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Au collège et au lycée, il est crucial de maitriser l'algèbre pour pouvoir réussir dans tous les autres domaines des mathématiques. Toutefois, même les formules algébriques les plus basiques peuvent être compliquées à appréhender la première fois. Si vous avez du mal avec l'algèbre de base, ne vous inquiétez pas, avec quelques explications, quelques exemples simples et quelques conseils pour vous améliorer, vous saurez bientôt résoudre vos problèmes d'algèbre comme un(e) pro.
Étapes
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Revoyez les opérations mathématiques de base. Avant de commencer à apprendre l'algèbre, vous devez maitriser les opérations mathématiques classiques telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. Ces connaissances sont enseignées au niveau élémentaire et sont essentielles pour commencer à apprendre l'algèbre. Si vous ne maitrisez pas ces connaissances, il sera difficile d'appréhender des concepts plus complexes enseignés en algèbre. Si vous avez besoin de vous rafraichir la mémoire, lisez cet article sur les opérations mathématiques de base .
- Vous n'êtes pas obligé(e) de savoir faire de tête ces opérations mathématiques classiques pour savoir résoudre des problèmes d'algèbre. En cours d'algèbre, on vous autorisera souvent à utiliser une calculatrice afin de gagner du temps lorsque vous réaliserez ces opérations simples. Cependant, vous devriez au moins savoir comment effectuer ces opérations sans calculatrice pour les moments où celle-ci ne sera pas autorisée.
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Vous devez connaitre l'ordre des opérations. Souvent, lorsqu'on débute en algèbre et qu'on doit résoudre une équation algébrique, on ne sait pas par où commencer. Par chance, il existe un ordre spécifique à suivre pour résoudre ce type de problème : vous devez commencer par résoudre les opérations qui se trouvent entre parenthèses avant de résoudre les exposants, puis les multiplications, suivies des divisions, des additions et enfin des soustractions. Un outil pratique pour se rappeler de cet ordre est l'acronyme PEMDAS . Récapitulons l'ordre des opérations.
- P arenthèse(s)
- E xposant(s)
- M ultiplication(s)
- D ivision(s)
- A ddition(s)
- S oustraction(s)
- En algèbre, l'ordre des opérations est important, car si vous inversez cet ordre au moment de résoudre un problème d'algèbre, la réponse au problème s'en trouvera affectée. Par exemple, si nous devons résoudre le problème mathématique 8 + 2 × 5 et que nous commençons par additionner 2 et 8, nous obtiendrons alors 10 × 5 = 50 , alors que si nous avions commencé par multiplier 2 et 5, nous aurions obtenu 8 + 10 = 18 . Seule la seconde réponse est correcte.
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Apprenez à utiliser les nombres négatifs. En algèbre, il est fréquent d'utiliser les nombres négatifs. Il est donc important de revoir les additions, soustractions, multiplications et divisions de nombres négatifs avant de commencer à apprendre l'algèbre. Vous trouverez ci-dessous quelques nombres négatifs de base à retenir :
- sur un axe gradué, la version négative d'un nombre se situe à la même distance de zéro que la version positive, mais dans la direction opposée
- en additionnant deux nombres négatifs, vous obtiendrez un résultat encore plus négatif (en d'autres termes, le nombre sera plus élevé, mais comme il est négatif, la valeur sera inférieure)
- deux signes négatifs s'annulent, soustraire un nombre négatif revient à additionner un nombre positif
- en multipliant ou en divisant deux nombres négatifs, vous obtiendrez un résultat positif
- multiplier ou diviser un nombre positif et un nombre négatif donne un résultat négatif
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Apprenez à organiser vos calculs lorsque vous devez résoudre un problème long. Si les problèmes d'algèbre simples peuvent être résolus en un claquement de doigts, les problèmes plus compliqués peuvent nécessiter plus d'étapes. Pour éviter de faire des erreurs, restez organisé(e) en allant à la ligne chaque fois que vous passerez à l'étape suivante de la résolution de votre problème. Si vous devez résoudre une équation à deux côtés, essayez de faire en sorte que le signe égal de chaque étape soit aligné avec celui des lignes précédentes et suivantes. De cette façon, si vous faites une erreur quelque part, vous pourrez la retrouver et la corriger plus facilement.
