Как рассчитать преобразование Фурье функции

Соавтор(ы): David Jia

Преобразование Фурье — это интегральное преобразование, которое нашло широкое применение в физике и инженерных расчетах. Его часто используют для анализа сигналов и решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных.

Критерии сходимости преобразования Фурье (а именно, что функция должна быть абсолютно интегрируемой в вещественной области) довольно строги из-за отсутствия члена с экспоненциальным затуханием, который имеется в преобразовании Лапласа, и это означает, что такие функции, как полиномы, экспоненты и тригонометрические функции, не имеют преобразования Фурье в обычном смысле. Тем не менее с помощью дельта-функции Дирака можно осуществить преобразование Фурье этих функций корректным образом.

Такая процедура может потребоваться даже для самых простых функций, поэтому для лучшего понимания изложенного ниже материала желательно ознакомиться со свойствами преобразования Лапласа . Кроме того, лучше начать со свойств преобразования Фурье, и лишь затем переходить к рассмотрению конкретных примеров.

Предварительные сведения

Преобразованием Фурье функции $f(t)$ называется следующая функция (при условии, что интеграл сходится):
- ${\hat {f}}(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}f(t)e^{{-i\omega t}}{\mathrm {d}}t$
Обратное преобразование Фурье определяется схожим образом. Обратите внимание на симметрию между прямым и обратным преобразованием Фурье, которая отсутствует в случае преобразования Лапласа.
- $f(t)={\mathcal {F}}^{{-1}}\{{\hat {f}}(\omega )\}={\frac {1}{2\pi }}\int _{{-\infty }}^{{\infty }}{\hat {f}}(\omega )e^{{i\omega t}}{\mathrm {d}}\omega$
Существует множество других форм записи преобразования Фурье. Приведенное выше определение с использованием угловой частоты является одной из них, и мы будем использовать его в данной статье. В разделе «Советы» приведены две другие часто используемые формы записи.
Прямое и обратное преобразование Фурье являются линейными операторами, поэтому для них выполняются правила суперпозиции и пропорциональности:
- $\int _{{-\infty }}^{{\infty }}[af(t)+bg(t)]e^{{-i\omega t}}{\mathrm {d}}t=a\int _{{-\infty }}^{{\infty }}f(t)e^{{-i\omega t}}{\mathrm {d}}t+b\int _{{-\infty }}^{{\infty }}g(t)e^{{-i\omega t}}{\mathrm {d}}t$

Часть 1

Часть 1 из 3:

