Загрузить PDF
Загрузить PDF
На первый взгляд алгебраические дроби кажутся очень сложными, и неподготовленный учащийся может подумать, что с ними невозможно ничего сделать. Нагромождение переменных, чисел и даже степеней навевает страх. Тем не менее, для сокращения обычных (например, 15/25) и алгебраических дробей используются одни и те же правила.
Шаги
-
Освойте термины, используемые для описания алгебраических дробей. Приведенные ниже термины распространены при рассмотрении алгебраических дробей, и они будут использоваться в дальнейшем при рассмотрении примеров:
- Числитель . Верхняя часть дроби (например, (x+5) /(2x+3)).
- Знаменатель . Нижняя часть дроби (например, (x+5)/ (2x+3) ).
- Общий делитель . Так называется число, на которое делятся верхняя и нижняя части дроби. Например, в дроби 3/9 общим делителем является 3, поскольку оба числа делятся на 3.
- Множитель . Это такие числа, при перемножении которых получается заданное число. Например, число 15 раскладывается на множители 1, 3, 5 и 15. Множителями числа 4 являются 1, 2 и 4.
- Упрощенная форма . Чтобы получить упрощенную форму алгебраической дроби, следует сократить все общие множители и сгруппировать одинаковые переменные (например, 5x + x = 6x). Если ничего больше не сокращается, то дробь имеет упрощенную форму.
-
Ознакомьтесь с действиями с простыми дробями. [1] X Источник информации Операции с обычными и алгебраическими дробями аналогичны. К примеру, возьмем дробь 15/35. Чтобы упростить эту дробь, следует найти общий делитель . Оба числа делятся на пять, поэтому мы можем выделить 5 в числителе и знаменателе:
15 → 5 * 3 35 → 5 * 7 Теперь можно сократить общие множители , то есть вычеркнуть 5 в числителе и знаменателе. В результате получаем упрощенную дробь 3/7 . -
В алгебраических выражениях общие множители выделяются точно так же, как и в обычных. [2] X Источник информации В предыдущем примере мы смогли легко выделить 5 из 15 — тот же принцип применим и к более сложным выражениям, таким как 15x – 5. Найдем общий множитель. В данном случае это будет 5, так как оба члена (15x и -5) делятся на 5. Как и ранее, выделим общий множитель и перенесем его влево .
15x – 5 = 5 * (3x – 1) Чтобы проверить, все ли правильно, достаточно умножить на 5 стоящее в скобках выражение — в результате получатся те же числа, что были сначала. -
Сложные члены можно выделять точно так же, как и простые. Для алгебраических дробей применимы те же принципы, что и для обычных. [3] X Источник информации Это наиболее простой способ сократить дробь. Рассмотрим следующую дробь:
(x+2)(x-3) (x+2)(x+10) Отметим, что и в числителе (сверху), и в знаменателе (снизу) присутствует член (x+2), поэтому его можно сократить так же, как общий множитель 5 в дроби 15/35:(x+2)(x-3) → (x-3)(x+2)(x+10) → (x+10)Реклама
-
Найдите общий множитель в числителе, то есть в верхней части дроби. При сокращении алгебраической дроби первым делом следует упростить обе ее части. Начните с числителя и постарайтесь разложить его на как можно большее число множителей. Рассмотрим в данном разделе следующую дробь:
9x-3 15x+6 Начнем с числителя: 9x – 3. Для 9x и -3 общим множителем является число 3. Вынесем 3 за скобки, как это делается с обычными числами: 3 * (3x-1). В результате данного преобразования получится следующая дробь:3(3x-1) 15x+6 -
Найдите общий множитель в числителе. [4] X Источник информации Продолжим выполнение приведенного выше примера и выпишем знаменатель: 15x+6. Как и раньше, найдем, на какое число делятся обе части. И в этом случае общим множителем является 3, так что можно записать: 3 * (5x +2). Перепишем дробь в следующем виде:
3(3x-1) 3(5x+2) -
Сократите одинаковые члены. На этом шаге можно упростить дробь. Сократите одинаковые члены в числителе и знаменателе. В нашем примере это число 3.
3(3x-1) → (3x-1)
3(5x+2) → (5x+2) -
Определите, что дробь имеет простейший вид. Дробь полностью упрощена в том случае, когда в числителе и знаменателе не осталось общих множителей. Учтите, что нельзя сокращать те члены, которые стоят внутри скобок — в приведенном примере нет возможности выделить x из 3x и 5x, поскольку полными членами являются (3x -1) и (5x + 2). Таким образом, дробь не поддается дальнейшему упрощению, и окончательный ответ выглядит следующим образом:
(3x-1)
(5x+2) -
Потренируйтесь сокращать дроби самостоятельно. Лучший способ усвоить метод заключается в самостоятельном решении задач. Под примерами приведены правильные ответы.
4(x+2)(x-13) (4x+8) Ответ: (x=13)2x 2 -x 5x Ответ: (2x-1)/5Реклама
-
Вынесите отрицательный знак за пределы дроби. Предположим, дана следующая дробь:
3(x-4) 5(4-x) Заметьте, что (x-4) и (4-x) “почти” идентичны, но их нельзя сократить сразу, поскольку они “перевернуты”. Тем не менее, (x - 4) можно записать как -1 * (4 - x), подобно тому как (4 + 2x) можно переписать в виде 2 * (2 + x). Это называется “переменой знака”.-1 * 3(4-x) 5(4-x) Теперь можно сократить одинаковые члены (4-x):-1 * 3 Итак, получаем окончательный ответ: -3/5 .(4-x)5(4-x) -
Научитесь распознавать разницу квадратов. Разница квадратов — это когда квадрат одного числа вычитается из квадрата другого числа, как в выражении (a 2 - b 2 ). Разницу полных квадратов всегда можно разложить на две части — сумму и разницу соответствующих квадратных корней. Тогда выражение примет следующий вид:
a 2 - b 2 = (a+b)(a-b) Этот прием очень полезен при поиске общих членов в алгебраических дробях.- Пример: x 2 - 25 = (x+5)(x-5)
-
Упрощайте полиномиальные выражения . Полиномы представляют собой сложные алгебраические выражения, которые состоят из более чем двух членов, например x 2 + 4x + 3. К счастью, многие полиномы можно разложить на множители. Например, приведенное выражение можно записать в виде (x+3)(x+1).
-
Помните, что переменные также можно раскладывать на множители. Это особенно полезно в случае степенных выражений, таких как x 4 + x 2 . Здесь можно вынести за скобки переменную в меньшей степени. В данном случае имеем: x 4 + x 2 = x 2 (x 2 + 1).Реклама
Советы
- Проверьте, правильно ли вы разложили то или иное выражение на множители. Для этого перемножьте множители — в результате должно получиться то же самое выражение.
- Чтобы полностью упростить дробь, всегда выделяйте наибольшие множители.
Реклама
Предупреждения
- Никогда не забывайте о свойствах показателей степеней! Постарайтесь твердо запомнить эти свойства.
Реклама
Источники
Об этой статье
Эту страницу просматривали 6616 раз.
Реклама