- Par exemple, pour résoudre l'équation 9/3 - 5 + 3 × 4, nous pourrions organiser nos calculs de la façon suivante :
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- 9/3 - 5 + 3 × 4
- 9/3 - 5 + 12
- 3 - 5 + 12
- 3 + 7
- 10
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Publicité - Par exemple, pour résoudre l'équation 9/3 - 5 + 3 × 4, nous pourrions organiser nos calculs de la façon suivante :
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Cherchez les symboles qui ne sont pas des nombres. En algèbre, vous rencontrerez dans vos problèmes des lettres et des symboles en plus des nombres simples. Ce sont des variables. Les variables ne sont pas aussi compliquées qu'elles n'en ont l'air. Elles représentent simplement les nombres dont on ne connait pas la valeur. Vous trouverez ci-dessous quelques exemples simples de variables en algèbre :
- les lettres : x, y, z, a, b et c
- les lettres grecques : thêta ou θ
- notez que les symboles ne sont pas tous des variables inconnues. Par exemple, pi ou π, est toujours égal à ~3,14159
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Dites-vous que ces variables sont des nombres « inconnus ». Comme nous l'avons mentionné précédemment, les variables sont simplement des nombres dont la valeur est inconnue. En d'autres termes, il existe un nombre qui peut remplacer la variable afin que l'équation fonctionne. En général, l'objectif est de trouver quelle est cette variable — dites-vous qu'il s'agit d'un « nombre mystère » que vous devez découvrir.
- Par exemple, dans l'équation 2x + 3 = 11, x est la variable. Cela signifie qu'une certaine valeur doit remplacer x pour que le côté gauche de l'équation soit égal à 11. Puisque 2 × 4 + 3 = 11, dans ce cas, x = 4 .
- Une façon simple pour vous aider à comprendre ce que sont les variables est de les remplacer par des points d'interrogation dans les problèmes d'algèbre. Par exemple, nous pourrions réécrire l'équation 2 + 3 + x = 9 de la façon suivante : 2 + 3 + ? = 9. Il est ainsi plus facile de comprendre ce que nous essayons de faire avec cette équation, c'est-à-dire trouver le nombre à additionner à 2 + 3 = 5 pour obtenir 9. Bien sûr, la réponse est encore 4 .
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Si une variable apparait plus d'une fois, simplifiez les variables. Que faites-vous si la même variable apparait plus d'une fois au sein de l'équation ? Ce problème peut sembler compliqué à résoudre, mais en fait vous pouvez traiter les variables comme vous le feriez pour des nombres normaux, en d'autres termes, vous pouvez les additionner, les soustraire et ainsi de suite, à condition de ne combiner que les variables similaires. En d'autres termes, x + x = 2x, mais x + y n'est pas égal à 2xy.
- Par exemple, jetons un œil à l'équation suivante : 2x + 1x = 9. Dans cet exemple, nous pouvons additionner 2x et 1x pour obtenir 3x = 9. Puisque 3 x 3 = 9, nous savons que x = 3 .
- Encore une fois, seules les variables similaires peuvent s'additionner. Dans l'équation 2x + 1y = 9, nous ne pouvons pas additionner 2x et 1y, car il s'agit de deux variables différentes.
- C'est aussi valable lorsque les variables possèdent des exposants différents. Par exemple, dans l'équation 2x + 3x 2 = 10, nous ne pouvons pas combiner 2x et 3x 2, , car ces variables x ont des exposants différents.
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Partie 3
Partie 3 sur 5:
Apprendre à résoudre des équations « par annulation »
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Essayez d'isoler la variable au sein de l'équation algébrique. En algèbre, résoudre une équation signifie généralement trouver quelle est la variable. En général, les équations algébriques sont construites avec des nombres ou des variables placées des deux côtés du signe égal, comme ceci : x + 2 = 9 × 4. Pour trouver quelle est la variable, vous devez l'isoler d'un côté du signe égal. Quelle que soit l'expression restante de l'autre côté du signe égal, celle-ci constitue votre solution.
