Como Encontrar as Equações das Assíntotas de uma Hipérbole

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Coescrito por Grace Imson, MA

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As assíntotas de uma hipérbole sãs as linhas que passam pelo seu centro. A hipérbole chega bem próxima das assíntotas, mas nunca as alcança. Existem duas abordagens diferentes para calcular as assíntotas. Aprenda a usar ambas para compreender melhor esse conceito.

Método 1
Método 1 de 2:

Fatorando

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    Vamos começar com um exemplo simples: uma hipérbole com o centro de sua origem. Para essas hipérboles, a forma padrão da equação é x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1 para as hipérboles horizontais ou y 2 / b 2 - x 2 / a 2 = 1 para as hipérboles verticais. [1] Lembre-se de que x e y são variáveis, enquanto a e b são constantes (números ordinários).
    • Exemplo 1: x 2 / 9 - y 2 / 16 = 1
    • Alguns livros didáticos e professores alteram as posições de a e b nessas equações. [2] Siga a equação atentamente para entender o que está acontecendo. Se apenas memorizar as equações, você não estará preparado para lidar com uma noção diferente.
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/0b\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-2-Version-4.jpg\/v4-460px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-2-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/0\/0b\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-2-Version-4.jpg\/v4-728px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-2-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Essa nova equação representa ambas as assíntotas, embora seja necessário um pouco mais de trabalho para separá-las. [3]
    • Exemplo 1: x 2 / 9 - y 2 / 16 = 0
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/d4\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-3-Version-4.jpg\/v4-460px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-3-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/d4\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-3-Version-4.jpg\/v4-728px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-3-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Fatore o lado esquerdo da equação em dois produtos. Se precisar refrescar sua memória sobre como realizar a fatoração, [Fatorar Equações Algébricas clique aqui], ou continue acompanhando o Exemplo 1:
    • Terminaremos com uma equação na forma (__ ± __)(__ ± __) = 0.
    • Os dois primeiros termos precisam ser multiplicados para formar x 2 / 9 , então calcule a raiz quadrada e escreva-a nesses espaços: ( x / 3 ± __)( x / 3 ± __) = 0
    • De forma parecida, calcule a raiz quadrada de y 2 / 16 e coloque-a nos dois espaços restantes: ( x / 3 ± y / 4 )( x / 3 ± y / 4 ) = 0
    • Como não existem outros termos, escreva um sinal de soma e um de subtração para que os outros termos sejam cancelados quando forem multiplicados: ( x / 3 + y / 4 )( x / 3 - y / 4 ) = 0
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    Para montar a equações das assíntotas, separa os dois fatores e encontre os valores dos termos de y .
    • Exemplo 1: Como ( x / 3 + y / 4 )( x / 3 - y / 4 ) = 0 , sabemos que x / 3 + y / 4 = 0 e x / 3 - y / 4 = 0
    • Reescreva x / 3 + y / 4 = 0 → y / 4 = - x / 3 → y = - 4x / 3
    • Reescreva x / 3 - y / 4 = 0 → - y / 4 = - x / 3 → y = 4x / 3
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    Acabamos de encontrar as assíntotas para uma hipérbole centrada na origem. Uma hipérboles com o centro em (h,k) tem uma equação na forma (x - h) 2 / a 2 - (y - k) 2 / b 2 = 1 ou na forma (y - k) 2 / b 2 - (x - h) 2 / a 2 = 1 . Você pode resolvê-las exatamente com o mesmo método de fatoração descrito acima. Baste deixar os termos (x - h) e (y - k) intactos até o último passo.
    • Exemplo 2 : (x - 3) 2 / 4 - (y + 1) 2 / 25 = 1
    • Defina a equação igual a zero e fatore-a para obter:
    • ( (x - 3) / 2 + (y + 1) / 5 )( (x - 3) / 2 - (y + 1) / 5 ) = 0
    • Separe cada fator e resolva a conta até encontrar a equações das assíntotas:
    • (x - 3) / 2 + (y + 1) / 5 = 0 → y = - 5 / 2 x + 13 / 2
    • ( (x - 3) / 2 - (y + 1) / 5 ) = 0 → y = 5 / 2 x - 17 / 2
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Método 2
Método 2 de 2:

