Загрузить PDF
Загрузить PDF
Множество людей думают, что если бросить три игровых кости с шестью сторонами, существует одинаковая вероятность получения как тройки, так и десятки. Это неправда, в этой статье мы расскажем вам, как посчитать среднее линейное отклонение и квадратичное отклонение при выбросе комбинаций игральными костями.
Давайте разберемся в терминологии механики игровых костей. У обычного игрового кубика 6 сторон, но существуют также другие вариации. Например, двухсторонние игровые кости «монеты», четырехсторонние «пирамиды», 8-сторонние «октаэдры», 10-сторонние «декаэдры», 12-сторонние «додекаэдры» и двадцатисторонние «икосаэдры». При выбросе костей соблюдается формат (количество костей) (сокращенный идентификатор игрового кубика). Запись 2D6 означает выброс двух костей с 6 сторонами. В этой статье в формулах будут использованы следующие обозначения: N – количество выбрасываемых костей, R - количество сторон в каждой игровой кости, от 1 до R, а также K - комбинаторное значение. Есть несколько методов вычисления вероятности выпадения каждой сумы.
Шаги
-
Запишите количество костей, их сторон и нужное число.
-
Перечислите все комбинации, с помощью которых может получится данная сумма. Чем больше у вас игровых костей, тем больше комбинаций. Например, если N = 5, R = 6, K = 12. Смотрите запись на картинке снизу. Чтобы убедиться, что ни одна комбинация не была посчитана дважды, все значения приведены в словарном порядке, а кости не в уменьшающемся порядке.
-
Не все комбинации, записанные в предыдущем шаге, имеют одинаковую вероятность выпадения. Возьмем пример трехсторонней игровой кости с тремя сторонами 1,2,3. Существует 6 возможностей — (123, 132, 213, 231, 312, 321), но при сторонах 1,1,4 есть только 3 возможности — 114, 141, 411. Используйте полиномиальную формулу для вычисления количества комбинаций всех цифр. Эта информация добавлена в таблицу на картинке внизу.
-
Сложите все возможные комбинации получения нужной суммы.
-
Разделите на общее количество результатов. Поскольку у каждой игровой кости есть R одинаково вероятных сторон, записываем R n .Реклама
Этим методом считают вероятность выпадения всех сумм для все цифр на игровых костях. Его легче всего записывать в форме таблицы.
-
Запишите вероятность выброса для одной игровой кости. В примере на картинке записан способ исчисления вероятности для 6-сторонней игровой кости. Пустые ряды в таблице с отрицательными числами принято считать нулями, используя ту же формулу для каждого ряда таблицы.
-
В колонке таблицы для расчета вероятности для двух игровых костей используйте приведенную формулу. Вероятность выпадения суммы К для двух костей равняется сумме следующего (описано ниже). Для каждой большой или маленькой величины К некоторые из этих значений могут равняться 0, но формула действительна для всех значений К.
- Первая кость показывает К-1, а вторая показывает 1.
- Первая кость показывает К-2, а вторая показывает 2.
- Первая кость показывает К-3, а вторая показывает 3.
- Первая кость показывает К-4, а вторая показывает 4.
- Первая кость показывает К-5, а вторая показывает 5.
- Первая кость показывает К-6, а вторая показывает 6.
-
Точно так же, для 3 или более игровых костей применяется та же формула, с использованием вероятностей выпадения каждой суммы на одной игровой кости. Формула, описанная во втором шаге, может быть применена как к рядам таблицы, так и к колонкам, пока в нее не будут включены все данные из таблицы.
-
Приведенная ниже картинка показывает количество способов достижения нужной суммы, а не вероятность. Но, вероятность = количество способов достижения нужной суммы / Rn, где R—количество сторон каждой игровой кости, а N— количество игровых костей.Реклама
-
Запишите многочлен ( 1/ R)(X+X 2 +X r ). Это производящая функция для одной игровой кости. Коэффициент Х к —это вероятность того, что вы выбросите сумму К.
-
Возведите многочлен в степень n, чтобы получить производящею функцию для суммы, которая выпала на игровых костях. Получилось ( 1/ R)(X+X 2 +X r ) n . Если N больше 2, вам понадобится калькулятор.
-
Подсчет этой вероятности делается так же, как и в предыдущем методе, но иногда теоретические результаты получить легче с помощью производящей функции. Например, если вы бросаете 2 обычных игровых кости, у них будет точно такое же распределение возможных сумм, как и у необычной игровой кости (1,2,2,3,3,4) и другой (1,3,4,5,6,8). Это происходит потому, что (x+x 2 +x 2 +x 3 +x 3 +x 4 )(x+x 3 +x 4 +x 5 +x 6 +x 8 ) = (x+x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 )(x+x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 ).Реклама
-
Для большого количества игровых костей подсчитать вероятность с помощью вышеописанных методов будет сложно. Теорема о центральном пределе утверждает, что сумма чисел на идентичных игровых костях приближается к нормальному распределению с увеличением количества игровых костей.
-
Подсчитайте среднее отклонение и стандартное отклонение, основываясь на количестве и типе игровых костей. Предположим, что игровые кости пронумерованы от 1 до R, смотрите формулу ниже.
- Среднее значение (R+1)/2.
- Дисперсия распределения вероятности n(r^2-1)/12.
- Стандартное квадратичное отклонение—это квадратный корень дисперсии.
-
Используйте нормальное распределение со средним значением и стандартным квадратичным отклонением как аппроксимацию суммы, выброшенной на игровых костях.Реклама
Предупреждения
- Если у вас несколько игровых костей с разным количеством сторон, вычисление вероятности сильно усложнится. Самый простой способ вычисления вероятности — перечисление всех возможных результатов и упорядочивание их в возрастающем порядке по общей сумме.
Источники
- http://sweb.cz/business.statistics/normal01.jpg z-счет, таблица вероятностей.
- http://namelesskingdom.com Сайт о создании игр.
- http://www.gamedev.net Gamedev.net Игровая статистика.
- http://talkstats.com/ Общая статистика.
