Comment calculer l’angle entre deux vecteurs

Un vecteur est un objet mathématique se définissant par trois composantes : sa direction, son sens et sa longueur (ou norme). Quand plusieurs vecteurs sont combinés, ils forment entre eux des angles et les formules qui s’appliquent aux droites ou aux figures géométriques ne peuvent s’appliquer telles quelles aux vecteurs.

Partie 1

Partie 1 sur 2:

Trouver l’angle formé par deux vecteurs

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1
Inscrivez la formule du cosinus. Pour trouver l’angle $\theta$ formé par deux vecteurs, il vous faut la formule du cosinus de cet angle. À ce stade, vous avez le choix entre l’inscrire telle quelle ou vous rendre ici pour en savoir plus ^{[1]
X
Source de recherche} :
- $cos(\theta )={\frac {{\vec {u}}.{\vec {v}}}{||{\vec {u}}||.||{\vec {v}}||}}$
  ;
- || ${\vec {u}}$ ||est la norme du vecteur ${\vec {u}}$ ;
- ${\vec {u}}.{\vec {v}}$ est le produit scalaire des deux vecteurs, lequel produit sera expliqué plus loin. ${\vec {u}}.{\vec {v}}$ se lit « u scalaire v ».
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Identifiez précisément les vecteurs en jeu. Notez toutes les informations que l’on vous donne sur ces vecteurs. Souvent, dans un exercice concret, on vous donnera les coordonnées des vecteurs, soit la forme : ${\vec {u}}{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ Si les normes des vecteurs vous sont données, vous allez pouvoir sauter quelques-unes des étapes qui suivent.
- Les deux vecteurs du plan suivant ${\vec {u}}{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}$ et ${\vec {v}}{\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}}$ peuvent aussi se présenter sous forme développée : ${\vec {u}}=2i+2j$ et ${\vec {v}}=0i+3j=3j$ .
- Nous ne traiterons ici que des vecteurs du plan, mais le principe reste le même avec des vecteurs ayant une dimension supérieure.
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3
Calculez la norme de chaque vecteur. Décomposez graphiquement chacun des vecteurs en ses deux composantes : vous obtenez ainsi deux triangles rectangles dont l’hypoténuse est dans les deux cas le vecteur lui-même. Pour trouver sa norme, il suffit d’appliquer le théorème de Pythagore avec les normes des composantes. Cela fonctionne, quelle que soit la dimension du vecteur.
- $||{\vec {u}}||^{2}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}$ . Si un vecteur a plus de deux coordonnées, prolongez simplement la somme des carrés : … $+\ u_{3}^{2}+u_{4}^{2}+$ …
- Si vous prenez la racine carrée de chaque membre de l’équation, vous obtenez : $||{\vec {u}}||={\sqrt {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}}}$ .
- Pour reprendre les deux vecteurs utilisés plus haut, cela donne :
  $||{\vec {u}}||={\sqrt {2^{2}+2^{2}}}={\sqrt {8}}=2{\sqrt {2}}$ et $||{\vec {v}}||={\sqrt {0^{2}+3^{2}}}={\sqrt {9}}=3$ .
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La multiplication des vecteurs porte un nom spécifique, à savoir celui de produit scalaire ^{[2]
X
Source de recherche} .
Partant des composantes des vecteurs, le produit scalaire de deux vecteurs se calcule en faisant la somme des produits des composantes de même nature des vecteurs.
Si vous codez un programme de traitement d’images vectorielles, voyez la partie Conseils .

Exemple de calcul d’un produit scalaire
La formule de calcul du produit scalaire est la suivante : ${\vec {u}}.{\vec {v}}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2},$ avec ${\vec {u}}{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{pmatrix}}$ et ${\vec {v}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}$ . Si votre vecteur a plus de deux dimensions, continuez la somme en ajoutant : … $+u_{3}v_{3}+u_{4}v_{4}$ …
Dans notre exemple, nous avons donc :
${\vec {u}}.{\vec {v}}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}=(2)(0)+(2)(3)=0+6=6.$ Cette valeur est le produit scalaire du vecteur ${\vec {u}}$ par le vecteur ${\vec {v}}$ .
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La formule du cosinus est, pour rappel, la suivante :
$cos(\theta )={\frac {({\vec {u}}\ .{\vec {v}})}{(||{\vec {u}}||\ .||{\vec {v}}||)}}$ .
Comme nous avons calculé les deux normes et le produit scalaire, il ne vous reste plus qu’à tout regrouper et à faire les calculs pour obtenir le cosinus de l’angle.