Свойства преобразования Фурье

Загрузить PDF

1
Найдем преобразование Фурье производной. Простое интегрирование по частям и учет того, что $f(t)$ должна стремиться к нулю на бесконечности, дают следующий результат:
- ${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{f^{{\prime }}(t)\}&=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}f^{{\prime }}(t)e^{{-i\omega t}}{\mathrm {d}}t,\ \ u=e^{{-i\omega t}},\ v=f^{{\prime }}(t){\mathrm {d}}t\\&=i\omega {\hat {f}}(\omega )\end{aligned}}$
- В общем случае для производной $n$ -го порядка можно записать:
  - ${\mathcal {F}}\{f^{{(n)}}(t)\}=(i\omega )^{{n}}{\hat {f}}(\omega )$
- Из этого следует интересное свойство, которое известно в квантовой механике — оператор импульса в пространстве координат (слева) и пространстве импульсов (справа) имеет следующий вид:
  - $-i{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}\to \omega$
2
Найдем преобразование Фурье функции, умноженной на $t^{{n}}$ . Симметрия преобразования Фурье дает аналогичное свойство в пространстве частот. Сначала рассмотрим случай $n=1$ , а затем обобщим полученный результат.
- ${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{tf(t)\}&=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}tf(t)e^{{-i\omega t}}{\mathrm {d}}t\\&=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}i{\frac {\partial }{\partial \omega }}(e^{{-i\omega t}})f(t){\mathrm {d}}t\\&=i{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}\omega }}{\hat {f}}(\omega )\end{aligned}}$
- В общем случае для $t^{{n}}$ получаем:
  - ${\mathcal {F}}\{t^{{n}}f(t)\}=i^{{n}}{\frac {{\mathrm {d}}^{{n}}}{{\mathrm {d}}\omega ^{{n}}}}{\hat {f}}(\omega )$
- Мы сразу же получаем результат, который свидетельствует о симметрии преобразования Фурье (в случае преобразования Лапласа такая симметрия не реализуется полностью для переменных $t$ и $s$ ):
  - $i{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}\omega }}\to t$
3
Найдем преобразование Фурье функции, умноженной на $e^{{iat}}$ . Умножение на $e^{{iat}}$ в пространстве времени соответствует сдвигу в частотном пространстве:
- ${\mathcal {F}}\{e^{{iat}}f(t)\}=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}f(t)e^{{-i(\omega -a)t}}{\mathrm {d}}t={\hat {f}}(\omega -a)$
4
Найдем преобразование Фурье функции со сдвигом аргумента $f(t-c)$ . Сдвиг во временно́м пространстве соответствует умножению на $e^{{-i\omega c}}$ в частотном пространстве, что вновь показывает симметрию между $t$ и $\omega .$ Это легко получить с помощью простой замены переменных:
- ${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{f(t-c)\}&=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}f(t-c)e^{{-i\omega t}}{\mathrm {d}}t\\&=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}f(t)e^{{-i\omega (t+c)}}{\mathrm {d}}t\\&=e^{{-i\omega c}}{\hat {f}}(\omega )\end{aligned}}$
5
Найдем преобразование Фурье функции $f(ct)$ . В этом случае имеем свойство растяжения, которое наблюдается и для преобразования Лапласа:
- ${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{f(ct)\}&=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}f(ct)e^{{-i\omega t}}{\mathrm {d}}t,\quad u=ct\\&={\frac {1}{|c|}}\int _{{-\infty }}^{{\infty }}f(u)e^{{-i\omega u/c}}{\mathrm {d}}u\\&={\frac {1}{|c|}}{\hat {f}}\left({\frac {\omega }{c}}\right)\end{aligned}}$
6
Найдем преобразование Фурье свертки двух функций. Как и в случае преобразования Лапласа, свертка в реальном пространстве соответствует умножению в пространстве Фурье:
- ${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{f(t)*g(t)\}&=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}e^{{-i\omega t}}{\mathrm {d}}t\int _{{-\infty }}^{{\infty }}f(t-y)g(y){\mathrm {d}}y,\quad u=t-y\\&=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}e^{{-i\omega (u+y)}}{\mathrm {d}}u\int _{{-\infty }}^{{\infty }}f(u)g(y){\mathrm {d}}y\\&=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}f(u)e^{{-i\omega u}}{\mathrm {d}}u\int _{{-\infty }}^{{\infty }}g(y)e^{{-i\omega y}}{\mathrm {d}}y\\&={\hat {f}}(\omega ){\hat {g}}(\omega )\end{aligned}}$
7
Рассмотрим преобразование Фурье четных и нечетных функций. Четные и нечетные функции обладают особой симметрией. Для получения результата используем формулу Эйлера и свойства умножения четных и нечетных функций.
- Преобразование Фурье четной функции $f_{{e}}(t)$ также является четной функцией, поскольку интеграл четен по $\omega$ благодаря $\cos \omega t.$ Кроме того, если функция $f_{{e}}(t)$ является действительной, ее преобразование также действительно.
  - ${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{f_{{e}}(t)\}&=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}f_{{e}}(t)\left(\cos \omega t-i\sin \omega t\right){\mathrm {d}}t\\&=2\int _{{0}}^{{\infty }}f_{{e}}(t)\cos \omega t{\mathrm {d}}t\end{aligned}}$
- Преобразование Фурье нечетной функции $f_{{o}}(t)$ также является нечетной функцией, поскольку интеграл нечетен по $\omega$ благодаря $\sin \omega t.$ Кроме того, если функция $f_{{o}}(t)$ действительна, то ее преобразование Фурье является чисто мнимым.
  - ${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{f_{{o}}(t)\}&=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}f_{{o}}(t)\left(\cos \omega t-i\sin \omega t\right){\mathrm {d}}t\\&=-2i\int _{{0}}^{{\infty }}f_{{o}}(t)\sin \omega t{\mathrm {d}}t\end{aligned}}$
Реклама