- Dans l'exemple (x + 2 = 9 × 4), pour isoler x du côté gauche de l'équation, nous devons nous débarrasser du « + 2 ». Pour ce faire, nous allons simplement soustraire 2 de ce côté de l'équation, ce qui nous laisse avec x = 9 × 4. Toutefois, pour que les deux côtés de l'équation restent égaux, nous avons aussi besoin de soustraire 2 de l'autre côté de l'équation. Cela nous laisse avec x = 9 × 4 - 2. En suivant l'ordre des opérations, nous devons d'abord multiplier, puis soustraire, ce qui nous donne un résultat de x = 36 - 2 = 34 .
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Annulez l'addition avec une soustraction (et vice versa). Comme nous venons de le voir ci-dessus, isoler x d'un côté du signe égal signifie généralement que vous devez vous débarrasser du nombre qui se trouve à côté de lui. Pour cela, nous réalisons l'opération « opposée » des deux côtés de l'équation. Par exemple, dans l'équation x + 3 = 0, puisque nous avons un « + 3 » à côté de la variable x, nous allons placer un « - 3 » des deux côtés. Les « + 3 » et « - 3 » s'annulent, laissant x tout seul et « -3 » de l'autre côté du signe égal, comme ceci : x = -3.
- En général, addition et soustraction sont « opposées », appliquez une de ces opérations pour vous débarrasser de l'autre. Voyez ci-dessous comment procéder :
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- Dans le cas d'une addition, faites une soustraction. Exemple : x + 9 = 3 → x = 3 - 9
- Dans le cas d'une soustraction, faites une addition. Exemple : x - 4 = 20 → x = 20 + 4
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- En général, addition et soustraction sont « opposées », appliquez une de ces opérations pour vous débarrasser de l'autre. Voyez ci-dessous comment procéder :
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Annulez la multiplication avec une division (et vice versa). La multiplication et la division sont un peu plus difficiles à appliquer que l'addition et la soustraction, mais il s'agit du même type de relation « opposée ». Si vous voyez un » × 3 » d'un côté de l'équation, vous pourrez l'annuler en divisant les deux côtés par 3 et ainsi de suite.
- Avec la multiplication et la division, vous devez réaliser l'opération opposée sur tout
ce qui se trouve de l'autre côté du signe égal, même s'il y a plus d'un nombre. Voyez ci-dessous :
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- dans le cas de la multiplication, effectuez une division. Exemple : 6x = 14 + 2→ x = (14 + 2) /6
- dans le cas d'une division, faites une multiplication. Exemple : x/5 = 25 → x = 25 × 5
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- Avec la multiplication et la division, vous devez réaliser l'opération opposée sur tout
ce qui se trouve de l'autre côté du signe égal, même s'il y a plus d'un nombre. Voyez ci-dessous :
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Annulez les exposants en prenant la racine (et vice versa). Les exposants constituent un sujet d'algèbre assez poussé. Si vous ne savez pas résoudre des exposants, vous trouverez des articles sur le sujet sur internet. L'"opposé » d'un exposant est une racine du même nombre que celui-ci. Par exemple, l'opposé de l'exposant 2 est la racine carrée (√), celui de l'exposant 3 est la racine cubique ( 3 √) et ainsi de suite.
- Cela peut sembler un peu déroutant, mais lorsque vous avez affaire à des exposants, il vous faut prendre la racine des deux côtés de l'équation. De la même façon, vous devez mettre l'exposant sur les deux expressions des deux côtés du signe égal lorsque vous avez affaire à une racine. Voyez ci-dessous :
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- dans le cas des exposants, utilisez la racine. Exemple : x 2 = 49 → x = √49
- dans le cas des racines, prenez les exposants. Exemple : √x = 12 → x = 12 2
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Publicité - Cela peut sembler un peu déroutant, mais lorsque vous avez affaire à des exposants, il vous faut prendre la racine des deux côtés de l'équation. De la même façon, vous devez mettre l'exposant sur les deux expressions des deux côtés du signe égal lorsque vous avez affaire à une racine. Voyez ci-dessous :
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Pour que les problèmes paraissent plus clairs, utilisez des images. Si vous avez du mal à visualiser un problème d'algèbre, essayez d'utiliser des schémas ou des images pour illustrer votre équation. Vous pouvez même essayer d'utiliser un ensemble d'objets physiques (comme des cubes ou des pièces) si vous en avez à portée de main.
