Cómo derivar funciones exponenciales

Las funciones exponenciales son una categoría especial de funciones en la cual el exponente es una variable o una función. Siguiendo algunas reglas básicas del cálculo puedes empezar a encontrar la derivada de funciones básicas como $a^{x}$ . Estas reglas te proporcionarán un método para poder derivar cualquier base numérica elevada a un exponente variable. A medida que vayas avanzando, podrás encontrar también la derivada de funciones donde el exponente en sí es una función. Por último, verás cómo derivar lo que en inglés se conoce como "power tower" (algo así como "torre de potencia"), una función especial en la cual el exponente es igual a la base.

Parte 1

Parte 1 de 4:

Derivar funciones exponenciales en general

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1
Comienza con una función exponencial general. Comienza con una función exponencial básica utilizando como base una variable. Al calcular de este modo la derivada de la función general, la solución te servirá como modelo para toda una variedad de funciones similares. ^{[1]
X
Fuente de investigación}
- $y=a^{x}$
2
Aplica el logaritmo natural de ambos lados. Es necesario manipular la función de modo que puedas encontrar la derivada estándar en términos de la variable $x$ . El primer paso es aplicar el logaritmo natural en ambos lados como se muestra a continuación:
- $\ln y=\ln a^{x}$
3
Elimina el exponente. Esta ecuación se puede simplificar para eliminar el exponente aplicando las reglas de los logaritmos. El exponente que está dentro de la función logarítmica se puede eliminar colocándolo como múltiplo delante del logaritmo de la siguiente manera:
- $\ln y=x\ln a$
4
Deriva en ambos lados y simplifica. El siguiente paso es derivar ambos lados respecto de $x$ . Dado que $a$ es una constante, entonces $\ln a$ será también una constante. La derivada de $x$ se simplifica en 1 y el término desaparece. Estos son los pasos a seguir:
- $\ln y=x\ln a$
- ${\frac {d}{dx}}\ln y={\frac {d}{dx}}x\ln a$
- ${\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}=\ln a{\frac {d}{dx}}x$
- ${\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}=\ln a*1$
- ${\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}=\ln a$
5
Simplifica para resolver y obtener la derivada. Multiplica ambos lados por $y$ . Multiplica ambos lados por $y$ para dejar la derivada aislada. Aplicando operaciones algebraicas básicas, multiplica ambos lados de la ecuación por $y$ . Así quedará aislada la derivada de $y$ en el lado izquierdo de la ecuación. Luego recuerda que $y=a^{x}$ , por lo que deberás sustituir ese valor en el lado derecho de la ecuación. Estos son los pasos a seguir:
- ${\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}=\ln a$
- ${\frac {dy}{dx}}=y\ln a$
- ${\frac {dy}{dx}}=a^{x}\ln a$
6
Interpreta el resultado final. Teniendo en cuenta que la función original era la función exponencial $y=a^{x}$ , esta solución muestra que la derivada de una función exponencial general es $a^{x}\ln a$ .
- Esto se puede extender a cualquier valor de $a$ , tal como se muestra en los siguientes ejemplos:
  - ${\frac {d}{dx}}2^{x}=2^{x}\ln 2$
  - ${\frac {d}{dx}}3^{x}=3^{x}\ln 3$
  - ${\frac {d}{dx}}10^{x}=10^{x}\ln 10$
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Parte 2

Parte 2 de 4:

Extender la prueba para la encontrar la derivada de e ^x

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1
Selecciona un caso especial. En la sección anterior se explicó cómo derivar casos generales de una función exponencial con cualquier constante como base. A continuación se analizará un caso especial en el que la base es la constante exponencial $e$ . ^{[2]
X
Fuente de investigación}
- $e$ es una constante matemática que equivale aproximadamente a 2,718.
- En esta sección se trabajará con la función especial $y=e^{x}$ .
2
Utiliza la prueba de la derivada de una función exponencial general. Recuerda que, tal como se explicó en la sección anterior, la derivada de una función exponencial general $a^{x}$ es $a^{x}\ln a$ . Aplica este resultado a la función especial $e^{x}$ de la siguiente manera:: ^{[3]
X
Fuente de investigación}
- $y=e^{x}$
- ${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}e^{x}$
- ${\frac {dy}{dx}}=e^{x}\ln e$
3
Simplifica el resultado. Recuerda que el logaritmo natural se basa en la constante especial $e$ . Por lo tanto, el logaritmo natural de $e$ es simplemente 1. Esto simplifica el resultado de la derivada tal como se muestra a continuación: ^{[4]
X
Fuente de investigación}
- ${\frac {dy}{dx}}=e^{x}\ln e$
- ${\frac {dy}{dx}}=e^{x}*1$
- ${\frac {dy}{dx}}=e^{x}$
4
Interpreta el resultado final. Esta prueba permite concluir que, para el caso especial de la función $e^{x}$ , su derivada es igual a esa misma función. Por lo tanto: ^{[5]
X
Fuente de investigación}
- ${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$
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Parte 3

