Загрузить PDF
Загрузить PDF
Любое натуральное число можно разложить на произведение простых множителей. Если вы не любите иметь дело с большими числами, такими как 5733, научитесь раскладывать их на простые множители (в данном случае это 3 x 3 x 7 x 7 x 13). Подобная задача часто встречается в криптографии, которая занимается проблемами информационной безопасности. Если вы еще не готовы создать собственную систему безопасной электронной почты, для начала научитесь раскладывать числа на простые множители.
Шаги
-
Узнайте, что такое разложение числа на множители . Разложение числа на произведение множителей представляет собой процесс его "разбиения" на более мелкие части. При перемножении эти части, или множители, дают первоначальное число.
- Например, число 18 можно разложить на следующие произведения: 1 x 18, 2 x 9, или 3 x 6.
-
Вспомните, что такое простые числа. Простое число делится без остатка лишь на два числа: на само себя и на 1. Например, число 5 можно представить в виде произведения 5 и 1. Это число нельзя разложить на другие множители. Цель разложения числа на простые множители заключается в том, чтобы представить его в виде произведения простых чисел. Это особенно удобно при операциях с дробями, так как позволяет сравнивать и упрощать их. [1] X Источник информации
-
Начните с исходного числа. Выберите составное число больше 3. Нет смысла брать простое число, так как оно делится лишь на само себя и единицу.
- Пример: разложим на произведение простых чисел число 24.
-
Разложим данное число на произведение двух множителей. Найдем два меньших числа, произведение которых равно исходному числу. Можно использовать любые множители, но проще взять простые числа. Один из хороших способов состоит в том, чтобы попробовать поделить исходное число сначала на 2, затем на 3, потом на 5 и проверить, на какие из этих простых чисел оно делится без остатка.
- Пример: если вы не знаете множителей для числа 24, попробуйте поделить его на малые простые числа. Так вы обнаружите, что данное число делится на 2: 24 = 2 x 12 . Это хорошее начало.
- Поскольку 2 является простым числом, его хорошо использовать при разложении четных чисел.
-
Начните строить дерево множителей. Эта простая процедура поможет вам разложить число на простые множители. [2] X Источник информации Для начала проведите от исходного числа две "ветки" вниз. На конце каждой ветки напишите найденные множители.
- Пример:
- 24
- /\
- 2 12
-
Разложите на множители следующую строку чисел. Взгляните на два новых числа (вторая строка дерева множителей). Оба ли они относятся к простым числам? Если одно из них не является простым, также разложите его на два множителя. Проведите еще две ветки и напишите два новых множителя в третьей строке дерева.
- Пример: 12 не является простым числом, поэтому его следует разложить на множители. Используем разложение 12 = 2 x 6 и запишем его в третьей строке дерева:
- 24
- /\
- 2 12
- /\
- 2 x 6
-
Продолжайте двигаться вниз по дереву. Если один из новых множителей окажется простым числом, проводите от него одну "ветку" и пишите на ее конце это же число. Простые числа не раскладываются на меньшие множители, поэтому просто переносите их на уровень ниже.
- Пример: 2 является простым числом. Просто перенесите 2 из второй в третью строку:
- 24
- /\
- 2 12
- / /\
- 2 2 6
-
Продолжайте раскладывать числа на множители, пока у вас не останутся одни простые числа. Проверяйте каждую новую строку дерева. Если хоть один из новых множителей не является простым числом, разложите его на множители и запишите новую строку. В конце концов у вас останутся одни простые числа.
- Пример: 6 не является простым числом, поэтому его также следует разложить на множители. В то же время 2 представляет собой простое число, и мы переносим две двойки на следующий уровень:
- 24
- /\
- 2 12
- / /\
- 2 2 6
- / / /\
- 2 2 2 3
-
Запишите последнюю строку в виде произведения простых множителей. В конце концов у вас останутся одни простые числа. Когда это случится, разложение на простые множители завершено. Последняя строка представляет собой набор простых чисел, произведение которых дает исходное число.