Часть 2

Часть 2 из 3:

Проведение преобразования Фурье

Загрузить PDF

1
Подставьте функцию в формулу для преобразования Фурье. Как и в случае преобразования Лапласа, преобразование Фурье функции можно выполнить непосредственно с помощью его определения. В качестве примера рассмотрим функцию $f(t)={\frac {1}{t^{{2}}+1}}$ , которая однозначно удовлетворяет критериям сходимости.
- ${\mathcal {F}}\left\{{\frac {1}{t^{{2}}+1}}\right\}=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}{\frac {e^{{-i\omega t}}}{t^{{2}}+1}}{\mathrm {d}}t$
2
Оценим интеграл с помощью доступных методов. Хотя данный интеграл не вычисляется элементарными методами, его можно найти с помощью теории вычетов.
- Чтобы использовать метод вычетов, проведем контур $\gamma$ , состоящий из линии вдоль действительной оси и соединенной с ней полукруглой дуги в нижней полуплоскости, которая обходится по часовой стрелке. Действительный интеграл равен интегралу по контуру, а интеграл вдоль дуги обращается в нуль:
  - $\oint _{{\gamma }}{\frac {e^{{-i\omega t}}}{t^{{2}}+1}}{\mathrm {d}}t=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}{\frac {e^{{-i\omega t}}}{t^{{2}}+1}}{\mathrm {d}}t+\int _{{{\text{arc}}}}{\frac {e^{{-i\omega t}}}{t^{{2}}+1}}{\mathrm {d}}t$
- Можно разложить знаменатель на множители и показать, что функция имеет простые полюсы в $t_{{\pm }}=\pm i$ . Поскольку контур охватывает лишь $t_{{-}}$ , можно использовать теорему вычетов, чтобы вычислить интеграл по контуру:
  - $\operatorname {Res}(f(t);-i)={\frac {e^{{-\omega }}}{-2i}}$
- Обратите внимание на дополнительный знак «–», который появился из-за того, что мы двигаемся по контуру по часовой стрелке.
  - $\oint _{{\gamma }}{\frac {e^{{-i\omega t}}}{t^{{2}}+1}}{\mathrm {d}}t=-2\pi i\cdot {\frac {e^{{-\omega }}}{-2i}}=\pi e^{{-\omega }}$
- Не менее важно показать, что интеграл вдоль дуги равен нулю. Это можно сделать с помощью леммы Жордана. Хотя в лемме не говорится непосредственно, что интеграл равен нулю, она позволяет оценить разность между интегралом по контуру и вещественным интегралом. Применим лемму к нижней полуплоскости для функции $f(t)=e^{{-i\omega t}}g(t)$ , где $\omega >0$ . С параметризацией $C=Re^{{-i\phi }}$ , где $\phi \in [0,\pi ]$ , лемма Жордана дает следующее ограничение для интеграла:
  - ${\Bigg |}\int _{{C}}f(t){\mathrm {d}}t{\Bigg |}\leq {\frac {\pi }{\omega }}\max _{{\phi \in [0,\pi ]}}g(Re^{{-i\phi }})$
- Теперь осталось показать, что $g(t)$ стремится к нулю при больших $R$ , что в данном случае тривиально, поскольку функция уменьшается как $1/R^{{2}}$ :
