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要求直线的方程,你需要做两件事:一是知道直线上的一点,而是直线的斜率。但是如何求线上一点以及斜率呢,求得后还需要怎么做才能求出直线方程呢?这些都视情况而定。出于简单,本文以斜截式 y = mx + b 为例,暂不讨论点斜式 (y - y 1 ) = m(x - x 1 ).

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    了解基本概念。 在求直线方程之前,你需要了解一些基本概念,这些概念是:
    • 一个点由一对数字表示,比如 (-7, -8) 或者(-2,-6)。
    • 第一个数字代表“x轴坐标”,描述了一点在水平方向的位置(在原点左侧或右侧,以及到原点的距离)。
    • 第二个数字代表“y轴坐标”,描述了一点在书脂肪的位置(在原点上方或下方,以及到原点的距离)。
    • 两点之间的斜率,定义为“倾斜的程度”,即从一点移动到另一点,竖直方向以及水平方向上移动的距离。
    • 如果两条直线不相交,那么两直线平行。
    • 如果两直线相交成90度角,那么两直线垂直。
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    辨认出问题的类型。
    • 给出一点坐标和斜率。
    • 给出两点坐标,斜率未知。
    • 一点坐标以及平行直线。
    • 一点坐标以及垂直线。
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    使用下面的四种方法之一解决问题。 根据所给信息的不同,求解方法也不一样。
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方法 1
方法 1 的 4:

已知一个点和斜率

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  1. 截距(表达式中的 b )是直线和y轴交点的纵坐标。你可以通过整理表达式来求得直线的截距。新的表达式的形式是:b = y - mx.
    • 将斜率和坐标代入上式。
    • 用斜率( m )乘以点的横坐标。
    • 用点的纵坐标减去上式结果。
    • 最后的结果就是 b ,即截距。
    • 列方程:b = y - mx.
    • 代入数值计算
      • b = -5 - (2/3)6.
      • b = -5 - 4.
      • b = -9
    • 代回方程检查,结果确实是-9。
    • 写出方程:y = 2/3 x - 9
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方法 2
方法 2 的 4:

已知两点坐标

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    计算两点之间的斜率。 “斜率”又叫“坡度”,它描述了在水平方向移动一定距离,在切直方向上升或下降的数值。计算公式是: (Y 2 - Y 1 ) / (X 2 - X 1 )
    • 将两点的坐标代入公式。(两个坐标意味着有两个“y”值,两个"x"值)先填哪一个坐标都可以,只要保证相应的y值对应相应的x值即可。例如:
      • (3, 8) 和点 (7, 12) 。 (Y 2 - Y 1 ) / (X 2 - X 1 ) = 12 - 8 / 7 - 3 = 4/4, 或1。
      • (5, 5) 和点 (9, 2) 。(Y 2 - Y 1 ) / (X 2 - X 1 ) = 2 - 5 / 9 - 5 = -3/4。
  2. 将方程y = mx + b变形为b = y - mx。还是同一个方程,只是字母交换了位置。
    • 把斜率和坐标代入。
    • 用斜率( m )乘以横坐标。
    • 用纵坐标减去上式结果。
    • 求得 b ,或截距。
  3. “已知两点(6, -5)和(8, -12),求直线方程?”
    • 求斜率。斜率= (Y 2 - Y 1 ) / (X 2 - X 1 )
      • -12 - (-5) / 8 - 6 = -7 / 2
      • 斜率是 -7/2 (从第一个点到第二个点,我们需要先向下移动7,然后向右移动2,所以斜率是-7比2)。
    • 列出方程 b = y - mx。
    • 代入求解。
      • b = -12 - (-7/2)8.
      • b = -12 - (-28).
      • b = -12 + 28.
      • b = 16
      • 注意 :由于横坐标代入的是8,因此纵坐标必须代入-12。如果横坐标代入6,那纵坐标必须代入-5。
    • 带回原式,检查结果确实是16。
    • 所求方程是:y = -7/2 x + 16
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方法 3
方法 3 的 4:

已知一点坐标和平行直线

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    求已知平行直线的斜率。 y 之前没有系数时,对应的 x 系数就是斜率。
    • 比如,y = 3/4 x + 7,斜率是3/4。
    • 比如,y = 3x - 2,斜率是3。
    • 比如,y = 3x,斜率是3。
    • 比如,y = 7,斜率是0 (因为此时x的系数是0)。
    • 比如,y = x - 7,斜率是1。
    • 比如,-3x + 4y = 8,斜率是3/4。
      • 为了求直线的斜率,需要化简 y 的系数,比如:
      • 4y = 3x + 8
      • 方程两边同时除以"4":y = 3/4x + 2
    • 将斜率和坐标代入上式。
    • 用斜率( m )乘以点的横坐标。
    • 用点的纵坐标减去上式结果。
    • 最后的结果就是 b ,即截距。
  2. 平行线有相同的斜率,所以第一步求出的斜率就是最终结果的斜率。
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    解例题,"已知直线过点(4, 3),且平行于直线5x - 2y = 1,求直线方程?"
    • 求斜率。所求直线的斜率和已知直线的斜率一样,所以先求出已知直线的斜率:
      • -2y = -5x + 1
      • 两边同时除以"-2" :y = 5/2x - 1/2
      • 斜率是 5/2
    • 列出方程:b = y - mx。
    • 代入计算。
      • b = 3 - (5/2)4。
      • b = 3 - (10)。
      • b = -7。
    • 带回原式,检查结果确实是-7。
    • 写出方程:y = 5/2 x - 7
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方法 4
方法 4 的 4:

已知一点和垂直线

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    求出已知直线的斜率。 具体做法参考上一方法。
  2. 交换分子和分母的位置,然后符号变号。因为两条互相垂直的直线的斜率互为负倒数,所以你需要变换将所求的斜率。
    • 2/3变成-3/2
    • -6/5 变成5/6
    • 3 (即 3/1) 变成-1/3
    • -1/2 变成 2
  3. 公式是b = y - mx
    • 将斜率和坐标代入上式。
    • 用斜率( m )乘以点的横坐标。
    • 用点的纵坐标减去上式结果。
    • 最后的结果就是 b ,即截距。
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    解例题。 "已知直线过点(8, -1),且垂直于直线4x + 2y = 9,求直线方程?"
    • 求斜率。所求直线的斜率和已知直线的斜率互为负倒数。先计算已知直线的斜率:
      • 2y = -4x + 9
      • 方程两边同时除以"2": y = -4/2x + 9/2
      • 斜率是 -4/2 -2
    • -2的负倒数为1/2。
    • 列出方程 b = y - mx。
    • 代入计算
      • b = -1 - (1/2)8。
      • b = -1 - (4)。
      • b = -5。
    • 带回原式检查,结果确实是 -5。
    • 求得方程:y = 1/2 x - 5
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