- Проверьте ответ: перемножьте стоящие в последней строке числа. В результате должно получиться исходное число.
- Пример: в последней строке дерева множителей содержатся числа 2 и 3. Оба этих числа являются простыми, поэтому разложение завершено. Таким образом, разложение числа 24 на простые множители имеет следующий вид: 24 = 2 x 2 x 2 x 3 .
- Порядок множителей не имеет значения. Разложение можно записать также в виде 2 x 3 x 2 x 2.
-
При желании упростите ответ с помощью степенной записи. Если вы знакомы с возведением чисел в степень, можно записать полученный ответ в более простом виде. Помните, что внизу записывается основание, а надстрочное число показывает, сколько раз это основание следует умножить на само себя.
- Пример: сколько раз встречается число 2 в найденном разложении 2 x 2 x 2 x 3? Три раза, поэтому выражение 2 x 2 x 2 можно записать в виде 2 3 . В упрощенной записи получаем 2 3 x 3.
Реклама
-
Найдите наибольший общий делитель двух чисел. Наибольшим общим делителем (НОД) двух чисел называется максимальное число, на которое оба числа делятся без остатка. В приведенном ниже примере показано, как с помощью разложения на простые множители найти наибольший общий делитель чисел 30 и 36.
- Разложим оба числа на простые множители. Для числа 30 разложение имеет вид 2 x 3 x 5. Число 36 раскладывается на простые множители следующим образом: 2 x 2 x 3 x 3.
- Найдем число, которое встречается в обоих разложениях. Перечеркнем это число в обоих списках и напишем его с новой строки. Например, 2 встречается в двух разложениях, поэтому запишем 2
в новой строке. После этого у нас остается 30 =
2x 3 x 5 и 36 =2x 2 x 3 x 3. - Повторяйте это действие, пока в разложениях не останется общих множителей. В оба списка входит также число 3, поэтому в новой строке можно записать 2
и 3
. После этого вновь сравните разложения: 30 =
2 x 3x 5 и 36 =2x 2 x3x 3. Как видно, в них не осталось общих множителей. - Чтобы найти наибольший общий делитель, следует найти произведение всех общих множителей. В нашем примере это 2 и 3, поэтому НОД равен 2 x 3 = 6 . Это наибольшее число, на которое делятся без остатка числа 30 и 36.
-
С помощью НОД можно упрощать дроби. Если вы подозреваете, что какую-то дробь можно сократить, используйте наибольший общий делитель. По описанной выше процедуре найдите НОД числителя и знаменателя. После этого поделите числитель и знаменатель дроби на это число. [3] X Источник информации В результате вы получите ту же дробь в более простом виде.
- К примеру, упростим дробь 30 / 36 . Как мы установили выше, для 30 и 36 НОД равен 6, поэтому поделим числитель и знаменатель на 6:
- 30 ÷ 6 = 5
- 36 ÷ 6 = 6
- 30 / 36 = 5 / 6
-
Найдем наименьшее общее кратное двух чисел. Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел — это наименьшее число, которое делится без остатка на оба данных числа. Например, НОК 2 и 3 является 6, поскольку это наименьшее число, которое делится на 2 и 3. Ниже приведен пример нахождения НОК с помощью разложения на простые множители:
- Начнем с двух разложений на простые множители. Например, для числа 126 разложение можно записать как 2 x 3 x 3 x 7. Число 84 раскладывается на простые множители в виде 2 x 2 x 3 x 7.
- Сравним, сколько раз каждый множитель встречается в разложениях. Выберите тот список, где множитель встречается максимальное число раз, и обведите это место. Например, число 2 встречается один раз в разложении для числа 126 и дважды в списке для 84, поэтому следует обвести 2 x 2 во втором списке множителей.
- Повторите это действие для каждого множителя. Например, 3 встречается чаще в первом разложении, поэтому следует обвести в нем 3 x 3 . Число 7 встречается по одному разу в обоих списках, так что обводим 7 (неважно в каком списке, если данный множитель встречается в обоих списках одинаковое число раз).