  - $\lim _{{R\to \infty }}{\frac {1}{(Re^{{-i\phi }})^{{2}}+1}}=0$
- Какова в данном случае область определения $\omega$ ? Как отмечалось выше, лемма Жордана применима лишь для $\omega >0$ . Тем не менее, если повторить данный расчет для контура в верхней полуплоскости, найти вычет для второго полюса, еще раз применить лемму Жордана и убедиться, что интеграл вдоль дуги равен нулю, мы получим $\pi e^{{\omega }}$ , и в этом случае областью определения $\omega$ будут отрицательные действительные числа. Таким образом, получаем окончательный результат:
  - ${\mathcal {F}}\left\{{\frac {1}{t^{{2}}+1}}\right\}=\pi e^{{-|\omega |}}$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/50\/Fourier_unit_pulse.png\/460px-Fourier_unit_pulse.png","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/50\/Fourier_unit_pulse.png\/728px-Fourier_unit_pulse.png","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Рассмотрим преобразование Фурье прямоугольной функции. Прямоугольная функция $\operatorname {rect}(t)$ , или единичный импульс, определяется как кусочная функция, которая равна 1, если $-{\frac {1}{2}}<t<{\frac {1}{2}}$ , и нулю при всех остальных значениях $t$ . Таким образом, достаточно найти интеграл в этих пределах. В результате получаем кардинальный синус:
- ${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatorname {rect}(t)\}&=\int _{{-1/2}}^{{1/2}}e^{{-i\omega t}}{\mathrm {d}}t\\&={\frac {1}{i\omega }}\left(e^{{i\omega /2}}-e^{{-i\omega /2}}\right)\\&={\frac {2}{\omega }}\sin {\frac {\omega }{2}}\end{aligned}}$
- Если единичный импульс сдвинут и его границами являются 0 и 1, то существует и мнимая компонента, как показано на приведенном выше графике. Это связано с тем, что функция больше не является четной.
  - $\int _{{0}}^{{1}}e^{{-i\omega t}}{\mathrm {d}}t={\frac {\sin \omega }{\omega }}+i\left({\frac {\cos \omega -1}{\omega }}\right)$
4
Рассмотрим преобразование Фурье функции Гаусса. Функция Гаусса относится к тем немногим функциям, которые при преобразовании Фурье сохраняют свой вид. Дополним показатель степени до полного квадрата и проинтегрируем:
- ${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{e^{{-t^{{2}}}}\}&=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}e^{{-t^{{2}}}}e^{{-i\omega t}}{\mathrm {d}}t\\&=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}e^{{-(t^{{2}}+i\omega t-\omega ^{{2}}/4+\omega ^{{2}}/4)}}{\mathrm {d}}t\\&=e^{{-\omega ^{{2}}/4}}\int _{{-\infty }}^{{\infty }}e^{{-(t+i\omega /2)^{{2}}}}{\mathrm {d}}t\\&={\sqrt {\pi }}e^{{-\omega ^{{2}}/4}}\end{aligned}}$
Реклама

