步骤
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选择单行或单列。 这将是引用行或列。不管你选哪一行或列，结果都是一样的。现在，只选择第一行。稍后，我们将给出一些关于如何选择最简单的计算方法的建议。 [2] X 研究来源
- 我们选择示例矩阵A的第一行，圈出1 5 3。一般来说，圈出 11 a 12 a 13 。
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划掉第一个元素的行和列。 查看圈出的行或列，并选择第一个元素。通过它的行和列画线。剩下四个数字。我们把它看成一个2×2矩阵。 [3] X 研究来源
- 在本例中，引用行是1 5 3。 第一个元素 在第1行和第1列。划掉第一行和第一列。把剩下的元素写成 2×2矩阵 ：
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1 5 3
24 1
46 2
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将结果乘以你选择的元素。 记住，当你决定划去哪一行和哪一列时，是从引用行（或列）中选择了一个元素。将这个元素乘以刚刚计算出的2x2矩阵的行列式。 [6] X 研究来源
- 在本例中，我们选择了a 11 ，值为1。将它乘以-34（2x2矩阵的行列式），得到1*-34 = -34 。
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确定答案的正负号。 接下来，将答案乘以1或-1来得到所选元素的 代数余子式 。你用哪一个取决于元素在3x3矩阵中的位置。记住这个简单的正负号图来找出哪个元素是正，哪个元素是负：
- +
- +
- + -
+ - + - 由于我们选择了 a 11 ，用a +标记，将结果乘以1。（也就是说，不用管它）。答案还是 -34 。
- 或者，你可以用公式(-1) i+j 来计算正负号，其中 i 和 j 是该元素的行数和列数。 [7] X 研究来源
- +
- +
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对引用行或列中的第二个元素重复这个过程。 返回到初始的3x3矩阵，包含你之前圈出的行或列。对这个元素重复相同的过程： [8] X 研究来源
- 划掉这个元素所在的行和列。 在本例中，选择元素a 12 （值为5）。划掉第一行（1 5 3）和第二列 。
- 将剩余元素当作一个2x2矩阵。 在本例中，矩阵为
- 求出这个2x2矩阵的行列式。 使用ad - bc公式。（2*2 - 7*4 = -24）
- 乘以3x3矩阵中选定的元素。 -24 * 5 = -120
- 确定是否乘以-1。 使用正负号表或(-1) ij 公式。我们选择了元素a 12 ，在正负号表中为负。因此要将更改结果的正负号：(-1)*(-120) = 120 。
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对于三个元素重复这个操作。 你还要找出一个余子式。计算引用行或列中第三项的i。在本例中，下面是计算a 13 余子式的简要描述：
- 划掉第1行和第3列，得到
- 它的行列式为2*6 - 4*4 = -4。
- 乘以元素a 13 ：-4 * 3 = -12。
- 元素a 13 在正负号表中为正，所以结果是 -12 。
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将三个结果加起来。 这是最后一步。你已经算出来三个代数余子式，每个分别对应单行或单列中的每个元素。把它们加起来，你就得到了3x3矩阵的行列式。
- 在本例中，行列式为 -34 + 120 + -12 = 74 。
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选择0最多的引用行或列。 记住，你可以选择 任意 行或列作为引用。不管你选哪一个，结果都是一样的。如果你选择一个带有零的行或列，只需要计算非零元素的代数余子式。原因如下： [9] X 研究来源
- 假设你选择第2行，包含元素a 21 、a 22 和 23 。要解决这个问题，我们要看三个不同的2x2矩阵。我们把它们叫做A 21 、A 22 和A 23 。
- 3x3矩阵的行列式是a 21 |A 21 | - a 22 |A 22 | + a 23 |A 23 |。
- 如果a 22 和a 23 都为0，公式就变成a 21 |A 21 | - 0*|A 22 | + 0*|A 23 | = a 21 |A 21 | - 0 + 0 = a 21 |A 21 |。现在我们只需计算一个元素的代数余子式。
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利用行加法使矩阵更简单。 如果你把一行的值加到另一行，矩阵的行列式不变。列也是如此。你可以重复这样操作，或者在加之前将值乘以一个常数，从而使矩阵有尽可能多的0。这样可以节省很多时间。
- 例如，假设你有一个3×3的矩阵：
- 为了消掉a 11 上的9，我们可以把第二行乘以-3然后把结果加到第一行。新的第一行就变成[9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2]。
- 新矩阵就变成 。尝试对列使用同样的方法，将a 12 也变成0。
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学习三角矩阵的快捷方法。 在这些特殊情况下，行列式就是主对角线上的元素的乘积，从左上角的a 11 到右下角的a 33 。我们讨论的仍然是3x3矩阵，但是“三角”矩阵有 非零 值的特殊模式： [10] X 研究来源
- 上三角矩阵：所有非零元素都在主对角线上或主对角线之上。下面全部是0。
- 下三角矩阵：所有非零元素都在主对角上或主对角之下。
- 对角矩阵：所有非零元素都在主对角上。（上述矩阵的一个子集）
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小提示
- 如果有一行或列的所有元素都是0，那么这个矩阵的行列式就是0。
- 这种方法可以扩展到任何大小的方阵。例如，如果将这种方法用于4x4矩阵，“划掉”后将得到一个3x3矩阵，你可以按照上面的描述计算行列式。但是提醒一句，手动计算非常繁琐！
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参考
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/matrix-determinant.html
- ↑ https://math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/vcalc/deter/deter.html
- ↑ https://www.hec.ca/en/cams/help/topics/Matrix_determinants.pdf
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-matrices/inverting_matrices/v/finding-the-determinant-of-a-2x2-matrix
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/determinant.html
- ↑ https://www.purplemath.com/modules/minors.htm
- ↑ http://www.math.rutgers.edu/~cherlin/Courses/250/Lectures/250L12.html
- ↑ http://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/sigma-matrices9-2009-1.pdf
- ↑ https://www.hec.ca/en/cams/help/topics/Matrix_determinants.pdf
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