Calcul du cosinus avec produit scalaire et normes
Dans notre exemple, $cos(\theta )={\frac {6}{(2{\sqrt {2}})(3)}}={\frac {6}{6{\sqrt {2}}}}={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}={\frac {{\sqrt {2}}}{2}}$ .
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Pour trouver un angle à partir de son cosinus
, vous avez besoin de la fonction arccos ou cos ^-1 d’une calculatrice scientifique. Si vous le connaissez bien, vous pouvez aussi utiliser le cercle trigonométrique.

Trouver l’angle avec le cosinus
Dans notre exemple, $cos(\theta )={\frac {{\sqrt {2}}}{2}}$ . Sur une calculatrice, entrez la séquence
« arccos(√2 / 2) », puis validez pour obtenir l’angle $\theta$ . Si vous maitrisez mieux le cercle trigonométrique, tracez les deux segments en sorte que : $cos(\theta )={\frac {{\sqrt {2}}}{2}}$ . Vous trouverez que : $\theta ={\frac {\pi }{4}}=45^{o}$ .
Littéralement, la formule de l’angle se présente comme suit :
$\theta =arccos({\frac {({\vec {u}}\ .{\vec {v}})}{(||{\vec {u}}||\ .||{\vec {v}}||)}})$ .

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Partie 2

Partie 2 sur 2:

Définir la formule de l’angle entre deux vecteurs

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1
Comprenez bien le fondement d’une telle formule. Celle-ci ne provient pas d’une formule préexistante, elle est originale en cela qu’elle utilise à la fois le produit scalaire des vecteurs et l’angle qu’ils forment entre eux ^{[3]
X
Source de recherche} . Cependant, cette formule s’appuie sur certaines propriétés de quelques figures géométriques et certaines notions de trigonométrie.
- Ci-dessous, nous nous appuierons sur des vecteurs du plan, ce qui facilitera la compréhension, mais le principe est le même pour des vecteurs de l’espace ou d’une plus grande dimension.
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Soit un triangle quelconque, avec deux côtés $a$ et $b$ formant entre eux un angle $\theta$ et un côté $c$ opposé à cet angle. La loi des cosinus établit que : $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos(\theta )$ . Vous le voyez, cette loi généralise le théorème de Pythagore aux triangles non rectangles.
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Tracez sur votre feuille deux vecteurs, ${\vec {a}}$ et ${\vec {b}}$ , formant entre eux un angle $\theta$ . Tracez un troisième vecteur afin d’obtenir un triangle. Autrement dit, tracez un vecteur ${\vec {c}}$ tel que : ${\vec {b}}+{\vec {c}}={\vec {a}}$ . Après arrangement, vous avez : ${\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}$ ^{[4]
X
Source de recherche} .
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4
Servez-vous de la loi des cosinus. Comme vous avez la formule, faites l’application numérique théorique :
- $||(a-b)||^{2}=||a||^{2}+||b||^{2}-2||a||\||b||\cos(\theta )$
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5
Passez des normes aux produits scalaires. Pour rappel, le produit scalaire est la valeur réelle de la projection d’un vecteur sur un autre vecteur. Puisqu’il n’y a pas de projection sur un autre vecteur, le produit scalaire d’un vecteur par lui-même était égal au carré de sa norme ^{[5]
X
Source de recherche} , ce qui s’écrit ainsi : ${\vec {a}}.{\vec {a}}=||a||^{2}$ . Servez-vous de cette propriété pour simplifier l’égalité suivante :
- ( ${\vec {a}}-{\vec {b}}).({\vec {a}}-{\vec {b}})=({\vec {a}}.{\vec {a}})+({\vec {b}}.{\vec {b}})-(2||a||\||b||\cos(\theta ))$
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6
Développez et simplifiez la formule pour retrouver celle du cosinus. Pour cela, développez le membre de gauche, puis regroupez au mieux : vous devriez retomber sur la formule du cosinus quelque peu arrangée.
- ${\vec {a}}.{\vec {a}}-{\vec {a}}.{\vec {b}}-{\vec {b}}.{\vec {a}}+{\vec {b}}.{\vec {b}}={\vec {a}}.{\vec {a}}+{\vec {b}}.{\vec {b}}-2||a||\||b||cos(\theta )$
- $-{\vec {a}}.{\vec {b}}-{\vec {b}}.{\vec {a}}=-2||a||\||b||cos(\theta )$
- $-2({\vec {a}}.{\vec {b}})=-2||a||\||b||\cos(\theta )$
- ${\vec {a}}.{\vec {b}}=||a||\||b||\cos(\theta )$
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Conseils