Часть 3

Часть 3 из 3:

Обобщенные функции

Загрузить PDF

1
Рассмотрим преобразование Фурье функции $e^{{iat}}$ . Если вы знакомы с преобразованием Лапласа, то знаете, что экспоненциальная функция имеет очень «простое» преобразование Лапласа. В случае преобразования Фурье дело обстоит сложнее, поскольку модуль данной функции не стремится к 0 при $t\to \infty$ . Тем не менее ее образ Фурье представляет собой дельта-функцию:
- ${\mathcal {F}}\{e^{{iat}}\}=2\pi \delta (\omega -a)$
- Мнимая экспонента вращается по единичной окружности, за исключением точки $t=0$ , в которой она равна 1. Можно учесть вклады всех точек единичной окружности, для которых $t\neq 0$ . При $t=0$ интеграл от функции расходится. Для описания такого поведения используют дельта-функцию.
- Этот результат позволяет сразу же найти преобразование Фурье для трех других функций. Чтобы найти преобразование Фурье константы, положим $a=0$ :
  - ${\mathcal {F}}\{1\}=2\pi \delta (\omega )$
- Преобразование Фурье дельта-функции равно 1:
  - ${\mathcal {F}}\{\delta (t)\}=1$
- С помощью формулы Эйлера находим преобразование Фурье косинуса и синуса:
  - ${\mathcal {F}}\{\cos at\}=\pi (\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a))$
  - ${\mathcal {F}}\{\sin at\}=-i\pi (\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a))$
2
Рассмотрим преобразование Фурье функции $t^{{n}}e^{{iat}}$ . С помощью свойства сдвига можно найти преобразование Фурье степенной функции, а следовательно, и любых полиномов. Обратите внимание, что при этом вычисляются производные дельта-функции:
- ${\mathcal {F}}\{t^{{n}}e^{{iat}}\}=2\pi i^{{n}}{\frac {{\mathrm {d}}^{{n}}}{{\mathrm {d}}\omega ^{{n}}}}\delta (\omega -a)$
3
Найдем преобразование Фурье функции Хевисайда. Функция Хевисайда $\Theta (t)$ — это такая функция, которая равна $0$ для отрицательных $t$ и $1$ для положительных $t$ . Подобно дельта-функции, $\Theta (t)$ не имеет образа Фурье в обычном смысле, поскольку $\Theta (t)$ не является абсолютно интегрируемой функцией. Несмотря на это, мы можем записать ее преобразование Фурье и просто взять интеграл:
- ${\mathcal {F}}\{\Theta (t)\}=\int _{{0}}^{{\infty }}e^{{-i\omega t}}{\mathrm {d}}t={\frac {e^{{-i\omega t}}}{-i\omega }}{\Bigg |}_{{0}}^{{\infty }}={\frac {1}{i\omega }}$
- Чтобы понять смысл данного результата, вспомним о свертках функций. Ниже приведена производная свертки двух функций. Обратите внимание, что это не правило нахождения производной обычного произведения двух функций.
  - ${\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}(f(t)*g(t))=f'*g=f*g'$
- Видим, что свертку производной абсолютно интегрируемой функции $f(t)$ с $\Theta (t)$ можно записать следующим образом (это также означает, что $\Theta '(t)=\delta (t)$ ):
  - ${\begin{aligned}f'(t)*\Theta (t)&=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}f'(y)\Theta (t-y){\mathrm {d}}y\\&=\int _{{-\infty }}^{{t}}f'(y){\mathrm {d}}y=f(t)\end{aligned}}$
  - ${\mathcal {F}}\{f'(t)*\Theta (t)\}={\hat {f}}(\omega )={\hat {f}}'(\omega ){\hat {\Theta }}(\omega )=i\omega {\hat {f}}(\omega ){\hat {\Theta }}(\omega )$
- Таким образом, можно заключить, что ${\mathcal {F}}\{\Theta (t)\}={\frac {1}{i\omega }}$ .
Реклама

Советы

Существуют также две другие распространенные формы записи преобразования Фурье.
- Некоторые авторы делят коэффициент $2\pi$ равномерно между прямым и обратным преобразованием.
- В результате преобразование получается более симметричным.
  - ${\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int _{{-\infty }}^{{\infty }}f(t)e^{{-i\omega t}}{\mathrm {d}}t$
  - $f(t)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int _{{-\infty }}^{{\infty }}{\hat {f}}(\omega )e^{{i\omega t}}{\mathrm {d}}\omega$
- Другие в качестве переменной используют частоту $\xi$ , которая связана с угловой частотой следующим образом $\omega =2\pi \xi$ .
  - ${\hat {f}}(\xi )=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}f(t)e^{{-i2\pi \xi t}}{\mathrm {d}}t$
  - $f(t)=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}{\hat {f}}(\xi )e^{{i2\pi \xi t}}{\mathrm {d}}\xi$