^{{2}}-2(20)(17)(0,3746)$
  $c^{{2}}=20^{{2}}+17^{{2}}-254,7325$
  $c^{{2}}=400+289-254,7325$
  $c^{{2}}=689-254,7325$
  $c^{{2}}=434,2675$
- Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения. Так вы найдете неизвестную сторону:
  ${\sqrt {c^{{2}}}}={\sqrt {434,2675}}$
  $c=20,8391$
  Итак, неизвестная сторона равна 20,8391 см.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/78\/Use-the-Cosine-Rule-Step-18.jpg\/v4-460px-Use-the-Cosine-Rule-Step-18.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/78\/Use-the-Cosine-Rule-Step-18.jpg\/v4-728px-Use-the-Cosine-Rule-Step-18.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Найдите угол H в треугольнике GHI. Две стороны, прилегающие к углу Н, равны 22 и 16 см. Сторона, противоположная углу H, равна 13 см.
- Так как даны все три стороны, можно использовать теорему косинусов. Запишите формулу: $c^{{2}}=a^{{2}}+b^{{2}}-2ab\cos {C}$ .
- Сторона, противоположная неизвестному углу, — это $c$ . Подставьте известные значения в формулу: $13^{{2}}=22^{{2}}+16^{{2}}-2(22)(16)\cos {C}$ .
- Упростите полученное выражение:
  $13^{{2}}=22^{{2}}+16^{{2}}-704\cos {C}$
  $13^{{2}}=484+256-704\cos {C}$
  $169=484+256-704\cos {C}$
  $169=740-704\cos {C}$
- Изолируйте косинус:
  $169-740=740-740-704\cos {C}$
  $-571=-704\cos {C}$
  ${\frac {-571}{-704}}={\frac {-704\cos {C}}{-704}}$
  $0,8111=\cos {C}$
- Найдите арккосинус. Так вы вычислите неизвестный угол:
  $0,8111=\cos {C}$
  $35,7985=COS^{{-1}}$ .
  Таким образом, угол H равен 35,7985°.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a8\/Use-the-Cosine-Rule-Step-19.jpg\/v4-460px-Use-the-Cosine-Rule-Step-19.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/a8\/Use-the-Cosine-Rule-Step-19.jpg\/v4-728px-Use-the-Cosine-Rule-Step-19.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Найдите длину тропы. Речная, Холмистая и Болотная тропы образуют треугольник. Длина Речной тропы — 3 км, длина Холмистой тропы — 5 км; эти тропы пересекаются друг с другом под углом 135°. Болотная тропа соединяет два конца других троп. Найдите длину Болотной тропы.
- Тропы образуют треугольник. Нужно найти длину неизвестной тропы, которая представляет собой сторону треугольника. Так как даны длины двух других троп и угол между ними, можно использовать теорему косинусов.
- Запишите формулу: $c^{{2}}=a^{{2}}+b^{{2}}-2ab\cos {C}$ .
- Неизвестную тропу (Болотную) обозначим как $c$ . Подставьте известные значения в формулу: $c^{{2}}=3^{{2}}+5^{{2}}-2(3)(5)\cos {135}$ .
- Вычислите $c^{{2}}$ :
  $c^{{2}}=3^{{2}}+5^{{2}}-2(3)(5)\cos {135}$
  $c^{{2}}=3^{{2}}+5^{{2}}-2(3)(5)(-0,7071)$
  $c^{{2}}=3^{{2}}+5^{{2}}-(-21,2132)$
  $c^{{2}}=9+25+21,2132$
  $c^{{2}}=55,2132$
- Извлеките квадратный корень из обеих сторон уравнения. Так вы найдете длину неизвестной тропы:
  ${\sqrt {c^{{2}}}}={\sqrt {55,2132}}$
  $c=7,4306$
  Итак, длина Болотной тропы равна 7,4306 км.
Реклама