ดาวน์โหลดบทความ
ดาวน์โหลดบทความ
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ (determinant of a matrix) มักถูกใช้บ่อยในวิชาแคลคูลัส พีชคณิตเชิงเส้น และเรขาคณิตระดับสูง นอกแวดวงวิชาการแล้ว วิศวกรกับโปรแกรมเมอร์งานคอมพิวเตอร์กราฟฟิกก็ใช้เมทริกซ์กับดีเทอร์มิแนนต์หรือตัวกำหนดของมันอยู่ตลอดเวลาเช่นกัน [1] X แหล่งข้อมูลอ้างอิง ในการหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์มิติ 3x3 นั้น ให้อ่านวิกิฮาวบทนี้
ขั้นตอน
-
เขียนเมทริกซ์มิติ 3 x 3. เราจะเริ่มด้วยเมทริกซ์มิติ 3 x 3 A และลองหาดีเทอร์มิแนนต์ |A| ของมัน เราจะใช้สัญกรณ์เมทริกซ์ (รูปแบบการเขียนตัวเลขเมทริกซ์) ทั่วไป และเมทริกซ์ตามตัวอย่างของเราจะเป็น:
-
เลือกแถวแนวนอนหรือหลักแนวตั้งมาแถวหนึ่ง. นี่จะเป็นแถวแนวนอนหรือหลักแนวตั้งอ้างอิงของคุณ คุณจะได้คำตอบเหมือนกันไม่ว่าจะเลือกแถวไหน ตอนนี้เราจะเลือกแถวแรก แล้วตอนหลังเราจะแนะนำวิธีการเลือกแบบที่ง่ายที่สุดต่อการคำนวณ
- สมมติว่าเลือกแถวแรกของเมทริกซ์ A ในตัวอย่าง วงเลข 1 5 3 ในพจน์ทั่วไปนั้นก็คือวงเลข a 11 a 12 a 13
-
ขีดฆ่าแถวและหลักของสมาชิกตัวแรก. ดูแถวหรือหลักที่คุณวงเอาไว้และเลือกสมาชิกตัวแรก ขีดเส้นตรงผ่านแนวนอนและแนวตั้งของมัน คุณควรจะเลือกตัวเลขแค่สี่ตัว เราจะมองมันว่าเป็นเมทริกซ์มิติ 2 x 2
- ในตัวอย่าง แถวอ้างอิงของเราคือ 1 5 3 ซึ่ง สมาชิกตัวแรก อยู่ในแถวที่ 1 และหลักที่ 1 ขีดแถวที่ 1 และหลักที่ 1 ออก เขียนสมาชิกที่เหลือเป็น เมทริกซ์ มิติ 2 x 2 :
-
1 5 3
24 7
46 2
-
หาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์มิติ 2 x 2. จำไว้ว่า เมทริกซ์ มีดีเทอร์มิแนนต์ ad - bc [2] X แหล่งข้อมูลอ้างอิง คุณอาจเข้าใจตรงนี้ได้โดยการวาดเครื่องหมาย X ตัดเมทริกซ์มิติ 2 x 2 นี้ คูณตัวเลขสองตัวที่เชื่อมกันโดยส่วน \ ของเครื่องหมาย X แล้วลบด้วยผลของตัวเลขสองตัวที่เชื่อมด้วยส่วน / ใช้สูตรนี้ในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่คุณเพิ่งพบ
- ในตัวอย่าง ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ = 4 * 2 - 7 * 6 = -34 .
- ดีเทอร์มิแนนต์นี้เรียกว่า ไมเนอร์ ของสมาชิกที่เราเลือกในเมทริกซ์เดิม [3] X แหล่งข้อมูลอ้างอิง ในกรณีนี้ เราเพิ่งพบไมเนอร์ของ a 11 .