Parte 3 de 4:

Encontrar la derivada de e con un exponente funcional

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1
Define la función. En este ejemplo verás cómo encontrar la derivada general de funciones que tienen el número $e$ elevado a un exponente, siendo el exponente una función de $x$ . ^{[6]
X
Fuente de investigación}
- Supón que, por ejemplo, tienes la función $y=e^{2x+3}$ .
2
Define la variable $u$ . Para encontrar esta solución es necesario aplicar la regla de la cadena de la derivada. Recuerda que la regla de la cadena se puede aplicar cuando tienes una función $u(x)$ anidada dentro de otra, $f(x)$ , como en este caso. Esta regla establece lo siguiente: ^{[7]
X
Fuente de investigación}
- ${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}*{\frac {du}{dx}}$
- En resumen, deberás definir el exponente como una función separada $u(x)$ .
- En este caso, el exponente es la función anidada $u(x)$ . Por lo tanto, para este caso en particular se cumple que:
  - $y=e^{u}$ ; y
  - $u=2x+3$
3
Aplica la regla de la cadena. Cuando usas la regla de la cadena debes encontrar la derivada de ambas funciones: $y$ y $u$ . La derivada final será el producto de las otras dos. ^{[8]
X
Fuente de investigación}
- Las dos derivadas separadas son:
  - ${\frac {dy}{du}}={\frac {d}{dx}}e^{u}=e^{u}$ (recuerda que la derivada de $e^{x}$ es $e^{x}$ ).
  - ${\frac {du}{dx}}={\frac {d}{dx}}(2x+3)=2$
- Después de encontrar las dos derivadas separadas, deberás combinarlas para encontrar la derivada de la función original:
- ${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}*{\frac {du}{dx}}$
  - ${\frac {d}{dx}}e^{2x+3}=e^{(2x+3)}*2=2e^{(2x+3)}$
4
Practica con otro ejemplo de $e$ elevado a un exponente funcional. Selecciona otro ejemplo como el siguiente: $y=e^{\sin x}$ . ^{[9]
X
Fuente de investigación}
- Define la función anidada. En este caso, $u=\sin x$ .
- Encuentra las derivadas de las funciones $y$ y $u$ .
  - ${\frac {dy}{du}}=e^{u}$
  - ${\frac {du}{dx}}=\cos x$
- Combínalas usando la regla de la cadena:
  - $y=e^{\sin x}$
  - ${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}*{\frac {du}{dx}}$
  - ${\frac {d}{dx}}e^{\sin x}=e^{u}*\cos x=e^{\sin x}\cos x$
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Parte 4

Parte 4 de 4:

Encontrar la derivada de x ^x

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1
Define la función. Este caso especial se conoce en inglés como "power tower". Elige una función tal que: ^{[10]
X
Fuente de investigación}
- $y=x^{x}$
2
Aplica el logaritmo natural en ambos lados. Tal como se explicó anteriormente, la solución en este caso se obtiene aplicando al principio el logaritmo natural en ambos lados de la ecuación: ^{[11]
X
Fuente de investigación}
- $\ln y=\ln(x^{x})$
- $\ln y=x\ln x$
3
Calcula la derivada en ambos lados de la ecuación. En el lado derecho de la ecuación deberás aplicar la regla del producto de las derivadas. Recuerda que la regla del producto establece que si $y=f(x)*g(x)$ , entonces $y^{\prime }=f*g^{\prime }+f^{\prime }*g$ . ^{[12]
X
Fuente de investigación}
- $\ln y=x\ln x$
- ${\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}=x*{\frac {1}{x}}+1*\ln x$
- ${\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}=1+\ln x$
4
Multiplica ambos lados por $y$ . Aísla el término de la derivada del lado derecho multiplicando ambos lados de la ecuación por $y$ . ^{[13]
X
Fuente de investigación}
- ${\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}=1+\ln x$
- ${\frac {dy}{dx}}=y*(1+\ln x)$
5
Reemplaza el valor original de $y$ . Si regresas al primer paso, verás que la función era $y=x^{x}$ . El paso final para encontrar la derivada es reemplazar la $y$ por el término que has obtenido. ^{[14]
X
Fuente de investigación}
- ${\frac {dy}{dx}}=y*(1+\ln x)$
- ${\frac {dy}{dx}}=x^{x}(1+\ln x)$
- ${\frac {d}{dx}}x^{x}=x^{x}+x^{x}\ln x$
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Consejos

Si no entiendes los logaritmos, sería bueno que leas este wikiHow .

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Cómo derivar funciones exponenciales

Pasos

Derivar funciones exponenciales en general

Extender la prueba para la encontrar la derivada de e ^x

Encontrar la derivada de e con un exponente funcional

Encontrar la derivada de x ^x

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