- Essayons par exemple de résoudre cette équation x + 2 = 3 en utilisant des carrés (☐)
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- x +2 = 3
- ☒+☐☐ =☐☐☐
- Arrivés là, nous allons devoir soustraire 2 des deux côtés de l'équation en ôtant simplement 2 boites (☐☐) de chaque côté du signe égal :
- ☒+☐☐-☐☐ =☐☐☐-☐☐
- ☒=☐ ou x = 1
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- Prenons un autre exemple : essayons avec 2x = 4
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- ☒☒ =☐☐☐☐
- Arrivés là, nous allons diviser les deux côtés de l'équation par 2 en séparant les carrés de chaque côté en deux groupes :
- ☒|☒ =☐☐|☐☐
- ☒ = ☐☐ ou x = 2
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- Essayons par exemple de résoudre cette équation x + 2 = 3 en utilisant des carrés (☐)
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Suivez les « règles du bon sens » (particulièrement quand vous avez affaire à des problèmes mathématiques). Lorsque vous devez convertir un problème mathématique en algèbre, essayez de vérifier votre formule en introduisant dans celle-ci des valeurs simples à la place de votre variable. Votre équation a-t-elle un sens lorsque x=0 ? Lorsque x=1 ? Lorsque x = -1 ? Il est facile de faire des erreurs simples, en écrivant p=6d au lieu de p=d/6, mais vous pourrez facilement vous en rendre compte si vous procédez à des vérifications rapides de votre travail avant d'aller plus loin.
- Par exemple, imaginons un terrain de foot dont la taille en longueur fait 27 mètres de plus que sa taille en largeur. Pour représenter cela, nous utilisons l'équation l = w + 27. Il est possible de tester si cette équation veut dire quelque chose en y introduisant des valeurs simples à la place de w. Par exemple, si la largeur du terrain terrain est de w = 9 mètres, il aura une longueur de 9 + 27 = 36 mètres. S'il mesure 27 mètres de large, il mesurera alors 27 + 27 = 54 mètres de long et ainsi de suite. C'est tout à fait logique, nous nous attendons à ce que la longueur du terrain augmente avec sa largeur, cette équation semble donc raisonnable.
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Faites attention : les réponses ne seront pas toujours nécessairement des nombres entiers en algèbre. Les réponses en algèbre - comme dans toute autre forme de mathématiques avancée - ne sont pas toujours des chiffres ou des nombres simples et ronds. Vous pourriez aussi bien avoir affaire à des décimales, des fractions ou des nombres irrationnels. Il sera plus simple pour vous de trouver ces nombres compliqués à l'aide d'une calculatrice, mais gardez à l'esprit que votre enseignant(e) peut vous demander de donner la réponse sous sa forme exacte et non sous forme décimale, car celle-ci peut s'avérer un peu lourde.
- Imaginons un exemple où nous devons réduire l'équation suivante : x = 1250 7 . Si nous tapons 1250 7 sur une calculatrice, nous obtiendrons alors une lourde suite de décimales (sans compter que vous n'aurez peut-être pas la totalité de la réponse, vu que les écrans des calculatrices sont eux-mêmes limités en largeur). Dans ce cas, nous pourrions nous contenter d'écrire la réponse sous la forme 1250 7 ou encore simplifier la réponse en l'écrivant en notation scientifique.
