ดาวน์โหลดบทความ
ดาวน์โหลดบทความ
ลูกบาศก์เป็นรูปสามมิติที่มีความกว้าง ความยาว และความสูงเท่ากัน เป็นรูปทรงซึ่งประกอบด้วยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 6 หน้าที่มีขนาดเท่ากันมาประกบกัน เกิดเป็นจุดยอด 8 จุด ซึ่งแต่ละจุดจะล้อมรอบด้วยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 3 หน้าที่มาประกบกันเป็นมุมฉาก การหาปริมาตรของลูกบาศก์อย่างง่ายที่สุดคือนำความกว้าง ยาว และสูงมาคูณกัน หรือ กว้าง × ยาว × สูง แต่เนื่องจากทั้งสามด้านมีขนาดเท่ากัน ดังนั้นจึงพูดได้ว่าปริมาตรของลูกบาศก์มีค่าเท่ากับ s 3 โดย s คือความยาวด้านใดด้านหนึ่งของลูกบาศก์ ฟังดูยาก แต่ความจริงแล้วมันง่ายมาก เรามาเริ่มที่ขั้นตอนแรกกันเลย
ขั้นตอน
-
หาความยาวด้านใดด้านหนึ่งของลูกบาศก์. บ่อยครั้งที่โจทย์จะให้ความยาวด้านมาเมื่อถามหาปริมาตรของลูกบาศก์ ซึ่งถ้าโจทย์ใจดีให้ข้อมูลนี้มาด้วย คุณก็สามารถหาปริมาตรของลูกบาศก์ได้เลย แต่ถ้าโจทย์ใจร้ายไม่ยอมบอกความยาวด้านมาตรงๆ เช่นให้เส้นทแยงมุมมา คุณก็ต้องคำนวณหาด้วยวิธีที่สลับซับซ้อนสักหน่อย อย่างไรก็ตามถ้าโจทย์นั้นให้หาปริมาตรของวัตถุทรงลูกบาศก์ที่มีอยู่จริง คุณก็สามารถหาความยาวด้านได้ โดยใช้ไม้บรรทัดหรือสายวัดวัดวัตถุนั้นโดยตรงเลย
- เพื่อให้เห็นภาพและง่ายต่อการเข้าใจ สมมติให้ลูกบาศก์มีความยาวด้านละ 2 นิ้ว (5.08 ซม.) เราจะนำความยาวนี้มาใช้เป็นตัวอย่างในการคำนวณหาปริมาตรของลูกบาศก์ในขั้นตอนต่อไป
-
นำความยาวด้านมายกกำลังสาม. เมื่อคุณหาความยาวด้านใดด้านหนึ่งของลูกบาศก์ได้แล้ว ก็นำตัวเลขนั้นมายกกำลังสามเลย หรือพูดอีกอย่างคือ นำตัวเลขนั้นมาคูณกันสองครั้ง ถ้าลูกบาศก์มีความยาวด้านละ s หน่วย ให้นำ s มาคูณกันสองครั้งดังนี้ s × s × s (หรือ s 3 แบบแสดงให้เห็นการคูณ) แค่นี้คุณก็จะได้ปริมาตรของลูกบาศก์แล้ว
- วิธีนี้เหมือนกับการหาพื้นที่ฐานแล้วคูณด้วยความสูงของลูกบาศก์ (หรือ กว้าง × ยาว × สูง) เพราะว่าพื้นที่ฐานเป็นผลคูณระหว่างความกว้างและยาว ดังนั้นเมื่อคูณด้วยความสูงจึงได้ปริมาตรของลูกบาศก์ และเนื่องจากความกว้าง ยาว และสูงของลูกบาศก์มีค่าเท่ากัน เราจึงสามารถนำด้านใดก็ได้มาใช้คำนวณหาปริมาตร โดยไม่ต้องเสียเวลาคิดว่าด้านนี้เป็นด้านกว้าง ยาว หรือสูง
- เพื่อให้ง่ายต่อการเข้าใจ เราลองคำนวณจากตัวอย่างที่สมมติขึ้นมาดีกว่า ถ้าลูกบาศก์มีความยาวด้านละ 2 นิ้ว ดังนั้นลูกบาศก์มีปริมาตรเท่ากับ 2 × 2 × 2 (หรือ 2 3 ) = 8 นิ้ว 3
-
หน่วยของปริมาตรต้องอยู่ในรูปยกกำลังสาม. เนื่องจากปริมาตรคือขนาดของพื้นที่ที่เป็นสามมิติ หน่วยของปริมาตรจึงต้องอยู่ในรูปยกกำลังสามด้วย บ่อยครั้งที่เราทำโจทย์แล้วไม่เช็คหน่วยให้ถูกต้อง ส่งผลให้ถูกตัดคะแนนทั้งที่ควรได้คะแนนเต็ม ดังนั้นอย่าลืมเช็คหน่วยให้ถูกต้องเสมอ