- Чтобы найти НОК, перемножьте все обведенные числа. В нашем примере наименьшим общим кратным чисел 126 и 84 является 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252 . Это наименьшее число, которое делится на 126 и 84 без остатка.
-
Используйте НОК для сложения дробей. При сложении двух дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Для этого найдите НОК двух знаменателей. Затем умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на такое число, чтобы знаменатели дробей стали равны НОК. После этого можно сложить дроби.
- Например, необходимо найти сумму 1 / 6 + 4 / 21 .
- С помощью приведенного выше метода можно найти НОК для 6 и 21. Оно равно 42.
- Преобразуем дробь 1 / 6 так, чтобы ее знаменатель равнялся 42. Для этого необходимо поделить 42 на 6: 42 ÷ 6 = 7. Теперь умножим числитель и знаменатель дроби на 7: 1 / 6 x 7 / 7 = 7 / 42 .
- Чтобы привести вторую дробь к знаменателю 42, поделим 42 на 21: 42 ÷ 21 = 2. Умножим числитель и знаменатель дроби на 2: 4 / 21 x 2 / 2 = 8 / 42 .
- После того как дроби приведены к одинаковому знаменателю, их можно легко сложить: 7 / 42 + 8 / 42 = 15 / 42 .
Реклама
Примеры задач
- Попробуйте решить приведенные ниже задачи самостоятельно. Если вы считаете, что получили правильный ответ, выделите мышкой место после двоеточия в условии задачи. Последние задачи наиболее сложные.
- Найдите разложение на простые множители для числа 16: 2 x 2 x 2 x 2
- Запишите ответ в степенной форме: 2 4
- Найдите разложение на простые множители для числа 45: 3 x 3 x 5
- Запишите ответ в степенной форме: 3 2 x 5
- Найдите разложение на простые множители для числа 34: 2 x 17
- Найдите разложение на простые множители для числа 154: 2 x 7 x 11
- Найдите разложение на простые множители для чисел 8 и 40, а затем определите их наибольший общий делитель: разложение на простые множители числа 8 имеет вид 2 x 2 x 2 x 2; разложение на простые множители числа 40 имеет вид 2 x 2 x 2 x 5; НОД двух чисел 2 x 2 x 2 = 6.
- Найдите разложение на простые множители для чисел 18 и 52 и найдите их наименьшее общее кратное: разложение на простые множители числа 18 имеет вид 2 x 3 x 3; разложение на простые множители числа 52 имеет вид 2 x 2 x 13; НОК двух чисел составляет 2 x 2 x 3 x 3 x 13 = 468.
Советы
- Каждое число имеет характерное для него единственное разложение на простые множители. Неважно, каким образом вы находите это разложение, в конце должен получиться один и тот же ответ. Это называется основной теоремой арифметики. [4] X Источник информации
- Вместо того чтобы каждый раз переписывать простые числа в новой строке дерева множителей, можно оставлять их на месте и просто обводить. По окончании разложения в него войдут все обведенные простые множители.
- Всегда проверяйте полученный ответ. Вы можете допустить ошибку и не заметить этого.
- Будьте готовы к заданиям с подвохом. Если вас просят найти разложение на простые множители простого числа, нет необходимости проводить какие-либо вычисления. [5] X Источник информации Например, для числа 17 разложением на простые множители будет 17; это число не раскладывается на другие простые множители.
- Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное можно найти для трех и более чисел.
Реклама
Предупреждения
- Дерево множителей позволяет определить лишь простые, а не все возможные множители.
Реклама
Источники
- ↑ http://www.eduplace.com/math/mw/background/6/03/te_6_03_fractions_ask.html
- ↑ http://study.com/academy/lesson/what-is-a-factor-tree-definition-example.html
- ↑ http://www.virtualnerd.com/tutorials/?id=Gr6_04_01_0014
- ↑ http://www.mathsisfun.com/numbers/fundamental-theorem-arithmetic.html
- ↑ http://www.mathsisfun.com/prime-factorization.html
Об этой статье
Эту страницу просматривали 9395 раз.
Реклама
