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Die Berechnung des Flächeninhalts von einem Vieleck kann sehr einfach oder auch äußerst kompliziert sein, je nachdem, ob es sich bei der Figur um ein regelmäßiges Dreieck oder unregelmäßiges Elfeck handelt. Falls du erfahren möchtest, wie du den Flächeninhalt für eine Vielzahl an Vielecken herausfinden kannst, folge einfach diesen Schritten.
Vorgehensweise
Teil 1
Teil 1 von 3:
Den Flächeninhalt regelmäßiger Vielecke mit Hilfe ihrer Apothema bestimmen
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Notiere dir die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts von regelmäßigen Vielecken auf. Um die Fläche eines regelmäßigen Vielecks zu bestimmen, musst du nur dieser einfachen Formel folgen: Fläche=1/2* Umfang * Apothema.
- Umfang = die Summe aller Seitenlängen
- Apothema = eine senkrecht verlaufende Gerade, die den Mittelpunkt des Vielecks mit dem Mittelpunkt einer Seite verbindet.
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Bestimme die Länge des Apothemas. Wenn du diese Methode benutzen sollst, wird die Länge des Apothemas oft vorgegeben. Nehmen wir für unser Beispiel an, dass wir ein Sechseck vorgegeben haben, das ein Apothema mit der Länge 10√3 besitzt.
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Bestimme den Umfang des Vielecks. Falls der Umfang vorgegeben ist, bist du fast fertig. Aber wahrscheinlich musst du doch noch ein bisschen mehr tun. Wenn die Länge des Apothemas vorgegeben ist und du weißt, dass es sich um ein regelmäßiges Vieleck handelt, kannst du damit den Umfang berechnen. Folgendermaßen musst du vorgehen:
- Betrachte das Apothema als die "x√3"-Seite eines Dreiecks mit den Innenwinkel 30°,60° und 90°. Das funktioniert deshalb, weil das Sechseck aus sechs gleichseitigen Dreiecken besteht. Das Apothema schneidet eines davon in der Mitte durch und erzeugt damit ein Dreieck mit den Innenwinkeln 30°, 60° und 90°.
- Du weißt, dass die Seite, die dem 60-Grad-Winkel gegenüberliegt, die Länge x√3, die dem 30-Grad-Winkel gegenüberliegt, die Länge x und die dem 90-Grad-Winkel gegenüberliegt, die Länge 2x hat. Wenn 10√3 hier "x√3" darstellt, dann entspricht x = 10.
- Du weißt, dass x die halbe Länge der Grundseite des Dreiecks ist. Verdopple diesen Wert, um die Gesamtlänge zu erhalten. Die Grundseite des Dreiecks ist 20 Einheiten lang. Das Sechseck hat sechs solcher Seiten, also musst du 20 * 6 rechnen und erhältst 120 als Umfang des Sechsecks.
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Setze die Länge des Umfangs und des Apothemas in die Formel ein. Wenn du die Formel Fläche = 1/2 * Umfang * Apothema benutzt, kannst du 120 für den Umfang und 10√3 für das Apothema einsetzen. So sieht der Rechenweg aus:
- Flächeninhalt = 1/2 x 120 x 10√3
- Flächeninhalt = 60 x 10√3
- Flächeninhalt = 600√3
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Vereinfache dein Ergebnis. Eventuell musst du dein Ergebnis als Dezimalzahl statt als Wurzel angeben. Benutze deinen Taschenrechner, um einen Näherungswert für √3 zu finden und multipliziere diesen mit 600. √3 * 600 = 1039,2 . Damit hast du dein Endergebnis.Werbeanzeige
Teil 2
Teil 2 von 3:
Die Fläche eines regelmäßigen Vielecks mit Hilfe anderer Formeln bestimmen
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Bestimme den Flächeninhalt eines regelmäßigen Dreiecks. Wenn du die Fläche eines regelmäßigen Dreiecks bestimmen willst, brauchst du nur folgende Formel: Fläche = 1/2 * Grundseite * Höhe.