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Lorsque vous serez à l'aise avec l'algèbre basique, essayez de factoriser des équations algébriques . La factorisation est l'une des plus grandes difficultés en algèbre, il s'agit d'une sorte de raccourci pour simplifier des équations complexes. La factorisation est un sujet d'algèbre relativement avancé, c'est pourquoi vous devriez penser à lire l'article du lien dans le paragraphe précédent si vous avez du mal dans ce domaine. Vous trouverez ci-dessous quelques conseils rapides pour factoriser des équations :
- les équations sous la forme ax + ba se factorisent en a(x + b). Exemple : 2x + 4 = 2(x + 2)
- les équations sous la forme ax 2 + bx se factorisent en cx((a/c)x + (b/c)) où c est le plus grand nombre divisible par a et par b. Exemple : 3y 2 + 12y = 3y(y + 4)
- les équations écrites sous la forme x 2 + bx + c se factorisent en (x + y)(x + z) où y × z = c et yx + zx = bx. Exemple : x 2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1)
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Entrainez-vous, entrainez-vous, entrainez-vous ! Pour faire des progrès en algèbre (comme dans toute discipline mathématique), vous devrez travailler dur et vous entrainer beaucoup. Ne vous inquiétez pas, si vous faites bien attention en cours, que vous faites tous vos devoirs et que vous demandez de l'aide à vos enseignants(es) ou à d'autres élèves lorsque vous en avez besoin, l'algèbre deviendra pour vous une seconde nature.
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Demandez à votre enseignant(e) de vous aider à comprendre les sujets d'algèbre les plus complexes. Si vous avez du mal à comprendre l'algèbre, ne vous inquiétez pas, vous n'êtes pas obligé(e) de faire votre apprentissage tout seul. Votre enseignant est la première personne à qui vous adresser si vous avez des questions. Après les cours, demandez poliment de l'aide à votre enseignant. Les bons enseignants accepteront de vous expliquer le sujet du jour lors d'un rendez-vous après les cours. Il ou elle pourrait peut-être même vous donner des exercices supplémentaires pour vous entrainer.
- Si, pour une raison ou pour une autre, votre enseignant(e) ne peut pas vous aider, demandez-lui s'il existe des possibilités de tutorat dans votre école. De nombreuses écoles possèdent des programmes après les cours. Ceux-ci vous permettront d'avoir le temps et l'attention supplémentaire dont vous avez besoin pour pouvoir exceller en algèbre. Souvenez-vous que vous ne devriez pas avoir honte d'utiliser l'aide gratuite qui vous est offerte, cela signifie au contraire que vous êtes suffisamment intelligent pour résoudre les problèmes qui se présentent à vous !
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Apprenez à représenter graphiquement des équations x/y. Les graphes peuvent constituer des outils précieux en algèbre, car ils vous permettent de représenter des idées pour lesquelles vous avez généralement besoin de nombres sous forme de figures simples à comprendre. En général, en algèbre niveau « débutant », les problèmes graphiques sont limités aux équations avec deux variables (généralement x et y) et sont représentés sur un graphique simple en 2 dimensions présentant un axe x et un axe y. Avec ces équations, tout ce que vous avez à faire est d'introduire une valeur pour x, puis de trouver y (ou le contraire) pour obtenir deux nombres qui correspondent à un point sur le graphe.
- Par exemple, dans l'équation y = 3x, si nous remplaçons x par 2, nous obtiendrons alors y = 6. Cela signifie que le point (2,6) (que vous trouverez en vous déplaçant de deux cases à droite de zéro et de six cases au-dessus de zéro) se trouvera sur la représentation graphique de cette équation.
- Les équations de la forme y = mx + b (où m et b sont des nombres) sont particulièrement fréquentes en algèbre classique. Ces équations ont toujours une pente de m et croisent toujours l'axe des y à y = b.
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Apprenez à résoudre des inégalités. Que devez-vous faire si votre équation ne présente pas de signe égal ? En fait, rien de bien différent de ce que vous faites d'habitude. Lorsque vous avez affaire à des inégalités, c'est-à-dire lorsque vous trouvez dans votre équation le signe > (« supérieur à ») ou le signe < (« inférieur à »), résolvez l'équation comme à votre habitude. Vous vous retrouverez avec une réponse qui est soit plus petite, soit plus grande que votre variable.
- Prenons par exemple l'équation 3 > 5x - 2, que nous allons résoudre comme une équation classique :
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- 3 > 5x - 2
- 5 > 5x
- 1 > x ou x < 1 .