Encontrando o valor de y

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    Este método é útil caso você tenha uma equação que esteja na forma quadrada. Mesmo que ela esteja na forma padrão para hipérboles, essa abordagem pode lhe dar uma maior visão sobre a natureza das assíntotas. Reorganize a equação para que os termos y 2 ou (y - k) 2 fiquem em um lado para começar.
    • Exemplo 3: (y + 2) 2 / 16 - (x + 3) 2 / 4 = 1
    • Some os termos x em ambos os lados, depois multiplique cada lado por 16:
    • (y + 2) 2 = 16(1 + (x + 3) 2 / 4 )
    • Simplifique:
    • (y + 2) 2 = 16 + 4(x + 3) 2
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    Calcule a raiz quadrada, mas ainda não tente simplificar o lado direito. Lembre-se de que, ao calcular a raiz quadrada, existem duas soluções possíveis: uma positiva e outra negativa. Por exemplo: -2 * -2 = 4, então √4 pode ser igual a -2 ou 2.) Use o sinal de mais ou menos "±" para indicar ambas as soluções.
    • √((y + 2) 2 ) = √(16 + 4(x + 3) 2 )
    • (y+2) = ± √(16 + 4(x + 3) 2 )
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/b\/b3\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-8-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-8-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/b\/b3\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-8-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-8-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    É importante que você entenda isso antes de continuar com o próximo passo. A assíntota de uma hipérbole é uma linha na qual a hipérbole chega cada vez mais perto ao passo em que o valor de x aumenta. O x na verdade pode atingir a assíntota, mas se seguirmos a hipérbole por valores maiores de x , chegaremos cada vez mais perto da assíntota.
  4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/fb\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-9-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-9-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/f\/fb\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-9-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-9-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Como estamos tentando encontrar a equação da assíntota, o valor de x só nos interessa se tiver valores grandes ("aproximando do infinito"). Isso nos permite ignorar algumas constantes na equação, pois elas contribuem com uma parte muito pequena em relação ao termo x . Quando o x estiver em 99 bilhões (por exemplo), somar o número 3 a ele é tão pequeno que podemos ignorá-lo.
    • Na equação (y+2) = ± √(16 + 4(x + 3) 2 ) , ao passo em que x se aproxima do infinito, então 16 se torna irrelevante.
    • (y+2) = aproximadamente ± √(4(x + 3) 2 ) para grandes valores de x .
  5. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/dd\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-10-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-10-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/dd\/Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-10-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Equations-of-the-Asymptotes-of-a-Hyperbola-Step-10-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Agora que você se livrou da constante, basta simplificar a raiz quadrada. Calcule os temos de y para obter a resposta. Lembre-se de dividir o símbolo ± em duas equações separadas, uma com o sinal de "+" e a outra com sinal de "-".
    • y + 2 = ±√(4(x+3)^2)
    • y + 2 = ±2(x+3)
    • y + 2 = 2x + 6 e y + 2 = -2x - 6
    • y = 2x + 4 e y = -2x - 8
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Dicas

  • Nunca se esqueça de que uma equação de hipérbole e seu par de assíntotas sempre difere por uma constante.
  • Uma hipérbole retangular é aquela onde a=b=constante=c.
  • Ao lidar com elas, primeiramente é preciso convertê-la à sua forma padrão, e depois encontrar as assíntotas.
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Avisos

  • Lembre-se de sempre colocar as equações em sua forma padrão.
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Referências

  1. ↑ http://www.purplemath.com/modules/hyperbola.htm
  2. ↑ https://www.khanacademy.org/math/algebra2/conics_precalc/hyperbolas-precalc/
  3. ↑ https://books.google.com/books?id=MBAwrjc3gqMC&sitesec=buy&source=gbs_vpt_read

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