- Falls du ein Dreieck mit einer Grundseitenlänge von 10 Einheiten und einer Höhe von 8 Einheiten gegeben hast, dann ist die Fläche = 1/2 x 8 x 10, also 40 Einheiten.
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Bestimme den Flächeninhalt eines Quadrates. Um die Fläche eines Quadrates zu bestimmen, setze einfach die Länge einer Seite ins Quadrat. Das ist im Grunde das Gleiche, wie die Grundseitenlänge mit der Höhe zu multiplizieren, da die Grundseite und die Höhe die identische Länge haben.
- Wenn das Quadrat die Seitenlänge 6 hat, kannst du den Flächeninhalt berechnen mit: 6 x 6 = 36.
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Bestimme den Flächeninhalt eines Rechteckes. Um die Fläche eines Rechteckes zu bestimmen, multipliziere einfach die Grundseitenlänge mit der Höhe.
- Wenn die Grundseite des Rechtecks 4 Einheiten lang ist und die Höhe 3 Einheiten, kannst du die Fläche des Rechtecks berechnen mit: 4 x 3 = 12.
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Bestimme den Flächeninhalt von einem Trapez. Um die Fläche eines Trapezes zu ermitteln, benutze einfach die folgende Formel: Fläche = [(Grundseite 1 + Grundseite 2) x Höhe] / 2.
- Angenommen, du hast ein Trapez mit Grundseiten der Länge 6 und 8 sowie eine Höhe mit der Länge 10 gegeben. Der Flächeninhalt lässt sich berechnen mit:
[(6 + 8) * 10] / 2 = 70.
Werbeanzeige - Angenommen, du hast ein Trapez mit Grundseiten der Länge 6 und 8 sowie eine Höhe mit der Länge 10 gegeben. Der Flächeninhalt lässt sich berechnen mit:
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Schreibe die Koordinaten der Eckpunkte des unregelmäßigen Vielecks auf. Der Flächeninhalt eines unregelmäßigen Vielecks lässt sich bestimmen, wenn du die Koordinaten der Eckpunkte kennst.
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Erzeuge eine Koordinatenliste. Notiere die x- und y-Koordinaten für jeden Eckpunkt entgegen dem Uhrzeigersinn. Wiederhole die Koordinate des ersten Eckpunkts am Ende der Liste.
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Multipliziere die x-Koordinate jeder Ecke mit der y-Koordinate des nächsten Eckpunkts. Addiere die Ergebnisse. In unserem Beispiel erhalten wir als Endsumme 82.
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Multipliziere die y-Koordinate jeder Ecke mit der x-Koordinate der nächsten Ecke. Addiere erneut die Ergebnisse. Die endgültige Summe beträgt in unserem Beispiel -38.
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Subtrahiere die zweite Summe von der ersten Summe. Subtrahiere -38 von 82 und du erhältst 120.
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Teile das Ergebnis durch 2, um den Flächeninhalt des Vielecks zu erhalten. Rechne einfach 120 geteilt durch 2 und du erhältst 60 als deinen gesuchten Flächeninhalt. Damit hast du es geschafft.Werbeanzeige
Tipps
- Wenn du die Punkte im Uhrzeigersinn anstatt gegen den Uhrzeigersinn aufführst, erhältst du einen negativen Wert als Flächeninhalt. Somit kannst du diese Methode als Werkzeug verwenden, um den zyklischen Pfad bzw. die Sequenz von gegebenen Punkte, die das Vieleck bilden, zu identifizieren.
- Diese Formel berechnet die Fläche mit Ausrichtung. Wenn du sie für einen Körper verwendest, bei dem sich zwei Linien in Form einer Acht überschneiden, bekommst du die Fläche, die gegen den Uhrzeigersinn umschlossen wird, abzüglich der Fläche, die im Uhrzeigersinn umschlossen wird.
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