Загрузить PDF
Загрузить PDF
Парабола представляет собой геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой (директрисы) и данной точки (фокуса). Это двумерная, зеркально-симметричная кривая. Для построения параболы необходимо найти ее вершину и несколько точек по обеим сторонам от вершины.
Шаги
-
Терминология. Знание терминологии поможет вам при построении параболы. [1] X Источник информации
- Фокус параболы — это точка, от которой равноудалены все точки, лежащие на параболе.
- Директриса параболы — это прямая, от которой равноудалены все точки, лежащие на параболе.
- Ось симметрии параболы — это вертикальная линия, проходящая через фокус и вершину параболы перпендикулярно ее директрисе.
- Вершина параболы — точка пересечения параболы и оси симметрии. Если парабола направлена вверх, то вершина является самой низкой точкой параболы; если парабола направлена вниз, то вершина является самой верхней точкой параболы.
-
Уравнение параболы. Уравнение параболы имеет вид: y=ax 2 +bx+c . Уравнение параболы также можно записать в виде y = a(x – h)2 + k .
- Если коэффициент «а» положительный, то парабола направлена вверх, а если коэффициент «а» отрицательный, то парабола направлена вниз. Для запоминания этого правила: при положительном ( позитивном ) коэффициенте парабола «улыбается» (направлена вверх) и наоборот при отрицательном ( негативном ) коэффициенте.
- Например: y = 2x 2 -1 . Парабола этого уравнения направлена вверх, так как а = 2 (положительный коэффициент).
- Если в уравнении в квадрат возводится «у», а не «х», то парабола «лежит на боку» и направлена вправо или влево. Например, парабола y 2 = x + 3 направлена вправо.
-
Найдите ось симметрии. Ось симметрии параболы — это вертикальная линия, проходящая через вершину параболы. Ось симметрии задается функцией х = n, где n – координата «х» вершины параболы. Для вычисления оси симметрии воспользуйтесь формулой x = -b/2a . [2] X Источник информации
- В нашем примере а = 2 , b = 0 . Подставьте эти значения в формулу: х = -0/(2 х 2) = 0 .
- Ось симметрии х = 0.
-
Найдите вершину. Вычислив ось симметрии, вы нашли координату «х» вершины параболы. Подставьте найденное значение в исходное уравнение, чтобы найти «у». Эти две координаты и есть координаты вершины параболы. В нашем примере подставьте х = 0 в у = 2x 2 -1 и получите у = -1. Вершина параболы имеет координаты (0, -1). Более того, это точка пересечения параболы с осью Y (так как х = 0). [3] X Источник информации
- Иногда координаты вершины обозначаются как (h,k). В нашем примере h = 0, k = -1. Если квадратное уравнение дано в виде y = a(x – h)2 + k , то можно с легкостью найти координаты вершины непосредственно из уравнения (без вычислений).
-
Нарисуйте таблицу с двумя столбцами. В первом столбце будут расположены значения «х», а во втором — значения «у». Это будут координаты точек, лежащих на параболе.
- «Средним» значением «х» выберите координату «х» вершины параболы.
- Выше и ниже «среднего» значения «х» напишите по два значения «х» (для симметрии).
- В нашем примере запишите х = 0 в середине таблицы.
-
Вычислите значения «у». Для этого подставьте значения «х» из таблицы в данное вам уравнение, а затем запишите полученные значения «у» в таблицу.
- x = -2 , y = 2 x (-2) 2 - 1 = 8 - 1 = 7
- x = -1 , y = 2 x (-1) 2 - 1 = 2 - 1 = 1
- x = 0 , y = 2 x (0) 2 - 1 = 0 - 1 = -1
- x = 1 , y = 2 x (1) 2 - 1 = 2 - 1 = 1
- x = 2 , y = 2 x (2) 2 - 1 = 8 - 1 = 7
-
Теперь, когда вы нашли координаты пяти точек, вы можете построить график. Вы нашли пять точек с координатами (-2,7), (-1,1), (0,-1), (1,1), (2,7). Обратите внимание, что при симметричных (относительно оси симметрии) значениях «х» значения «у» совпадают, то есть, например, при х = -2 и х = 2 у = 7.
-
Нанесите найденные точки на координатной плоскости. Каждая строка таблицы — это координаты (х,у) одной точки.
- Ось Х идет влево и вправо; ось Y идет вверх и вниз.
- Положительные значения по оси Y откладываются вверх от точки (0,0), а отрицательные — вниз от точки (0,0).
- Положительные значения по оси Х откладываются вправо от точки (0,0), а отрицательные — влево от точки (0,0).
-
Соедините точки U-образной кривой, и вы получите параболу. Соединяйте точки плавной кривой, а не ломаной линией, чтобы получить правильную параболу. По желанию можете нарисовать стрелки на концах параболы, направленные в сторону от вершины. Это послужит признаком того, что парабола бесконечна. [4] X Источник информацииРеклама
Если вы хотите сдвинуть параболу на координатной плоскости без вычисления ее вершины и дополнительных точек, то вам нужно научиться «читать» уравнение параболы. Начните с простейшего уравнения параболы: у = x 2 . Ее вершина имеет координаты (0,0), а сама парабола направлена вверх. Точки, лежащие на этой параболе, имеют координаты (-1,1), (1,1), (2,4), (2,4) (и так далее). Теперь мы покажем вам, как сдвинуть эту параболу. [5] X Источник информации
-
Сдвиг вверх. Перепишите уравнение так: y = x 2 +1 , то есть парабола сдвинется вверх на 1 единицу (вершина новой параболы имеет координаты (0, 1)). Новая парабола будет иметь такую же форму, как и исходная, но координата «у» каждой точки увеличится на 1 единицу. Таким образом, вместо точек (-1, 1) и (1, 1) вы получите точки (-1, 2) и (1, 2) (и так далее).
-
Сдвиг вниз. Перепишите уравнение так: y = x 2 -1 , то есть парабола сдвинется вниз на 1 единицу (вершина новой параболы имеет координаты (0, -1)). Новая парабола будет иметь такую же форму, как и исходная, но координата «у» каждой точки уменьшится на 1 единицу. Таким образом, вместо точек (-1, 1) и (1, 1) вы получите точки (-1, 0) и (1, 0) (и так далее).
-
Сдвиг влево. Перепишите уравнение так: y = (x+1) 2 , то есть парабола сдвинется влево на 1 единицу (вершина новой параболы имеет координаты (-1,0)). Новая парабола будет иметь такую же форму, как и исходная, но координата «х» каждой точки уменьшится на 1 единицу. Таким образом, вместо точек (-1, 1) и (1, 1) вы получите точки (-2, 1) и (0, 1) (и так далее).
-
Сдвиг вправо. Перепишите уравнение так: y = (x-1) 2 , то есть парабола сдвинется вправо на 1 единицу (вершина новой параболы имеет координаты (1,0)). Новая парабола будет иметь такую же форму, как и исходная, но координата «х» каждой точки увеличится на 1 единицу. Таким образом, вместо точек (-1, 1) и (1, 1) вы получите точки (0, 1) и (2, 1) (и так далее).Реклама
Источники
- ↑ http://www.mathsisfun.com/definitions/parabola.html
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/grphquad.htm
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/grphquad.htm
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/grphquad.htm
- ↑ http://www.sparknotes.com/math/algebra1/quadratics/section1.rhtml
- http://www.mathsisfun.com/definitions/parabola.html
- http://www.sparknotes.com/math/algebra1/quadratics/section1.rhtml
- http://www.purplemath.com/modules/grphquad.htm
- http://www.mathsisfun.com/geometry/parabola.html
Реклама
