Загрузить PDF
Загрузить PDF
Когда вам дана явная функция, у которой зависимая переменная обособлена на одной стороне от знака равенства (например, y = x 2 -3x), то вы запросто можете продифференцировать ее (то есть найти ее производную). Но неявные функции (например, x 2 + y 2 - 5x + 8y + 2xy 2 = 19), в которых обособить зависимую переменную не так просто, дифференцируют по другому.
Шаги
-
На обеих сторонах функции найдите (стандартным способом) производные членов, содержащих независимую переменную «х», и производные свободных членов. На этом этапе члены, содержащие зависимую переменную «у», пока не трогайте. Например, дана функция x 2 + y 2 - 5x + 8y + 2xy 2 = 19.
- В нашем примере x 2
+ y 2
- 5x + 8y + 2xy 2
= 19 есть два члена с переменной «х»: x 2
и -5x. Найдите их производные:
-
- x 2 + y 2 - 5x + 8y + 2xy 2 = 19
- (Показатель степени 2 в x 2 сделайте множителем, в -5x избавьтесь от «х», а производная 19 равна 0)
- 2x + y 2 - 5 + 8y + 2xy 2 = 0
-
- В нашем примере x 2
+ y 2
- 5x + 8y + 2xy 2
= 19 есть два члена с переменной «х»: x 2
и -5x. Найдите их производные:
-
Теперь возьмите производные от членов с переменной «у» и припишите к ним (dy/dx). Например, при нахождении производной члена y 2 запишите ее так: 2y(dy/dx). На этом этапе члены, содержащие обе переменные («х» и «у»), пока не трогайте.
- В нашем примере 2x + y 2
- 5 + 8y + 2xy 2
= 0 продифференцируйте члены y 2
и 8y:
-
- 2x + y 2 - 5 + 8y + 2xy 2 = 0
- (Показатель степени 2 в у 2 сделайте множителем, а в 8у избавьтесь от «у»; затем припишите к полученным производным dx/dy)
- 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy 2 = 0
-
- В нашем примере 2x + y 2
- 5 + 8y + 2xy 2
= 0 продифференцируйте члены y 2
и 8y:
-
Для нахождения производной члена, содержащего произведение двух переменных («х» и «у»), воспользуйтесь правилом дифференцирования произведения функций: (f × g)' = f' × g + g × f' , где вместо f подставьте «х», а вместо g – «у». [1] X Источник информации С другой стороны, для нахождения производной члена, содержащего частное двух переменных («х» и «у»), воспользуйтесь правилом дифференцирования частного функций: (f/g)' = (g × f' - g' × f)/g 2 , где вместо f подставьте «х», а вместо g – «у» (или наоборот в зависимости от данной вам функции). [2] X Источник информации
- В нашем примере 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2ху 2
= 0 есть один член с обеими переменными: 2xy 2
. Так как здесь переменные перемножаются, воспользуйтесь правилом дифференцирования произведения функций:
-
- 2xy 2 = (2x)(y 2 )— пусть 2x = f и y 2 = g в (f × g)' = f' × g + g × f'
- (f × g)' = (2x)' × (y 2 ) + (2x) × (y 2 )'
- (f × g)' = (2) × (y 2 ) + (2x) × (2y(dy/dx))
- (f × g)' = 2y 2 + 4xy(dy/dx)
-
- Добавьте эти члены в основную функцию и получите: 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y 2 + 4xy(dy/dx) = 0
- В нашем примере 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2ху 2
= 0 есть один член с обеими переменными: 2xy 2
. Так как здесь переменные перемножаются, воспользуйтесь правилом дифференцирования произведения функций:
-
Обособьте (dy/dx). Имейте в виду, что любые два члена «а» и «b», которые умножаются на (dy/dx), можно записать в виде (a + b)(dy/dx). [3] X Источник информации Для обособления (dy/dx) перенесите все члены без (dy/dx) на одну сторону от знака равенства, а затем разделите их на члены, стоящие в скобках у (dy/dx).
