วิธีการ หามุมระหว่างสองเวกเตอร์

หากคุณเป็นนักคณิตศาสตร์หรือนักเขียนโปรแกรมกราฟฟิก คุณอาจจำเป็นต้องหามุมระหว่างเวกเตอร์หรือเส้นสมมติที่ให้มาสองเส้น วิกิฮาวบทนี้จะสอนคุณว่าต้องทำอย่างไร

ส่วน 1

ส่วน 1 ของ 2:

หามุมระหว่างค่าสองเวกเตอร์

ดาวน์โหลดบทความ

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/b\/ba\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-01.jpg\/v4-460px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-01.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/b\/ba\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-01.jpg\/v4-728px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-01.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
ระบุเวกเตอร์. จดข้อมูลทั้งหมดที่คุณมีเกี่ยวกับเวกเตอร์สองค่านี้ เราจะคาดไปก่อนว่าคุณมีคำจำกัดความเวกเตอร์ในแง่ของระยะพิกัดของมิติ (หรือที่เรีกว่า ส่วนประกอบของเวกเตอร์) ^{[1]
X
แหล่งข้อมูลอ้างอิง} หากคุณรู้ความยาวของเวกเตอร์หนึ่ง (ขนาดของเวกเตอร์นั้น) คุณจะสามารถข้ามขั้นตอนบางส่วนด้านล่างนี้ไปได้เลย
- ตัวอย่าง: เวกเตอร์สองมิติ ${\overrightarrow {u}}$ = (2,2) เวกเตอร์ ${\overrightarrow {v}}$ = (0,3) มันอาจเขียนได้เป็น ${\overrightarrow {u}}$ = 2 i + 2 j และ ${\overrightarrow {v}}$ = 0 i + 3 j = 3 j .
- ในขณะที่ตัวอย่างของเราใช้เวกเตอร์สองมิติ คำแนะนำด้านล่างครอบคลุมเวกเตอร์ทุกขนาด
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/4\/49\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-02.jpg\/v4-460px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-02.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/4\/49\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-02.jpg\/v4-728px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-02.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
เขียนสูตรโคไซน์. ในการหามุม θ ระหว่างสองเวกเตอร์ ให้เริ่มด้วยสูตรการหาโคไซน์ของมุม คุณสามารถ เรียนรู้เกี่ยวกับสูตรนี้ด้านล่าง หรือเขียนลงไปเลย: ^{[2]
X
แหล่งข้อมูลอ้างอิง}
- cosθ = ( ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ ) / ( || ${\overrightarrow {u}}$ || || ${\overrightarrow {v}}$ || )
- || ${\overrightarrow {u}}$ || หมายถึง "ความยาวของเวกเตอร์ ${\overrightarrow {u}}$ ."
- ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ เป็นผลคูณจุด (ผลคูณเชิงสเกลาร์) ของเวกเตอร์ทั้งสองที่จะอธิบายด้านล่าง
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/e7\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-03.jpg\/v4-460px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-03.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/e7\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-03.jpg\/v4-728px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-03.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
คำนวณความยาวของเวกเตอร์แต่ละตัว. นึกภาพสามเหลี่ยมมุมฉากที่วาดจากขนาด x กับขนาด y ของเวกเตอร์ และตัวเวกเตอร์เอง เวกเตอร์จะเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม ดังนั้นการหาความยาวของมันจึงต้องใช้ทฤษฎีบทของพีธากอรัส และอย่างที่เห็น สูตรนี้สามารถยืดไปใช้กับเวกเตอร์ที่มีขนาดใดก็ได้ ^{[3]
X
แหล่งข้อมูลอ้างอิง}
- || u || ² = u ₁ ² + u ₂ ² . หากเวกเตอร์มีมากกว่าสองขนาด ก็แค่บวกเพิ่มเข้าไป +u ₃ ² + u ₄ ² + ...
- ดังนั้น สำหรับเวกเตอร์สองมิติแล้ว || u || = √(u ₁ ² + u ₂ ² ) .
- ในตัวอย่างของเรา || ${\overrightarrow {u}}$ || = √(2 ² + 2 ² ) = √(8) = 2√2 . || ${\overrightarrow {v}}$ || = √(0 ² + 3 ² ) = √(9) = 3 .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a0\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-04.jpg\/v4-460px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-04.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/a0\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-04.jpg\/v4-728px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-04.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
คำนวณผลคูณจุดของเวกเตอร์ทั้งสอง. คุณอาจเรียนรู้วิธีนี้จากการคูณเวกเตอร์มาแล้ว หรือที่เรียกอีกอย่างว่า ผลคูณเชิงสเกลาร์ ^{[4]
X
แหล่งข้อมูลอ้างอิง} ในการคำนวณผลคูณจุดในแง่ของขนาดเวกเตอร์นั้น ให้คูณขนาดในแต่ละทิศทางเข้าด้วยกัน แล้วบวกผลลัพธ์ทั้งหมด ^{[5]
X
แหล่งข้อมูลอ้างอิง}
- สำหรับการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์กราฟฟิก ให้ดู เคล็ดลับ ก่อนจะทำต่อไป
- ในเชิงคณิตศาสตร์ ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ = u ₁ v ₁ + u ₂ v ₂ , ในขณะที่ u = (u ₁ , u ₂ ) ถ้าเวกเตอร์ของคุณมีมากกว่าสองส่วนประกอบหรือขนาด แค่บวกเพิ่ม + u ₃ v ₃ + u ₄ v ₄ ...
- ในตัวอย่างของเรา ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ = u ₁ v ₁ + u ₂ v ₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6 นี่คือผลคูณจุดของเวกเตอร์ ${\overrightarrow {u}}$ และ ${\overrightarrow {v}}$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/8f\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-05.jpg\/v4-460px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-05.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/8\/8f\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-05.jpg\/v4-728px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-05.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