- จากตัวอย่างของเรา เนื่องจากความยาวด้านมีหน่วยเป็นนิ้ว ผลลัพธ์หลังจากหาปริมาตรจึงต้องมีหน่วยเป็น “ลูกบาศก์นิ้ว” หรือ "นิ้ว 3 " เพราะฉะนั้นคำตอบคือ 8 นิ้ว 3
- แต่ถ้าเราใช้หน่วยอื่นที่ไม่ใช่นิ้ว ผลลัพธ์หลังจากคำนวณปริมาตรก็จะมีหน่วยแตกต่างกันไป ตัวอย่างเช่น ถ้าแต่ละด้านของลูกบาศก์ยาว 2 เมตร ผลลัพธ์ที่ได้จะมีหน่วยเป็น ลูกบาศก์เมตร หรือ เมตร 3
โฆษณา
-
หาพื้นที่ผิวของลูกบาศก์. วิธีที่ ง่ายที่สุด ในการหาปริมาตรของลูกบาศก์คือการคำนวณจากความยาวด้านของลูกบาศก์ ซึ่งนอกจากวิธีนี้แล้วยังมีวิธีอื่นอีก นั่นคือการคำนวณจากพื้นที่ผิวของลูกบาศก์ ถ้าเรารู้ข้อมูลใดข้อมูลหนึ่ง ไม่ว่าจะเป็นความยาวด้านหรือพื้นที่ผิว เราก็จะสามารถหาปริมาตรของลูกบาศก์ได้ ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณรู้ขนาดของพื้นที่ผิวของลูกบาศก์ ให้นำตัวเลขนั้นมาหารด้วย 6 แล้วใส่สแควรูทลงไป แล้วคุณก็จะได้ความยาวด้านของลูกบาศก์ จากนั้นก็คำนวณหาปริมาตรตามวิธีการข้างต้น อ่านแล้วอาจจะงง งั้นเรามาดูที่มาของวิธีนี้กันดีกว่า
- สูตรการหาพื้นที่ผิวของลูกบาศก์คือ 6 s 2 โดย s คือความยาวด้านของลูกบาศก์ สูตรนี้เหมือนกับการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหกด้านแล้วนำมารวมกัน ดังนั้นการหาความยาวด้านจึงต้องนำพื้นที่ผิวมาหารด้วย 6 แล้วถอดสแควรูท ซึ่งเราจะใช้สูตรนี้ในการหาปริมาตรจากพื้นที่ผิวของลูกบาศก์
- เพื่อให้เห็นภาพ ลองดูตัวอย่างต่อไปนี้ สมมติให้ลูกบาศก์มีพื้นที่ผิว 50 ซม. 2 เราไม่รู้ว่าแต่ละด้านยาวเท่าไหร่ จึงต้องหาความยาวด้านจากวิธีการข้างต้น ซึ่งสามารถดูวิธีทำได้ในขั้นตอนถัดไป
-
นำพื้นที่ผิวของลูกบาศก์มาหารด้วย 6. เนื่องจากลูกบาศก์ประกอบด้วยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 6 หน้า เมื่อหารพื้นที่ผิวด้วย 6 เราก็จะได้พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 1 หน้า ซึ่งพื้นที่นี้จะมีขนาดเท่ากับความยาวด้านสองด้านคูณกัน (กว้าง × ยาว, ยาว × สูง or สูง × กว้าง)
- จากตัวอย่างของเรา ลูกบาศก์มีพื้นที่ผิว 50 ซม. 2 เมื่อหารด้วย 6 ก็จะได้ 50/6 = 8.33 ซม. 2 อย่าลืมว่าขั้นตอนนี้เป็นการคำนวณจากพื้นที่ผิวซึ่งเป็นรูปสองมิติ ดังนั้นหน่วยจึงอยู่ในรูป ยกกำลังสอง (เช่น ซม. 2 นิ้ว 2 ฯลฯ)
-
นำผลลัพธ์ที่ได้มาใส่สแควรูท. เนื่องจากพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีค่าเท่ากับ s 2 ( ด้าน × ด้าน ) ดังนั้นจึงต้องใส่สแควรูทเพื่อให้ได้ผลลัพธ์เป็นความยาวด้าน ซึ่งเมื่อได้ความยาวด้านแล้ว คุณก็สามารถคำนวณหาปริมาตรได้ตามวิธีการข้างต้น
- จากตัวอย่างของเรา เมื่อได้พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับ 8.33 แล้ว ก็นำมาใส่สแควรูท ดังนั้นลูกบาศก์มีความยาวด้าน √8.33 = 2.89 ซม.
