Загрузить PDF
Загрузить PDF
Квадратным уравнением называется такое уравнение, в котором наибольшее значение степени переменной равно 2. Существуют три основных способа решения квадратных уравнений: если возможно, разложить квадратное уравнение на множители, использовать формулу корней квадратного уравнения или дополнить до полного квадрата. Хотите узнать, как же все это делается? Читайте дальше.
Шаги
-
Сложите все схожие элементы и перенесите в одну часть уравнения. Это и будет первым шагом, значение при этом должно оставаться положительным. Сложите или вычтите все значения , и постоянных, перенеся все в одну часть и оставив 0 в другой. Вот как это делается: [1] X Источник информации
-
Разложите выражение на множители. Для этого нужно использовать значения (3), постоянные значения (-4), они должны перемножаться и образовывать -11. Вот как это сделать:
- имеет только два возможных множителя: и , так что их можно записать в скобках: .
- Далее, подставляя множители 4, найдем комбинацию, при умножении дающую -11x. Можно использовать комбинацию 4 и 1, или 2 и 2, так как и то, и другое дает 4. Помните, что значения должны быть отрицательные, ведь у нас -4.
- Методом проб и ошибок вы получите комбинацию . При умножении получаем . Соединив и , получаем средний член , который мы и искали. Квадратное уравнение разложено на множители.
- Для примера попробуем неподходящую комбинацию: ( = . Объединив, получим . Хотя множители -2 и 2 при умножении дают -4, средний член не подходит, ведь мы хотели получить , а не .
-
Приравняйте каждое выражение в скобках к нулю (как отдельные уравнения). Так мы найдем два значения , при которых все уравнение равно нулю, = 0. Теперь остается приравнять к нулю каждое из выражений в скобках. Почему? Дело в том, что произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Так как равно нулю, то либо (3x + 1), либо (x - 4) равно нулю. Запишите и .
-
Решите каждое уравнение по отдельности. В квадратном уравнении x имеет два значения. Решите уравнения и запишите значения x:
- Решите уравнение 3x + 1 = 0
- 3x = -1 ..... путем вычитания
- 3x/3 = -1/3 ..... путем деления
- x = -1/3 ..... после упрощения
- Решите уравнение x - 4 = 0
- x = 4 ..... путем вычитания
- x = (-1/3, 4)..... возможные значения, то есть x = -1/3 или x = 4.
- Решите уравнение 3x + 1 = 0
-
Проверьте x = -1/3, подставив это значение в (3x + 1)(x - 4) = 0:
- (3[-1/3] + 1)([-1/3] – 4) ?=? 0 ..... путем подстановки
- (-1 + 1)(-4 1/3) ?=? 0 ..... после упрощения
- (0)(-4 1/3) = 0 ..... после умножения
- 0 = 0, следовательно, x = -1/3 – правильный ответ.
-
Проверьте x = 4, подставив это значение в (3x + 1)(x - 4) = 0:
- (3[4] + 1)([4] – 4) ?=? 0 ..... путем подстановки
- (13)(4 – 4) ?=? 0 ..... после упрощения
- (13)(0) = 0 ..... после умножения
- 0 = 0, следовательно, x = 4 – правильный ответ.
- Таким образом, оба решения являются верными.
Реклама
-
Объедините все члены и запишите с одной стороны уравнения. Сохраните значение положительным. Запишите члены в порядке уменьшения степеней, таким образом член пишется первым, далее и затем постоянная:
- 4x 2 - 5x - 13 = x 2 -5
- 4x 2 - x 2 - 5x - 13 +5 = 0
- 3x 2 - 5x - 8 = 0
-
Запишите формулу корней квадратного уравнения. Формула имеет следующий вид: [2] X Источник информации
-
Определите значения a, b и c в квадратном уравнении. Переменная a - коэффициент члена x 2 , b – члена x, c – постоянная. Для уравнения 3x 2 -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5, и c = -8. Запишите это.
-
Подставьте значения a, b и c в уравнение. Зная значения трех переменных, вы можете подставить их в уравнение следующим образом:
- {-b +/-√ (b 2 - 4ac)}/2
- {-(-5) +/-√ ((-5) 2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5) 2 - (-96))}/2(3)
-
Подсчитайте. Подставив значения, упростите плюсы и минусы, перемножьте или возведите в квадрат оставшиеся члены:
- {-(-5) +/-√ ((-5) 2 - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
-
Упростите квадратный корень. Если число под знаком квадратного корня – квадрат, вы получите целое число. Если нет, упростите его до наиболее простого значения корня. Если число отрицательное, и вы уверены, что оно должно быть отрицательным , то корни будут сложные. В этом примере √(121) = 11. Можете записать, что x = (5 +/- 11)/6.
-
Найдите положительные и отрицательные решения. Если вы удалили знак квадратного корня, то можете продолжать до тех пор, пока не найдете положительные и отрицательные значения x. Имея (5 +/- 11)/6, можно записать:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
-
Найдете положительные и отрицательные значения. Просто посчитайте:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
-
Упростите. Для этого просто разделите оба на наибольший общий делитель. Первую дробь делите на 2, вторую на 6, x найден.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
Реклама
-
Перенесите все члены на одну сторону уравнения. a или x 2 должен быть положительным. Это делается так: [3] X Источник информации
- 2x 2 - 9 = 12x =
- 2x 2
- 12x - 9 = 0
- В этом уравнении a : 2, b : -12, c : -9.
-
Перенесите член c (постоянную) на другую сторону. Постоянная – это член уравнения, содержащий только числовое значение, без переменных. Перенесите ее в правую часть:
- 2x 2 - 12x - 9 = 0
- 2x 2 - 12x = 9
-
Разделите обе части на коэффициент a или x 2 . Если x 2 не имеет коэффициента, то он равен единице и этот шаг можно пропустить. В нашем примере все члены делим на 2:
- 2x 2 /2 - 12x/2 = 9/2 =
- x 2 - 6x = 9/2
-
Разделите b на 2, возведите в квадрат и прибавьте к обеим сторонам. В нашем примере b равно -6:
- -6/2 = -3 =
- (-3) 2 = 9 =
- x 2 - 6x + 9 = 9/2 + 9
-
Упростите обе стороны. Возведите в квадрат члены слева и получится (x-3)(x-3), или (x-3) 2 . Сложите члены справа и получится 9/2 + 9, или 9/2 + 18/2, что равняется 27/2.
-
Извлеките квадратный корень из обеих частей . Квадратный корень из (x-3) 2 равен просто (x-3). Квадратный корень из 27/2 можно записать как ±√(27/2). Таким образом, x - 3 = ±√(27/2).
-
Упростите подкоренное выражение и найдите x. Чтобы упростить ±√(27/2), найдите полный квадрат в числах 27 и 2 или их множителях. В 27 есть полный квадрат 9, ведь 9 x 3 = 27. Чтобы вывести 9 из под знака корня, извлеките из него корень и вынесите 3 из-под знака корня. Оставьте 3 в числители дроби под знаком корня, так как этот множитель извлечь нельзя, а также оставьте 2 снизу. Далее перенесите постоянную 3 из левой части уравнения в правую и запишите два решения для x:
- x = 3 +(√6)/2
- x = 3 - (√6)/2)
Реклама
Советы
- Если число под знаком корня не полный квадрат, то последние несколько шагов выполняются чуть иначе. Вот пример:
- Как видите, знак корня не исчез. Таким образ члены в числители объединить нельзя. Тогда нет смысла разбивать плюс-или-минус. Вместо этого мы делим любые общие множители – но только если множитель общий для постоянной и коэффициента корня.
Реклама
Источники
Реклама