5
แทนผลลัพธ์ลงในสูตร. จำไว้ว่า cosθ = ( ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ ) / ( || ${\overrightarrow {u}}$ || || ${\overrightarrow {v}}$ || ) ตอนนี้คุณมีทั้งผลคูณจุดและความยาวของเวกเตอร์แต่ละตัวแล้ว แทนค่าลงไปในสูตรนี้เพื่อคำนวณโคไซน์ของมุม
- ในตัวอย่างของเรา cosθ = 6 / ( 2√2 * 3 ) = 1 / √2 = √2 / 2.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/ee\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-06.jpg\/v4-460px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-06.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/ee\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-06.jpg\/v4-728px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-06.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

6
หามุมโดยอาศัยค่าโคไซน์. คุณสามารถใช้ปุ่ม arccos หรือ cos ^-1 บนเครื่องคิดเลขหามุม θ จากค่าของ cos θ ที่ทราบแล้ว สำหรับผลบางตัว คุณอาจหามุมได้โดยอาศัยวงกลมหนึ่งหน่วย
- ในตัวอย่างของเรา cosθ = √2 / 2, กดปุ่ม "arccos(√2 / 2)" ในเครื่องคิดเลขเพื่อให้ได้มุม อีกทางเลือกคือหามุม θ บนวงกลมหนึ่งหน่วยที่ซึ่ง cosθ = √2 / 2 นี่เป็นจริงสำหรับ θ = ^π / ₄ หรือ 45º .
- นำค่าที่ได้ทั้งหมดมารวมกัน สูตรตอนสุดท้ายจะเป็น: มุม θ = arccosine(( ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ ) / ( || ${\overrightarrow {u}}$ || || ${\overrightarrow {v}}$ || ))
โฆษณา

ส่วน 2

ส่วน 2 ของ 2:

นิยามสูตรของมุม

ดาวน์โหลดบทความ

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/f5\/Become-a-College-Professor-Step-17.jpg\/v4-460px-Become-a-College-Professor-Step-17.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/f\/f5\/Become-a-College-Professor-Step-17.jpg\/v4-728px-Become-a-College-Professor-Step-17.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
เข้าใจวัตถุประสงค์ของสูตรนี้. สูตรนี้ไม่ได้ผันมาจากกฎที่มีอยู่แล้ว มันกลับถูกสร้างขึ้นในฐานะคำจำกัดความของผลคูณจุดของเวกเตอร์สองตัวและมุมระหว่างมัน ^{[6]
X
แหล่งข้อมูลอ้างอิง} อย่างไรก็ตาม มันใช่ว่าจะเกิดขึ้นอย่างไร้กฎเกณฑ์ที่มาที่ไป หากย้อนมองกลับไปในเรขาคณิตพื้นฐาน เราจะเห็นว่าเหตุใดสูตรนี้ถึงให้คำจำกัดความที่มีประโยชน์และใช้ได้ผล
- ตัวอย่างด้านล่างใช้เวกเตอร์สองมิติเพราะพวกมันเป็นค่าเบื้องต้นที่สุดในการใช้ เวกเตอร์ที่มีสามขนาดหรือองค์ประกอบขึ้นไปมีคุณสมบัติที่นิยามตามสูตรนี้เหมือนกัน
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/b\/b5\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-08.jpg\/v4-460px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-08.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/b\/b5\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-08.jpg\/v4-728px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-08.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

นำสามเหลี่ยมธรรมดาทั่วไปที่มีมุม θ ระหว่างด้าน a กับ b และด้านตรงข้ามคือ c กฎของโคไซน์บอกว่า c ² = a ² + b ² -2ab cos (θ) นี่เป็นการนำมาจากเรขาคณิตพื้นฐาน
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/23\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-09.jpg\/v4-460px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-09.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/23\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-09.jpg\/v4-728px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-09.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

เชื่อมเวกเตอร์ทั้งสองเพื่อสร้างเป็นรูปสามเหลี่ยม. วาดเวกเตอร์ 2 มิติคู่หนึ่งบนกระดาษ เวกเตอร์ ${\overrightarrow {a}}$ และ ${\overrightarrow {b}}$ ที่มีมุม θ ระหว่างพวกมัน วาดเวกเตอร์ที่สามระหว่างนั้นให้เกิดเป็นรูปสามเหลี่ยม หรือพูดอีกอย่างคือ วาดเวกเตอร์ ${\overrightarrow {c}}$ ซึ่ง ${\overrightarrow {b}}$ + ${\overrightarrow {c}}$ = ${\overrightarrow {a}}$ เวกเตอร์นี้ ${\overrightarrow {c}}$ = ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ ^{[7]
X
แหล่งข้อมูลอ้างอิง}
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a5\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-10-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-10-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/a5\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-10-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-10-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
เขียนกฎโคไซน์สำหรับสามเหลี่ยมรูปนี้. ใส่ความยาวของด้านใน "สามเหลี่ยมเวกเตอร์" ลงในกฎโคไซน์:
- || (a - b) || ² = || a || ² + || b || ² - 2 || a || || b || cos (θ)
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/c3\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-11-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-11-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/c3\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-11-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-11-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

5
เขียนขึ้นโดยใช้ผลคูณจุด. จำไว้ว่าผลคูณจุดเป็นการเพิ่มขนาดของเวกเตอร์หนึ่งลงบนอีกเวกเตอร์หนึ่ง ผลคูณจุดของเวกเตอร์ในตัวมันเองไม่ต้องการการขยายเพิ่มขนาด เนื่องจากไม่มีความแตกต่างในทิศทาง ^{[8]
X
แหล่งข้อมูลอ้างอิง} นั่นหมายถึงว่า ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ = || a || ² ใช้ข้อเท็จจริงข้อนี้เขียนสมการเสียใหม่:
- ( ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ ) • ( ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ ) = ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - 2 || a || || b || cos (θ)
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/de\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-12-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-12-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/de\/Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-12-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Angle-Between-Two-Vectors-Step-12-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

