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As assíntotas de uma hipérbole sãs as linhas que passam pelo seu centro. A hipérbole chega bem próxima das assíntotas, mas nunca as alcança. Existem duas abordagens diferentes para calcular as assíntotas. Aprenda a usar ambas para compreender melhor esse conceito.

Método 1
Método 1 de 2:

Fatorando

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  1. Vamos começar com um exemplo simples: uma hipérbole com o centro de sua origem. Para essas hipérboles, a forma padrão da equação é x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1 para as hipérboles horizontais ou y 2 / b 2 - x 2 / a 2 = 1 para as hipérboles verticais. [1] Lembre-se de que x e y são variáveis, enquanto a e b são constantes (números ordinários).
    • Exemplo 1: x 2 / 9 - y 2 / 16 = 1
    • Alguns livros didáticos e professores alteram as posições de a e b nessas equações. [2] Siga a equação atentamente para entender o que está acontecendo. Se apenas memorizar as equações, você não estará preparado para lidar com uma noção diferente.
  2. Essa nova equação representa ambas as assíntotas, embora seja necessário um pouco mais de trabalho para separá-las. [3]
    • Exemplo 1: x 2 / 9 - y 2 / 16 = 0
  3. Fatore o lado esquerdo da equação em dois produtos. Se precisar refrescar sua memória sobre como realizar a fatoração, [Fatorar Equações Algébricas clique aqui], ou continue acompanhando o Exemplo 1:
    • Terminaremos com uma equação na forma (__ ± __)(__ ± __) = 0.
    • Os dois primeiros termos precisam ser multiplicados para formar x 2 / 9 , então calcule a raiz quadrada e escreva-a nesses espaços: ( x / 3 ± __)( x / 3 ± __) = 0
    • De forma parecida, calcule a raiz quadrada de y 2 / 16 e coloque-a nos dois espaços restantes: ( x / 3 ± y / 4 )( x / 3 ± y / 4 ) = 0
    • Como não existem outros termos, escreva um sinal de soma e um de subtração para que os outros termos sejam cancelados quando forem multiplicados: ( x / 3 + y / 4 )( x / 3 - y / 4 ) = 0
  4. Para montar a equações das assíntotas, separa os dois fatores e encontre os valores dos termos de y .
    • Exemplo 1: Como ( x / 3 + y / 4 )( x / 3 - y / 4 ) = 0 , sabemos que x / 3 + y / 4 = 0 e x / 3 - y / 4 = 0
    • Reescreva x / 3 + y / 4 = 0 y / 4 = - x / 3 y = - 4x / 3
    • Reescreva x / 3 - y / 4 = 0 - y / 4 = - x / 3 y = 4x / 3
  5. Acabamos de encontrar as assíntotas para uma hipérbole centrada na origem. Uma hipérboles com o centro em (h,k) tem uma equação na forma (x - h) 2 / a 2 - (y - k) 2 / b 2 = 1 ou na forma (y - k) 2 / b 2 - (x - h) 2 / a 2 = 1 . Você pode resolvê-las exatamente com o mesmo método de fatoração descrito acima. Baste deixar os termos (x - h) e (y - k) intactos até o último passo.
    • Exemplo 2 : (x - 3) 2 / 4 - (y + 1) 2 / 25 = 1
    • Defina a equação igual a zero e fatore-a para obter:
    • ( (x - 3) / 2 + (y + 1) / 5 )( (x - 3) / 2 - (y + 1) / 5 ) = 0
    • Separe cada fator e resolva a conta até encontrar a equações das assíntotas:
    • (x - 3) / 2 + (y + 1) / 5 = 0 → y = - 5 / 2 x + 13 / 2
    • ( (x - 3) / 2 - (y + 1) / 5 ) = 0 → y = 5 / 2 x - 17 / 2
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Método 2
Método 2 de 2:

Encontrando o valor de y

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  1. Este método é útil caso você tenha uma equação que esteja na forma quadrada. Mesmo que ela esteja na forma padrão para hipérboles, essa abordagem pode lhe dar uma maior visão sobre a natureza das assíntotas. Reorganize a equação para que os termos y 2 ou (y - k) 2 fiquem em um lado para começar.
    • Exemplo 3: (y + 2) 2 / 16 - (x + 3) 2 / 4 = 1
    • Some os termos x em ambos os lados, depois multiplique cada lado por 16:
    • (y + 2) 2 = 16(1 + (x + 3) 2 / 4 )
    • Simplifique:
    • (y + 2) 2 = 16 + 4(x + 3) 2
  2. Calcule a raiz quadrada, mas ainda não tente simplificar o lado direito. Lembre-se de que, ao calcular a raiz quadrada, existem duas soluções possíveis: uma positiva e outra negativa. Por exemplo: -2 * -2 = 4, então √4 pode ser igual a -2 ou 2.) Use o sinal de mais ou menos "±" para indicar ambas as soluções.
    • √((y + 2) 2 ) = √(16 + 4(x + 3) 2 )
    • (y+2) = ± √(16 + 4(x + 3) 2 )
  3. É importante que você entenda isso antes de continuar com o próximo passo. A assíntota de uma hipérbole é uma linha na qual a hipérbole chega cada vez mais perto ao passo em que o valor de x aumenta. O x na verdade pode atingir a assíntota, mas se seguirmos a hipérbole por valores maiores de x , chegaremos cada vez mais perto da assíntota.
  4. Como estamos tentando encontrar a equação da assíntota, o valor de x só nos interessa se tiver valores grandes ("aproximando do infinito"). Isso nos permite ignorar algumas constantes na equação, pois elas contribuem com uma parte muito pequena em relação ao termo x . Quando o x estiver em 99 bilhões (por exemplo), somar o número 3 a ele é tão pequeno que podemos ignorá-lo.
    • Na equação (y+2) = ± √(16 + 4(x + 3) 2 ) , ao passo em que x se aproxima do infinito, então 16 se torna irrelevante.
    • (y+2) = aproximadamente ± √(4(x + 3) 2 ) para grandes valores de x .
  5. Agora que você se livrou da constante, basta simplificar a raiz quadrada. Calcule os temos de y para obter a resposta. Lembre-se de dividir o símbolo ± em duas equações separadas, uma com o sinal de "+" e a outra com sinal de "-".
    • y + 2 = ±√(4(x+3)^2)
    • y + 2 = ±2(x+3)
    • y + 2 = 2x + 6 e y + 2 = -2x - 6
    • y = 2x + 4 e y = -2x - 8
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Dicas

  • Nunca se esqueça de que uma equação de hipérbole e seu par de assíntotas sempre difere por uma constante.
  • Uma hipérbole retangular é aquela onde a=b=constante=c.
  • Ao lidar com elas, primeiramente é preciso convertê-la à sua forma padrão, e depois encontrar as assíntotas.
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Avisos

  • Lembre-se de sempre colocar as equações em sua forma padrão.
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