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正在为一个棘手的代数问题而苦恼？求逆矩阵是解 线性方程 的关键。此外，逆运算通常还能为困难问题提供一种便捷的简化方法。例如，一个题要除以一个分数，那么换种思维，改成 乘以 该分数的倒数就会更简单。而这就是一种基本的逆运算！同样，由于矩阵没有除法运算，所以你得乘以逆矩阵。为此，这篇文章整理了一份逐步指南，教你通过行列式和线性行简化来手动计算3x3逆矩阵。然后，甚至还会教你如何用高级图形计算器来求逆矩阵。
步骤
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转置原矩阵。 转置是指围绕主对角线翻转矩阵，或者说，将元素(i,j)和元素(j,i)互换。在转置矩阵项时，你应该看到主对角线（从左上方到右下方）不会发生变化。 [2] X 研究来源
- 另一种思考转置的方法是把第一行改写成第一列，把中间行变成中间列，把第三行变成第三列。注意上图中的彩色元素，看看数字在哪里变换了位置。
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创建余因子矩阵。 将上一步的结果代入一个新的余因子矩阵中，将每个小矩阵的行列式与原矩阵中的相应位置对齐。这样，你从原矩阵的项(1,1)中计算出的行列式将被放在(1,1)位置。然后，你必须按照所示的“棋盘”样式，将这个新矩阵的交替项的符号颠倒过来。 [4] X 研究来源
- 在分配符号时，第一行的第一个元素将保留其原始符号。第二个元素是相反的符号。第三个元素将保留其原始符号。继续以这种方式处理矩阵的其余部分。请注意，棋盘中的(+)或(-)符号并不代表最后一项就应该是正数或负数。它们只是表示保持(+)或颠倒(-)任何数字原来的符号而已。
- 这一步的最终结果被称为原矩阵的伴随矩阵。它有时也被称为邻接矩阵。伴随矩阵可以记作Adj(M)。
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将伴随矩阵的每一项除以行列式。 回想一下你在第一步中算出的行列式M（以便检查逆运算是否可行）。现在你要用这个值来除以矩阵的每一项。将每次计算的结果放到原项的位置上。结果就是原矩阵的逆矩阵。 [5] X 研究来源
- 对于图中所示的矩阵，行列式为1。因此，除以伴随矩阵的每一项，就能得到伴随矩阵本身。但你可能不会总是这么幸运。
- 一些资料没有把这一步当做除法，而是用M的每一项乘以1/det(M)。在数学上，这些计算都是一样的。
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将单位矩阵与原矩阵连接起来。 写出原矩阵M，在它的右边画一条垂线，然后在它的右边写出单位矩阵。现在，你应该就会得到一个看起来包含三行六列的矩阵。 [6] X 研究来源
- 回顾一下，单位矩阵是一种特殊矩阵，从左上角到右下角的主对角线的每个位置都是1，而其他所有位置都是0。
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执行线性行简化。 你的目标是在这个新的增广矩阵左侧创建一个单位矩阵。在左边执行简化步骤时，你必须在右边持续执行同样的操作，因为右边开始是你的单位矩阵。
- 请记住，行简化是以纯量乘法和行简化的组合形式进行的，目的是为了隔离矩阵的各个项。
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一直继续下去，直到最终形成单位矩阵。 继续重复线性行简化操作，直到你的纯量乘法的左侧显示了单位矩阵（对角线为1，其他项为0）。当你达到这一点时，垂直分割线的右侧将是原矩阵的逆矩阵。 [7] X 研究来源
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写出逆矩阵。 将现在出现在垂直分割线右侧的元素复制成逆矩阵。广告
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将矩阵输入计算器。 首先，如果计算器上有Matrix键的话，按它就能进入计算器的Matrix功能。在德州仪器的计算器上，你可能需要按第二个Matrix键。
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输入矩阵的每个元素。 计算器屏幕将显示一个矩阵。如果你之前在使用矩阵功能，那么之前的矩阵会出现在屏幕上。光标将突出显示矩阵的第一个元素。输入你想求解的矩阵的数值，然后按Enter。光标会自动移动到矩阵的下一个元素，并覆盖之前的任何数字。 [12] X 研究来源
- 如果要输入负数，请使用计算器的负数按钮(-)而不是减号键。否则，矩阵功能将无法正确读取数字。
- 如有必要，你可以使用计算器的箭头键在矩阵中移动。
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使用逆向键来求逆矩阵。 首先，重新打开矩阵功能，使用名称按钮来选择你用来定义矩阵的矩阵标签（可能是[A]）。然后，按下计算器的逆向键 。这一步可能需要使用第2个按钮，具体取决于你的计算器。这时候屏幕会显示 。按输入键，屏幕上应该就出现逆矩阵。 [14] X 研究来源
- 不要使用计算器上的^键来尝试将A^-1作为单独的键盘输入。计算器将无法理解这种操作。
- 如果你在按逆向键时收到错误信息，那就表示你的原矩阵很可能没有逆矩阵。你可能得通过计算行列式来求出答案。
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大多数图形计算器也有方括号键（在TI-84上是第2+x和第2+-），可以用来输入矩阵而不用矩阵功能。 注意：在使用Enter/等号键后，计算器才会对矩阵进行格式化（即所有的内容都显示成一行，看起来不太美观）。广告
小提示
- 你可以按照这些步骤来求一个不仅包含数字，而且还包含变量、未知数甚至代数表达式的矩阵的逆矩阵。
- 把所有的步骤写下来，因为要在头脑中求出3x3矩阵的逆矩阵是非常困难的。
- 有一些计算机程序可以为你求出逆矩阵 [16] X 研究来源 ，最多甚至可以求30x30的矩阵大小。
- 无论选择哪种方法，都可以通过用M乘以M -1 来检查结果是否正确。你应该能够验证M*M -1 = M -1 *M = I 。其中I是单位矩阵，由主对角线上的1和其他地方的0组成。如果不是，那就说明你在某一步弄错了。
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警告
- 并非所有的3x3矩阵都有逆矩阵。如果矩阵的行列式等于0，那它就没有逆矩阵。（请注意，在公式中我们要除以det(M)。除以零是行不通的）。
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相关wikiHows
参考
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/matrix-inverse-minors-cofactors-adjugate.html
- ↑ http://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/sigma-matrices11-2009-1.pdf
- ↑ http://www.mathwords.com/c/cofactor_matrix.htm
- ↑ http://www.mathwords.com/c/cofactor_matrix.htm
- ↑ http://mathworld.wolfram.com/MatrixInverse.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ http://www.bluebit.gr/matrix-calculator/
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