6
เขียนใหม่ให้อยู่ในรูปสูตรที่คุ้นเคย. ขยายด้านซ้ายของสูตร แล้วทอนลงเป็นสมการที่ใช้หามุม
- ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ = ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - 2 || a || || b || cos (θ)
- - ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ = -2 || a || || b || cos (θ)
- -2( ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ ) = -2 || a || || b || cos (θ)
- ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ = || a || || b || cos (θ)
โฆษณา

เคล็ดลับ

สำหรับการแทนค่าแล้วแก้โจทย์เร็วๆ ใช้สูตรนี้สำหรับเวกเตอร์สองมิติสองจำนวนใดๆ: cosθ = (u ₁ • v ₁ + u ₂ • v ₂ ) / (√(u ₁ ² • u ₂ ² ) • √(v ₁ ² • v ₂ ² )).
หากคุณทำงานด้านการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์กราฟฟิก คุณอาจจะสนใจเฉพาะในทิศทางของเวกเตอร์มากกว่าจะเป็นความยาว ให้ใช้ขั้นตอนเหล่านี้ในการทอนสมการและเพิ่มความเร็วของโปรแกรม: ^{[9]
X
แหล่งข้อมูลอ้างอิง} ^{[10]
X
แหล่งข้อมูลอ้างอิง}
- หารเวกเตอร์แต่ละตัวด้วยขนาดของมันเอง เพื่อที่ความยาวจะกลายเป็น 1 ทำโดยหารแต่ละส่วนประกอบของเวกเตอร์ด้วยความยาวของเวกเตอร์นั้น
- นำผลคูณจุดของเวกเตอร์ที่ผ่านการหารมาแล้วแทนที่จะเป็นเวกเตอร์เดิม
- เนื่องจากความยาวหรือขนาดเท่ากับ 1 จึงเอาพจน์ความยาวออกจากสมการได้ สมการสุดท้ายสำหรับมุมคือ arccos( ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ )
จากสูตรโคไซน์ เราสามารถหาว่ามุมนั้นเป็นมุมแหลมหรือมุมป้านได้อย่างรวดเร็ว เริ่มจาก cosθ = ( ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ ) / ( || ${\overrightarrow {u}}$ || || ${\overrightarrow {v}}$ || ):
- ด้านซ้ายกับด้านขวาของสมการจะต้องมีสัญลักษณ์เดียวกัน (บวกหรือลบ)
- เนื่องจากความยาวจะเป็นค่าบวกเสมอ cosθ จะต้องมีสัญลักษณ์แบบเดียวกับผลคูณจุด
- ฉะนั้น หากผลคูณจุดมีค่าเป็นบวก cosθ ก็ต้องเป็นบวก เราอยู่ในเสี้ยวแรกของวงกลมหนึ่งหน่วย โดยมี θ < π / 2 หรือ 90º มุมจึงเป็นมุมแหลม
- หากผลคูณจุดเป็นลบ cosθ จะต้องเป็นลบด้วย เราจะอยู่ในเสี้ยวที่สองของวงกลมหนึ่งหน่วย โดยมี π / 2 < θ ≤ π or 90º < θ ≤ 180º มุมจึงเป็นมุมป้าน

โฆษณา

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

เข้าสู่ระบบ

วิธีการ หามุมระหว่างสองเวกเตอร์

ขั้นตอน

หามุมระหว่างค่าสองเวกเตอร์

นิยามสูตรของมุม

เคล็ดลับ

บทความวิกิฮาวอื่น ๆ ที่่เกี่ยวข้อง

ข้อมูลอ้างอิง

เกี่ยวกับวิกิฮาวนี้

บทความนี้เป็นประโยชน์กับคุณไหม

บทความที่เกี่ยวข้อง

ติดตามเรา

แบ่งปัน

Explore Categories