-
คูณคำตอบที่ได้กับสมาชิกที่คุณเลือก. จำไว้ว่าคุณเลือกสมาชิกจากแนว (หรือหลัก) อ้างอิงตอนที่คุณตัดสินใจว่าจะขีดแถวหรือหลักไหนทิ้ง คูณสมาชิกนั้นด้วยดีเทอร์มิแนนต์ที่คุณเพิ่งคำนวณมาจากเมทริกซ์มิติ 2x2
- ในตัวอย่าง เราเลือก a 11 ซึ่งมีค่าเท่ากับ 1 คูณมันด้วย -34 (ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์มิติ 2x2) จะได้ 1*-34 = -34
-
ดูสัญลักษณ์ของคำตอบ. ต่อจากนั้น คุณจะคูณคำตอบด้วย 1 หรือไม่ก็ -1 เพื่อให้ได้ โคแฟกเตอร์ ของสมาชิกตัวที่คุณเลือก ซึ่งคุณใช้ขึ้นกับว่าสมาชิกตัวนี้อยู่ตำแหน่งไหนในเมทริกซ์มิติ 3x3 จดจำตารางสัญลักษณ์ง่ายๆ เพื่อตามว่าสมาชิกตัวใดทำให้เกิด:
- +
- +
- + -
+ - + - เนื่องจากเราเลือก a 11 , กำกับโดยเครื่องหมาย + เราจึงคูณเลขนั้นด้วย +1 (พูดอีกทีคือปล่อยไว้เฉยๆ ไม่ต้องทำอะไรกับมัน) คำตอบยังคงเป็น -34 .
- อีกทางเลือก คุณสามารถหาสัญลักษณ์ด้วยสูตร (-1) i+j ที่ซึ่ง i กับ j เป็นแถวและหลักของตัวสมาชิก [4] X แหล่งข้อมูลอ้างอิง
- +
- +
-
ทำกระบวนการนี้ซ้ำสำหรับสมาชิกที่สองในแถวและหลักที่คุณเลือก. กลับไปหาเมทริกซ์มิติ 3x3 เดิมที่คุณวงแถวกับหลักไว้ในตอนต้น ทำกระบวนการนี้ซ้ำกับสมาชิกนี้:
- ขีดแถวและหลักของสมาชิกตัวนั้นออก ในกรณีนี้ เลือกสมาชิก a 12 (ที่มีค่า 5) ขีดแถวที่หนึ่ง (1 5 3) และหลักที่สอง .
- มองสมาชิกที่เหลือว่าเป็นเมทริกซ์มิติ 2x2 ในตัวอย่าง เมทริกซ์คือ
- หาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์มิติ 2x2 นี้ ใช้สูตร ad - bc (2*2 - 7*4 = -24)
- คูณด้วยสมาชิกที่เลือกไว้ในเมทริกซ์มิติ 3x3 -24 * 5 = -120
- ดูว่าต้องคูณด้วย -1 หรือไม่ ใช้ตารางสัญลักษณ์หรือสูตร (-1) ij เราเลือกสมาชิก a 12 ซึ่งเป็น – ตามตารางสัญลักษณ์ เราจะต้องเปลี่ยนสัญลักษณ์ของคำตอบ: (-1)*(-120) = 120 .
-
ทำซ้ำกับสมาชิกตัวที่สาม. คุณเหลือโคแฟกเตอร์อีกตัวให้หา คำนวณ i เพื่อหาพจน์ที่สามในแถวหรือหลักอ้างอิง เราจะสรุปเร็วๆ วิธีคำนวณโคแฟกเตอร์ของ a 13 ในตัวอย่างดังนี้:
- ขีดแถวที่ 1 และหลักที่ 3 ออกให้ได้
- ดีเทอร์มิแนนต์ของมันคือ 2*6 - 4*4 = -4
- คูณด้วยสมาชิก a 13 : -4 * 3 = -12
- สมาชิก a 13 เป็น + ตารางสัญลักษณ์ ดังนั้นคำตอบคือ -12
-
บวกผลลัพธ์สามตัวที่ได้เข้าด้วยกัน. นี่เป็นขั้นตอนสุดท้าย คุณได้คำนวณโคแฟกเตอร์ทั้งสาม แต่ละตัวสำหรับสมาชิกในแถวหรือหลักเดียวกัน รวมมันเข้าด้วยกันและคุณจะได้ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์มิติ 3x3
- ในตัวอย่าง ดีเทอร์มิแนนต์คือ -34 + 120 + -12 = 74 .