Pour trouver rapidement l’angle entre deux vecteurs du plan, essayez de retenir la formule : $\cos(\theta )={\frac {(u_{1}.v_{1}+u_{2}.v_{2})}{({\sqrt {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}}}).({\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}})}}$ .
Si vous élaborez un programme d’édition d’image, vous aurez besoin de travailler sur de très nombreuses images vectorielles et dans ce cas, ce qui compte avant tout, c’est le sens des vecteurs, non leurs normes. Pour avoir un codage plus simple, procédez comme suit :
- normalisez chacun des vecteurs , ainsi chacune des normes vaudra 1. Pour cela, divisez chaque composante du vecteur par sa norme ;
- utilisez les produits scalaires des vecteurs unitaires plutôt que ceux des vecteurs d’origine ;
- à partir du moment où sont utilisés les vecteurs unitaires, chacun de norme 1, la formule de l’angle $\theta$ se simplifie pour donner : $\theta =arccos({\vec {u}}.{\vec {v}})$ .
Il est très simple de savoir si l’angle vectoriel est aigu ou obtus rien qu’en réfléchissant à la formule du cosinus, laquelle est : $\cos(\theta )={\frac {{\vec {u}}.{\vec {v}}}{||{\vec {u}}||.||{\vec {v}}||}}$ .
- Étant égaux, les deux membres de l’équation ont donc le même signe, qu’il soit positif ou négatif.
- Les normes étant par définition positives, $cos(\theta )$ a le même signe que le produit scalaire ${\vec {u}}.{\vec {v}}$ .
- Ainsi donc, si le produit scalaire est positif, $cos(\theta )$ est positif, ce qui signifie que : $\theta <{\frac {\pi }{2}}$ , soit $\theta <90^{o}$ (premier quadrant du cercle trigonométrique), l’angle est donc aigu .
- Si le produit scalaire est négatif, $cos(\theta )$ est négatif, ce qui signifie que :
  ${\frac {\pi }{2}}<\theta <\pi$ , soit $90^{o}<\theta <180^{o}$ (deuxième quadrant du cercle trigonométrique), l’angle est alors obtus .
Lorsque le produit scalaire de deux vecteurs est nul ( ${\vec {u}}.{\vec {v}}=0$ ), cela signifie que les deux vecteurs sont orthogonaux : l’angle entre eux est de ${\frac {\pi }{2}}$ , soit $90^{o}$ .
Il est un certain nombre de règles qu’il faut mémoriser à la fois pour ne pas faire d’erreurs, mais aussi pour vous faciliter le travail.
- Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Écrire ${\vec {u}}.{\vec {v}}={\vec {0}}$ est une erreur majeure !
- Il existe un vecteur nul, noté ${\vec {0}}$ . Il s’agit d’un vecteur très particulier dont le point origine et le point extrémité sont les mêmes. Ce vecteur a donc une norme de 0 et n’a ni direction ni sens. Deux vecteurs dont la somme est égale au vecteur nul ( ${\vec {u}}+{\vec {v}}={\vec {0}}$ ) sont dits « opposés ». Le vecteur nul est neutre pour l’addition vectorielle : ${\vec {u}}+{\vec {0}}={\vec {u}}$ . Il est absorbant dans un produit scalaire : ${\vec {u}}.{\vec {0}}=0$ .
- Le produit scalaire est symétrique, c’est-à-dire que : ${\vec {u}}.{\vec {v}}={\vec {v}}.{\vec {u}}$ .
- Dans un produit scalaire, il est possible de mettre en facteur un vecteur commun aux deux termes du produit. C’est ainsi que : ${\vec {u}}.{\vec {v}}+{\vec {u}}.{\vec {w}}={\vec {u}}.({\vec {v}}+{\vec {w}})$ . Dans le même ordre d’idées, les coefficients des vecteurs peuvent être regroupés, ce qui aboutit à la règle suivante : $(a{\vec {u}}).(b{\vec {v}})=ab({\vec {u}}.{\vec {v}})$ .
Comme pour les entiers, il existe des identités remarquables avec les vecteurs. C’est ainsi que :
- $({\vec {u}}+{\vec {v}})^{2}={\vec {u}}^{2}+2{\vec {u}}.{\vec {v}}+{\vec {v}}^{2}$
- $({\vec {u}}-{\vec {v}})^{2}={\vec {u}}^{2}-2{\vec {u}}.{\vec {v}}+{\vec {v}}^{2}$
- $({\vec {u}}+{\vec {v}})({\vec {u}}-{\vec {v}})={\vec {u}}^{2}-{\vec {v}}^{2}$