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速度就是物体朝着指定方向运行的快慢。一般来说,要找出速度,就把距离除以时间即可,不过这样只是平均速度的计算过程。运用微积分方法就可以找出物体在某个时间点的瞬时速度。

方法 1
方法 1 的 2:

计算瞬时速度

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  1. 物体可以以匀速运动,即全程以相同速度运行,比如一个运动员以恒定的速度跑完一个足球场的宽度。物体也可以做变速运动。比如一个车在弯曲的道路上前进,就会在拐弯的地方减速,在直道的地方加速。
    • 瞬时速度是用来衡量物体在某个瞬间的速度。比如一个火箭发射后1秒钟的速度远低于30秒钟后在空中的速度,因为火箭这过程中不断加速。
  2. 要计算瞬时速度需要经常碰到下列量:
    • 位移 = s
      • 位移就是物体运动的距离,一般用米来表示
    • 时间= t
    • 速度= v
      • 速度就是某个方向的运动快慢。要计算瞬时速度,我们先要找出这个时间点t (时间),速度一般的单位是 (m/s)
    • 斜率 (或“梯度”) = m
      • 本方法中用这个量可以在简单xy轴平面图上表示出物体运动过程,x轴是时间,y轴是位移,因此曲线的斜率就是时间。
  3. 我们假设一个物体的位移和时间的函数关系如下:位移 (s) = 3t 2 + 4t + 7 ,在x-y轴上作图,x轴是时间,y轴是位移,得到一个曲线图。
    • 在某一时间 (t) 的速度 (v) 就等于该点曲线斜率 (变化量)。
  4. 方程的导数值相当于该点曲线的斜率值。你可以用以下公式来求导:
    • 通用求导公式: 若函数形式为 y = a*x n ,则导数 = a*n*x n-1 ,本公式适用所有多项式的项的求导。常数项,或不带变量的量,或在上述例子中的"+7" ,就会因为乘以0而消掉。
  5. 现在有 y = 3x 2 + 4x + 7 ,求导得到导数= (3*2)*x (2-1) +(4*1)*x (1-1) +(7*0)*x (0-1)
  6. 把所有括号里的项化简得到:6x 1 + 4x 0 + 0x -1
  7. 可以写成 6x + 4 , "0x -1 " 这项简化为 0, "4x 0 " 这项为 4 (n 0 = 1) [1]
  8. 这个式子代表 (y = 3x 2 + 4x + 7) 的斜率函数,可以求出每个x值(时间)对应的斜率。这个斜率就是物体该时间的瞬时速度了。
  9. 你只要把4代入斜率式即可。得到 y = 6(4) + 4 ,得到 28 ,因此 t=4 时的瞬时速度为 28 m/s
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方法 2
方法 2 的 2:

了解求导过程

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  1. 要理解计算瞬时速度的过程,最好画个图,很有用。y轴代表位移,x轴代表时间。
    • 图像可以延伸到x轴下方,若延伸到x轴下方,则代表往反方向运动。一般我们不会画延伸到y轴左边的图,我们不测量物体“时间倒退”的运动!
    • 如果你不确定如何画曲线图,查查如何画。
  2. 斜率就代表y的变化量除以x的变化量的商。所以如 Y是位移, X是时间,则斜率就是y的变化量除以x的变化量得到的商,也就是速度。
    • 要计算瞬时速度,要找到该点的曲线斜率。
  3. Q和P之间只有一小段距离,我们例子中假设 P 是x=1, Q是 x=3
  4. 你可以用(P、Q纵坐标之差)/(P、Q横坐标之差)得到斜率,我们假设P、Q横坐标之差为H,这里 H=3-1=2
  5. 或者让Q尽可能接近P点,同时计算斜率。多试几次,每次都让H减少一定量,多算几次以后你就会发现斜率接近一个固定值。只要H>0,斜率永远不可能等于这个值。我们就说斜率接近极限值。
    • H趋向0的时候斜率接近的值就是极限值。这个值等于该点曲线的切线斜率。切线就是无限接近曲线的平行线,切线斜率因此就是H无限趋近于0时,求得的斜率。
    • 要找出切线斜率,就找出位移函数的导数函数,第一步有讲到。
  6. 通过重新整理函数,用 " x N 导数是 = N*x N-1 "这个规律来求导多项式的每一项,就可以得到导数式了。
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小提示

  • 位移类似距离,但是有一定方向,因此位移是矢量,速率是标量。当往反方向运动的时候,位移可以是负的。
  • Y (位移)和 X (时间)的函数关系,可以很简单,如 Y= 6x + 3 ,这样斜率就是固定的,就不用求导了。 以Y = mx + b 的格式求导得到斜率为 6。
  • 要找出加速度(速度随着时间的变化量),用方法一找出斜率式,即速度,然后对斜率式再求导,得到加速度和时间的关系式。代入时间即可求得加速度。
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