โฆษณา
-
เลือกแถวอ้างอิงที่มีศูนย์มากที่สุด. จำได้ไหมว่าคุณสามารถเลือกแถวหรือหลัก ใดก็ได้ มาเป็นแถวอ้างอิง คุณจะได้คำตอบเดียวกันไม่ว่าจะเลือกแถวหรือหลักไหน หากคุณเลือกแถวหรือหลักที่มีศูนย์ คุณจะคำนวณแต่เพียงโคแฟกเตอร์ของสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ นี่คือเหตุผล:
- สมมติว่าคุณเลือกแถวที่ 2 ซึ่งมีสมาชิก a 21 , a 22 , และ a 23 การแก้โจทย์นี้ เราจะมองหาเมทริกซ์มิติ 2x2 ที่แตกต่างกันสามเมทริกซ์ สมมติให้เรียกพวกมันว่า A 21 , A 22 , และ A 23
- ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์มิติ 3x3 คือ a 21 |A 21 | - a 22 |A 22 | + a 23 |A 23 |
- หากพจน์ a 22 กับ a 23 ล้วนเป็น 0, สูตรของเราจะกลายเป็น a 21 |A 21 | - 0*|A 22 | + 0*|A 23 | = a 21 |A 21 | - 0 + 0 = a 21 |A 21 | ตอนนี้เราจะมีแค่การคำนวณโคแฟกเตอร์ของสมาชิกเพียงตัวเดียว
-
ใช้การรวมแถวเพื่อทำให้เมทริกซ์ง่ายขึ้น. หากคุณนำค่าหนึ่งแถวและไปบวกกับแถวอื่น ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จะไม่เปลี่ยน เวลาเป็นหลักก็ยังได้ผลเหมือนกัน คุณสามารถทำซ้ำ หรือคูณค่าด้วยจำนวนเต็มก่อนบวกกัน เพื่อให้ได้ศูนย์ในเมทริกซ์มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ มันจะช่วยประหยัดเวลาคุณได้มาก
- เช่น สมมติว่าคุณมีเมทริกซ์มิติ 3 x 3 ดังนี้:
- เพื่อที่จะหักลบ 9 ในตำแหน่ง a 11 เราสามารถคูณแถวที่สองด้วย -3 และบวกผลที่ได้เข้ากับตัวแรก แถวแรกใหม่นี้จะเป็น [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2]
- เมทริกซ์ใหม่คือ ลองใช้กลเม็ดนี้กับหลักเพื่อเปลี่ยน a 12 เป็น 0 ดู
-
เรียนรู้วิธีลัดสำหรับเมทริกซ์แบบสามเหลี่ยม. ในกรณีพิเศษเหล่านี้ ดีเทอร์มิแนนต์ก็เป็นแค่ผลรวมของสมาชิกตามแนวทแยงหลัก จาก a 11 ตรงด้านซ้ายบนไปถึง a 33 ทางด้านขวาล่าง เรายังคงพูดถึงเมทริกซ์มิติ 3x3 แต่แบบ "สามเหลี่ยม" นั้นมีรูปแบบพิเศษของค่าที่ ไม่ได้เป็นศูนย์ : [5] X แหล่งข้อมูลอ้างอิง
- เมทริกซ์แบบสามเหลี่ยมบน: สมาชิกตัวที่ไม่ได้มีค่าเป็นศูนย์ทั้งหมดจะอยู่เหนือเส้นแนวทแยงหลัก ทุกตัวที่อยู่ข้างล่างเป็นศูนย์ทั้งหมด
- เมทริกซ์แบบสามเหลี่ยมล่าง: สมาชิกตัวที่ไม่ได้มีค่าเป็นศูนย์ทั้งหมดจะอยู่ใต้เส้นแนวทแยงหลัก
- เมทริกซ์แบบแนวทแยง: สมาชิกตัวที่ไม่ได้มีค่าเป็นศูนย์ทั้งหมดจะอยู่ตามเส้นแนวทแยงหลัก (เป็นซับเซ็ตของด้านบน)
โฆษณา
เคล็ดลับ
- วิธีนี้สามารถยืดไปใช้กับเมทริกซ์จัตุรัสในทุกขนาด เช่น หากใช้มันในเมทริกซ์มิติ 4x4 "การขีดออก" จะทำให้เหลือเมทริกซ์มิติ 3x3 ซึ่งคุณสามารถคำนวณหาดีเทอร์มิแนนต์ได้ตามที่อธิบายไว้ข้างต้น แต่เตือนไว้ก่อน ว่าคิดกันจนมือหงิกเลยนะ!
- หากสมาชิกทุกตัวของแถวหรือหลักเป็น 0 ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นั้นก็จะเป็น 0
โฆษณา
ข้อมูลอ้างอิง
- ↑ http://www.decodedscience.com/practical-uses-matrix-mathematics/40494
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-matrices/inverting_matrices/v/finding-the-determinant-of-a-2x2-matrix
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/determinant.html
- ↑ http://www.math.rutgers.edu/~cherlin/Courses/250/Lectures/250L12.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/determinant.html
เกี่ยวกับวิกิฮาวนี้
มีการเข้าถึงหน้านี้ 79,898 ครั้ง
โฆษณา