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- Cela signifie que x peut être remplacé par tous les nombres inférieurs à un . En d'autres termes, x peut être égal à 0, -1, -2 et ainsi de suite. Si nous remplaçons x par ces nombres, notre résultat sera toujours inférieur à 3.
- Prenons par exemple l'équation 3 > 5x - 2, que nous allons résoudre comme une équation classique :
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Attaquez-vous aux équations du second degré . La résolution d'équations du second degré est un sujet qui pose problème à beaucoup de débutants. Les équations du second degré se présentent sous la forme suivante : ax 2 + bx + c = 0, où a, b et c sont des nombres (qui ne peuvent toutefois pas prendre la valeur de 0). Ces équations sont résolues à l'aide de la formule x = -b +/- √(b 2 - 4ac)/2a . Faites bien attention, le signe +/- signifie que vous devez trouver les réponses à additionner et soustraire, ce qui signifie que vous pouvez avoir deux réponses pour ce type de problème.
- Par exemple, essayons de résoudre l'équation quadratique suivante : 3x 2
+ 2x -1 = 0.
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- x = [-b +/- √(b 2 - 4ac)]/2a
- x = [-2 +/- √(2 2 - 4(3)(-1))]/2(3)
- x = [-2 +/- √(4 - (-12))]/6
- x = [-2 +/- √(16)]/6
- x = [-2 +/- 4]/6
- x = -1 and 1/3
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- Par exemple, essayons de résoudre l'équation quadratique suivante : 3x 2
+ 2x -1 = 0.
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Essayez de résoudre des systèmes d'équations. Il peut sembler très compliqué de résoudre plus d'une équation en même temps, mais lorsque vous travaillez sur des équations algébriques simples, ce n'est pas si difficile. Les professeurs d'algèbre utilisent souvent une approche graphique pour résoudre ces problèmes. Lorsque vous travaillez sur un système de deux équations, les solutions sont les points du graphique qui sont traversés par les deux droites des deux équations du système.
- Par exemple, imaginons que nous travaillons avec un système dont les équations sont les suivantes : y = 3x - 2 et y = -x - 6. Si nous traçons ces deux droites sur un graphe, nous obtiendrons une droite qui va vers le haut avec une pente marquée et une autre droite qui va vers le bas avec une pente faible. Puisque ces droites se croisent au niveau du point (-1 ; -5) , ce point constitue une solution au système d'équations [1] X Source de recherche .
- Si nous voulons vérifier notre réponse, nous pouvons le faire en l'introduisant dans les équations du système — la bonne réponse devrait « fonctionner » pour les deux équations.
- y = 3x - 2
- -5 = 3(-1) - 2
- -5 = -3 - 2
- -5 = -5
- y = -x - 6
- -5 = -(-1) - 6
- -5 = 1 - 6
- -5 = -5
- Les deux équations « se vérifient », cela signifie que votre réponse est la bonne !
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Conseils
- Il existe de nombreuses ressources disponibles sur internet pour les individus qui veulent apprendre l'algèbre en ligne. Par exemple, en effectuant une recherche simple en ligne à l'aide des termes « aide algèbre », vous pourrez trouver des douzaines de très bons sites. Vous pouvez aussi chercher sur wikiHow une sélection d'articles de mathématiques. Vous trouverez une grande quantité d'informations sur ce site, alors vous pouvez commencer votre exploration dès aujourd'hui !
- Voici l'adresse d'un super site internet pour les débutants en algèbre : fr.khanacademy.org. Vous trouverez sur ce site de nombreux cours faciles à suivre et portant sur une grande variété de sujets, y compris sur l'algèbre. Le site possède aussi des vidéos sur tout, allant des sujets les plus basiques aux sujets avancés de niveau universitaire, alors n'ayez pas peur de vous immerger dans le site de Khan Academy et d'utiliser l'aide offerte par ce site !
- N'oubliez pas que les gens avec lesquels vous êtes à l'aise peuvent constituer vos meilleurs appuis lorsque vous essayez d'apprendre l'algèbre. Si vous avez besoin d'un coup de main pour mieux comprendre votre dernier cours d'algèbre, discutez-en avec un ami ou un camarade de classe qui suit le même cours que vous.
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