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当直线在二维图形上相交时，它们只相交于一点， [1] X 研究来源 由一组坐标 -和 -表示。由于两条线都经过那个点，所以 -和 - 坐标必须同时满足两个方程。通过一些其他技巧，你就能以此类推，求出抛物线和其他二次曲线的交点。
步骤
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写出每条直线的方程， 在等式左侧。 如果有必要的话，重新排列等式，这样 就单独在等号左侧。如果方程使用 或 ，而不是 ，那就将这一项单独分开。记住，你可以通过对等式两边执行相同的操作来消除这些项。
- 如果你不会求这个方程，根据现有的信息 求出直线方程 。
- 例如： 两条线分别为： 和 。要想将第二个方程的 分离出来，两边各加上12：
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让两个等式右侧相等。 我们在寻找一个点，两条直线在这个点上具有相同的 和 值；这个点就是两条直线相交的位置。两个等式在左侧都是只有 ，这样我们就知道两个等式的右侧相等。写出一个新的方程来表示它。
- 例如： 已知 ， ，所以 。
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用这个 -值来求解 。 选择一条直线的方程。将你求出的x值带入这个等式中的所有 。算一下算式，求出 。
- 例如： ，
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检查计算结果。 将 -值带入另一个方程中来查看是否得到相同的结果，这是一种很好的做法。如果你得到不同的 值，回去检查你的计算过程，检查计算错误。
- 例如： ，
- 两次计算结果一致。没有错误。
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写出交点的 和 坐标。 现在，你已经求出两条直线交点的 -值和 -值。将这个交点写成坐标组， -值作为第一个值。
- 例如： ，
- 这两条直线相交于(3,6)。
-
处理异常结果。 有些方程是不可能解出来 的。这不一定是你出错了。两条直线有两种方式会导致出现特殊结果：
- 如果两条直线平行，它们不相交。 项就会抵消，方程就会简化成错误的表述（例如 ）。可以写出“ 这两条直线不相交 ”或“ 没有实数解 ”作为答案。
- 如果两个方程描述的是同一条直线，直线上的所有点都“相交”。 项抵消，方程就会简化成一个正确的表述（例如 ）。可以写出“ 这两条直线是同一条 ”作为答案。
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把方程写成y的形式。 如果有必要的话，把每个方程重写一下，使y单独在等式的一边。
- 例如： 求出 和 的交点。
- 用y表示二次方程：
- 和 。
- 本例中有一个二次方程和一个线性方程。两个二次方程的问题可以用类似的方法求解。
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结合两个方程来消去y，两个方程左侧都为y时，你就知道两个方程的右侧是相等的。
- 例如： ，
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把新方程整理一下，让一边等于0。 使用标准的代数方法把所有的项都移到一边。这样问题就解决了，我们可以在下一步中解决这个问题。
- 例如：
- 两边同时减去x：
- 两边同时减去7：
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解二次方程 。 当你让等式一边等于0，有三种方法可以解一个二次方程。不同人会觉得不同方法会更简单。你可以阅读二次方程式，或者 “给二次方程式配方” ，或者按照这个 因式分解 方法例子：
- 例如：
- 因式分解的目的是找出两个因子相乘得到这个方程。从第一项开始，我们可以将 分为x乘以x。写成(x )(x ) = 0。
- 最后一项为-6。列出每一对相乘为- 6的因子： 、 、 和 。
- 中间项为x（你可以写成1x）。把每对因子相加，直到得到1为止。正确的因子对为 ，因为 。
- 用这对因子来填在空白处： 。
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留意x的两个解。 如果你算得太快，你可能只找到了一个解，却没有意识到还有第二个解。下面是如何找到这两条线相交于两点的两个x值：
- 例如 （因式分解）：我们得到方程 。如果括号中的任意一个因式为0，则这个方程为真。一个解为 → 。另一个解为 → 。
- 例如 （二次方程或完成平方）：如果你用这些方法来解方程，就会出现平方根。例如，这个方程变成 。记住，一个平方根可以简化成两个不同的解： ， 以及 。写出两个方程，每个对应一种可能性，然后分别解出x。
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求出一个或零个解。 两条几乎没有相交的线只有一个交点，而两条完全不相交的线则没有交点。以下是如何求出这些解：
- 1个解：方程分解成两个相同的因式((x-1)(x-1) = 0)。当代入二次方程时，平方根项是 。你只需要解一个方程。
- 无实数解：没有满足要求的因子（对中间项求和）。代入二次方程，得到根号下的负数（例如 ）。答案为“无实数解”。
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把x值代回原方程。 求出交点的x值后，把它代回开始时的方程。解出y，求出y值。如果有第二个x值，也重复这个操作。
- 例如： 我们求出两个解， ， 。其中一条直线的方程为 。带入x： ， ，然后解出每个方程，得到 ， 。
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写出交点坐标。 现在把答案写成坐标形式，用交点的x值和y值表示。如果你有两个答案，确保匹配正确的x值和y值。
- 例如： 当我们带入 ，可以得到 ，所以一个交点为 (2, 9) 。用同样的方法求出第二个解得出另一个交点为 (-3, 4) 。
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小提示
- 圆或椭圆的方程有一个 项 和 一个 项。要想求圆与直线的交点，需要解线性方程中的x。 [4] X 研究来源 把x的解代入圆方程，你会得到一个更简单的二次方程。这个方程可能有0个、1个或2个解，如上面的方法所述。
- 一个圆和一个抛物线（或其他二次型）可能有0、1、2、3或4个解。在两个方程中找出平方的变量——假设它是x 2 。求出 ，并带入另一个方程中的 。求解y，得到0、1、或2个解。把每个解代入原来的二次方程，解出x，每个方程都可能有0、1或2个解。
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参考
- ↑ https://science.jrank.org/pages/3019/Geometry-Points-lines-planes.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/circle-equations.html
- ↑ http://www.mathwarehouse.com/ellipse/equation-of-ellipse.php
- ↑ https://www.analyzemath.com/CircleEq/circle_line_intersection.html
- http://zonalandeducation.com/mmts/intersections/intersectionOfTwoLines1/intersectionOfTwoLines1.html
- http://www.bbc.co.uk/bitesize/higher/maths/geometry/the_straight_line2/revision/1/
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