Загрузить PDF
Загрузить PDF
Если вы научитесь транспонировать матрицы, то лучше поймете их структуру. Возможно, вы уже знаете о квадратных матрицах и об их симметрии, что поможет вам освоить транспонирование. Помимо прочего, транспонирование помогает переводить векторы в матричную форму и находить векторные произведения. [1] X Источник информации При работе с комплексными матрицами эрмитово-сопряженные (сопряженно-транспонированные) матрицы помогают решить самые разные задачи.
Шаги
-
Возьмите любую матрицу. Можно транспонировать любую матрицу, независимо от количества строк и столбцов. Наиболее часто приходится транспонировать квадратные матрицы, которые имеют одинаковое количество строк и столбцов, поэтому для простоты рассмотрим в качестве примера такую матрицу: [2] X Источник информации
- матрица A
=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
- матрица A
=
-
Представьте первую строку прямой матрицы в виде первого столбца транспонированной матрицы. Просто запишите первую строку в виде столбца:
- транспонированная матрица = A T
- первый столбец матрицы A T
:
1
2
3
-
Проделайте то же самое с остальными строками. Вторая строка исходной матрицы станет вторым столбцом транспонированной матрицы. Переведите все строки в столбцы:
- A T
=
1 4 7
2 5 8
3 6 9
- A T
=
-
Попробуйте транспонировать неквадратную матрицу. Точно таким же образом можно транспонировать любую прямоугольную матрицу. Просто запишите первую строку в виде первого столбца, вторую строку — в виде второго столбца, и так далее. В приведенном ниже примере каждая строка исходной матрицы обозначена своим цветом, чтобы было понятнее, как она преобразуется при транспонировании:
- матрица Z
=
4 7 2 1
3 9 8 6 - матрица Z T
=
4 3
7 9
2 8
1 6
- матрица Z
=
-
Выразим транспонирование в виде математической записи. Хотя идея транспонирования очень проста, лучше все же записать ее в виде строгой формулы. При матричной записи не требуются какие-либо специальные термины:
- Предположим, дана матрица B, состоящая из m x n элементов (m строк и n столбцов), тогда транспонированная матрица B T представляет собой набор из n x m элементов (n строк и m столбцов). [3] X Источник информации
- Для каждого элемента b xy (строка x и столбец y ) матрицы B в матрице B T существует эквивалентный ему элемент b yx (строка y и столбец x ).
Реклама
-
(M T )T = M. После двойного транспонирования получается исходная матрица. [4] X Источник информации Это довольно очевидно, так как при повторном транспонировании вы вновь меняете строки и столбцы, в результате чего получается первоначальная матрица.
-
Зеркально отобразите матрицу относительно главной диагонали. Квадратные матрицы можно "переворачивать" относительно главной диагонали. При этом элементы вдоль главной диагонали (от a 11 до нижнего правого угла матрицы) остаются на месте, а остальные элементы перемещаются по другую сторону этой диагонали и остаются на том же расстоянии от нее.
- Если вам сложно представить данный метод, возьмите лист бумаги и нарисуйте матрицу 4x4. Затем переставьте ее боковые элементы относительно главной диагонали. Проследите при этом за элементами a 14 и a 41 . При транспонировании они должны поменяться местами, как и другие пары боковых элементов.
-
Транспонируйте симметричную матрицу. Элементы такой матрицы симметричны относительно главной диагонали. Если проделать описанную выше операцию и "перевернуть" симметричную матрицу, она не изменится. Все элементы поменяются на аналогичные. [5] X Источник информации Фактически, это стандартный способ определить, симметрична ли та или иная матрица. Если выполняется равенство A = A T , значит, матрица A симметрична.Реклама
-
Рассмотрим комплексную матрицу. Элементы комплексной матрицы состоят из действительной и мнимой части. Такую матрицу также можно транспонировать, хотя в большинстве практических применений используют сопряженно-транспонированные, или эрмитово-сопряженные матрицы. [6] X Источник информации
- Пусть дана матрица C =
2+ i 3-2 i
0+ i 5+0 i
- Пусть дана матрица C =
-
Заменим элементы комплексно-сопряженными числами. При операции комплексного сопряжения действительная часть остается такой же, а мнимая часть меняет свой знак на обратный. Проделаем эту операцию со всеми четырьмя элементами матрицы.
- найдем комплексно-сопряженную матрицу C* =
2- i 3+2 i
0- i 5-0 i
- найдем комплексно-сопряженную матрицу C* =
-
Транспонируем полученную матрицу. Возьмем найденную комплексно-сопряженную матрицу и просто транспонируем ее. В результате у нас получится сопряженно-транспонированная (эрмитово-сопряженная) матрица.
- сопряженно-транспонированная матрица C H
=
2- i 0- i
3+2 i 5-0 i
Реклама - сопряженно-транспонированная матрица C H
=
Советы
- В данной статье транспонированная матрица относительно матрицы А обозначается как A T . Встречается также обозначение A' или Ã. [7] X Источник информации
- В данной статье эрмитово-сопряженная матрица относительно матрицы А обозначается как A H — это общепринятое обозначение в линейной алгебре. В квантовой механике часто используют обозначение A † . Иногда эрмитово-сопряженную матрицу записывают в виде A*, однако такого обозначения лучше избегать, так как оно используется также для записи комплексно-сопряженной матрицы. [8] X Источник информации
Реклама
Источники
- ↑ http://mathforum.org/library/drmath/view/71949.html
- ↑ https://chortle.ccsu.edu/VectorLessons/vmch13/vmch13_14.html
- ↑ http://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/sigma-matrices2-2009-1.pdf
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/matrix_transformations/matrix_transpose/v/linear-algebra-transpose-of-a-matrix
- ↑ http://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/sigma-matrices2-2009-1.pdf
- ↑ http://mathworld.wolfram.com/ConjugateTranspose.html
- ↑ http://mathworld.wolfram.com/Transpose.html
- ↑ http://mathworld.wolfram.com/ConjugateTranspose.html
Об этой статье
Эту страницу просматривали 64 244 раза.
Реклама