-
นำผลลัพธ์ที่ได้มายกกำลังสาม. เมื่อคุณรู้ความยาวด้านแล้ว ก็นำความยาวนั้นมายกกำลังสาม (หรือคูณกันสองครั้ง) เพื่อหาปริมาตรของลูกบาศก์ ถึงจุดนี้คุณก็จะได้ปริมาตรโดยการคำนวณจากพื้นที่ผิวของลูกบาศก์ ยินดีด้วย เย่ๆ
- จากตัวอย่างของเรา เมื่อได้ความยาวด้าน 2.89 ซม. 3 แล้ว ก็นำความยาวนี้มาคูณกันสองครั้ง ดังนั้นลูกบาศก์มีปริมาตร 2.89 × 2.89 × 2.89 = 24.14 ซม. 3 อย่าลืมว่าหน่วยต้องอยู่ในรูปยกกำลังสามเสมอ
โฆษณา
-
นำเส้นทแยงมุมบนหน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัสของลูกบาศก์มาหารด้วย √2 เพื่อหาความยาวด้านของลูกบาศก์. จากนิยาม เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีค่าเท่ากับ √2 × ความยาวด้าน ดังนั้นถ้าเรารู้ความยาวเส้นทแยงมุมบนหน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัสของลูกบาศก์ เราก็จะสามารถหาความยาวด้านของลูกบาศก์ได้ โดยนำความยาวนั้นมาหารด้วย √2 เมื่อได้ความยาวด้านแล้ว คุณก็สามารถหาปริมาตรของลูกบาศก์ได้ตามวิธีในข้างต้น
- ตัวอย่างเช่น สมมติให้เส้นทแยงมุมบนหน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัสของลูกบาศก์ยาว 7 ฟุต เราสามารถหาความยาวด้านของลูกบาศก์ได้โดยนำ 7 มาหารด้วย √2 ซึ่งจะได้ 7/√2 = 4.96 ฟุต เมื่อรู้ความยาวด้านแล้วก็นำมันมายกกำลังสาม ดังนั้นลูกบาศก์มีปริมาตร 4.96 3 = 122.36 feet 3 .
- จำไว้ว่ารูปทั่วไปของความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของเส้นทแยงมุมกับความยาวด้านคือ d 2 = 2 s 2 โดย d คือความยาวของเส้นทแยงมุมบนหน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัสของลูกบาศก์ ส่วน s คือความยาวด้านของลูกบาศก์ ที่เป็นเช่นนี้ก็เพราะ จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส บนสามเหลี่ยมมุมฉาก พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่บนด้านตรงข้ามมุมฉาก มีพื้นที่เท่ากับผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปที่อยู่บนด้านประชิดมุมฉาก จะเห็นได้ว่าเส้นทแยงมุมและด้านทั้งสองด้านบนหน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัสของลูกบาศก์ประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งตรงกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส ดังนั้นจึงสามารถเขียนอยู่ในรูปทั่วไปได้ว่า d 2 = s 2 + s 2 = 2 s 2
-
นำเส้นทแยงมุมในลูกบาศก์มาหารด้วย √3 เพื่อหาความยาวด้านของลูกบาศก์. ถ้าโจทย์ให้ความยาวของเส้นทแยงมุมในลูกบาศก์ หรือเส้นที่ลากจากมุมหนึ่งไปยังอีกมุมหนึ่งที่อยู่ตรงข้ามของลูกบาศก์ เราก็สามารถหาปริมาตรของลูกบาศก์ได้เช่นกัน เนื่องจากเส้นทแยงมุมดังกล่าว เมื่อประกอบกับด้านหนึ่งของลูกบาศก์กับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสแล้ว มีรูปร่างเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมีเส้นทแยงมุมในลูกบาศก์เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้นจึงสามารถเขียนอยู่ในรูปทั่วไปได้ว่า D 2 = 3 s 2 โดย D คือความยาวของเส้นทแยงมุมในลูกบาศก์
- ที่อยู่ในรูปดังกล่าวก็เพราะทฤษฎีบทพีทาโกรัสอีกเช่นกัน กล่าวคือเส้น D d และ s ประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยที่ D เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้นตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสจึงเขียนได้ว่า D 2 = d 2 + s 2 . และเนื่องจาก d 2 = 2 s 2 (มาจากวิธีที่แล้ว) เพราะฉะนั้นเมื่อนำมาแทนค่าก็จะเขียนได้ว่า D 2 = 2 s 2 + s 2 = 3 s 2 .
- เพื่อให้ง่ายต่อการเข้าใจ สมมติให้เส้นทแยงมุมในลูกบาศก์ หรือเส้นที่ลากจากมุมหนึ่งจากฐานไปยังอีกมุมหนึ่งที่อยู่ตรงข้ามซึ่งอยู่ด้านบน มีความยาว 10 เมตร เราสามารถหาปริมาตรของลูกบาศก์ได้โดยการแทนค่า 10 ลงไปใน "D" ในสมการข้างต้น ซึ่งมีวิธีทำดังนี้
- D 2 = 3 s 2 .
- 10 2 = 3 s 2 .
- 10 = s √3
- 10/√3 = s 2
- 5.77 เมตร = s เมื่อได้ความยาวด้านแล้ว ก็แค่นำมันไปยกกำลังสามเพื่อหาปริมาตรของลูกบาศก์
- 5.77 3 = 192.45 เมตร 3
โฆษณา
โฆษณา