- В нашем примере 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y 2
+ 4xy(dy/dx) = 0:
-
- 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y 2 + 4xy(dy/dx) = 0
- (2y + 8 + 4xy)(dy/dx) + 2x - 5 + 2y 2 = 0
- (2y + 8 + 4xy)(dy/dx) = -2y 2 - 2x + 5
- (dy/dx) = (-2y 2 - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)
- (dy/dx) = (-2y 2 - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)
-
Реклама - В нашем примере 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y 2
+ 4xy(dy/dx) = 0:
-
Подставьте значения (x,y), чтобы найти (dy/dx) для любой точки. Обособив (dy/dx), вы нашли производную неявной функции. Используя эту производную, вы можете найти угловой коэффициент касательной в любой точке (х,у), просто подставив в найденную производную координаты «х» и «у».
- Например, необходимо найти угловой коэффициент касательной в точке А (3,-4). Для этого в производную вместо «х» подставьте 3, а вместо «у» подставьте -4:
-
- (dy/dx) = (-2y 2 - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)
- (dy/dx) = (-2(-4) 2 - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)
- (dy/dx) = (-2(16) - 6 + 5)/(2(2(3)(-4))
- (dy/dx) = (-32) - 6 + 5)/(2(2(-12))
- (dy/dx) = (-33)/(2(2(-12))
- (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48 = 0,6875 .
-
- Например, необходимо найти угловой коэффициент касательной в точке А (3,-4). Для этого в производную вместо «х» подставьте 3, а вместо «у» подставьте -4:
-
Воспользуйтесь цепным правилом дифференцирования сложных функций: если функцию F(x) можно записать в виде (f o g)(x), производная F(x) равна f'(g(x))g'(x) . Это означает, что производную композиции двух и более функций можно вычислить на основе индивидуальных производных.
- Пример: найдите производную sin(3x 2
+ x). В этом случае обозначим sin(3x 2
+ x) как "f(x)" и 3x 2
+ x как "g(x)".
-
- f'(g(x))g'(x)
- (sin(3x 2 + x))' × (3x 2 + x)'
- cos(3x 2 + x) × (6x + 1)
- (6x + 1)cos(3x 2 + x)
-
- Пример: найдите производную sin(3x 2
+ x). В этом случае обозначим sin(3x 2
+ x) как "f(x)" и 3x 2
+ x как "g(x)".
-
Если функция содержит переменные «х», «у», «z», найдите (dz/dx) и (dz/dy). То есть если функция содержит более двух переменных, для каждой дополнительной переменной необходимо найти дополнительную производную по «х». Например, если функция содержит переменные «х», «у», «z», нужно найти (dz/dx) и (dz/dy). Вы можете сделать это, продифференцировав функцию по «х» дважды – в первый раз допишите (dz/dx) у каждого продифференцированного члена с «z», а во второй раз допишите (dz/dy) при дифференцировании «z». После этого просто обособьте (dz/dx) и (dz/dy).
- Например, найдите производную x 3 z 2 - 5xy 5 z = x 2 + y 3 .
- Во-первых, продифференцируйте по «х» и допишите (dz/dx). Не забудьте применить правило нахождения производной произведения функций.
-
- x 3 z 2 - 5xy 5 z = x 2 + y 3
- 3x 2 z 2 + 2x 3 z(dz/dx) - 5y 5 z - 5xy 5 (dz/dx) = 2x
- 3x 2 z 2 + (2x 3 z - 5xy 5 )(dz/dx) - 5y 5 z = 2x
- (2x 3 z - 5xy 5 )(dz/dx) = 2x - 3x 2 z 2 + 5y 5 z
- (dz/dx) = (2x - 3x 2 z 2 + 5y 5 z)/(2x 3 z - 5xy 5 )
-
- Теперь проделайте то же самое для (dz/dy):
-
- x 3 z 2 - 5xy 5 z = x 2 + y 3
- 2x 3 z(dz/dy) - 25xy 4 z - 5xy 5 (dz/dy) = 3y 2
- (2x 3 z - 5xy 5 )(dz/dy) = 3y 2 + 25xy 4 z
- (dz/dy) = (3y 2 + 25xy 4 z)/(2x 3 z - 5xy 5 )
-
Реклама
Предупреждения
- Обращайте внимание на члены, при дифференцировании которых необходимо применять правило нахождения производной произведения или частного функций.
Реклама
Источники
Об этой статье
Эту страницу просматривали 10 704 раза.
Реклама