ดาวน์โหลดบทความ
ดาวน์โหลดบทความ
หากคุณเป็นนักคณิตศาสตร์หรือนักเขียนโปรแกรมกราฟฟิก คุณอาจจำเป็นต้องหามุมระหว่างเวกเตอร์หรือเส้นสมมติที่ให้มาสองเส้น วิกิฮาวบทนี้จะสอนคุณว่าต้องทำอย่างไร
ขั้นตอน
-
ระบุเวกเตอร์. จดข้อมูลทั้งหมดที่คุณมีเกี่ยวกับเวกเตอร์สองค่านี้ เราจะคาดไปก่อนว่าคุณมีคำจำกัดความเวกเตอร์ในแง่ของระยะพิกัดของมิติ (หรือที่เรีกว่า ส่วนประกอบของเวกเตอร์) [1] X แหล่งข้อมูลอ้างอิง หากคุณรู้ความยาวของเวกเตอร์หนึ่ง (ขนาดของเวกเตอร์นั้น) คุณจะสามารถข้ามขั้นตอนบางส่วนด้านล่างนี้ไปได้เลย
- ตัวอย่าง: เวกเตอร์สองมิติ = (2,2) เวกเตอร์ = (0,3) มันอาจเขียนได้เป็น = 2 i + 2 j และ = 0 i + 3 j = 3 j .
- ในขณะที่ตัวอย่างของเราใช้เวกเตอร์สองมิติ คำแนะนำด้านล่างครอบคลุมเวกเตอร์ทุกขนาด
-
เขียนสูตรโคไซน์. ในการหามุม θ ระหว่างสองเวกเตอร์ ให้เริ่มด้วยสูตรการหาโคไซน์ของมุม คุณสามารถ เรียนรู้เกี่ยวกับสูตรนี้ด้านล่าง หรือเขียนลงไปเลย: [2] X แหล่งข้อมูลอ้างอิง
- cosθ = ( • ) / ( || || || || )
- || || หมายถึง "ความยาวของเวกเตอร์ ."
- • เป็นผลคูณจุด (ผลคูณเชิงสเกลาร์) ของเวกเตอร์ทั้งสองที่จะอธิบายด้านล่าง
-
คำนวณความยาวของเวกเตอร์แต่ละตัว. นึกภาพสามเหลี่ยมมุมฉากที่วาดจากขนาด x กับขนาด y ของเวกเตอร์ และตัวเวกเตอร์เอง เวกเตอร์จะเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม ดังนั้นการหาความยาวของมันจึงต้องใช้ทฤษฎีบทของพีธากอรัส และอย่างที่เห็น สูตรนี้สามารถยืดไปใช้กับเวกเตอร์ที่มีขนาดใดก็ได้ [3] X แหล่งข้อมูลอ้างอิง
- || u || 2 = u 1 2 + u 2 2 . หากเวกเตอร์มีมากกว่าสองขนาด ก็แค่บวกเพิ่มเข้าไป +u 3 2 + u 4 2 + ...
- ดังนั้น สำหรับเวกเตอร์สองมิติแล้ว || u || = √(u 1 2 + u 2 2 ) .
- ในตัวอย่างของเรา || || = √(2 2 + 2 2 ) = √(8) = 2√2 . || || = √(0 2 + 3 2 ) = √(9) = 3 .
-
คำนวณผลคูณจุดของเวกเตอร์ทั้งสอง. คุณอาจเรียนรู้วิธีนี้จากการคูณเวกเตอร์มาแล้ว หรือที่เรียกอีกอย่างว่า ผลคูณเชิงสเกลาร์ [4] X แหล่งข้อมูลอ้างอิง ในการคำนวณผลคูณจุดในแง่ของขนาดเวกเตอร์นั้น ให้คูณขนาดในแต่ละทิศทางเข้าด้วยกัน แล้วบวกผลลัพธ์ทั้งหมด [5] X แหล่งข้อมูลอ้างอิง
- สำหรับการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์กราฟฟิก ให้ดู เคล็ดลับ ก่อนจะทำต่อไป
- ในเชิงคณิตศาสตร์ • = u 1 v 1 + u 2 v 2 , ในขณะที่ u = (u 1 , u 2 ) ถ้าเวกเตอร์ของคุณมีมากกว่าสองส่วนประกอบหรือขนาด แค่บวกเพิ่ม + u 3 v 3 + u 4 v 4 ...
- ในตัวอย่างของเรา • = u 1 v 1 + u 2 v 2 = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6 นี่คือผลคูณจุดของเวกเตอร์ และ .
-
แทนผลลัพธ์ลงในสูตร. จำไว้ว่า cosθ = ( • ) / ( || || || || ) ตอนนี้คุณมีทั้งผลคูณจุดและความยาวของเวกเตอร์แต่ละตัวแล้ว แทนค่าลงไปในสูตรนี้เพื่อคำนวณโคไซน์ของมุม
- ในตัวอย่างของเรา cosθ = 6 / ( 2√2 * 3 ) = 1 / √2 = √2 / 2.
-
หามุมโดยอาศัยค่าโคไซน์. คุณสามารถใช้ปุ่ม arccos หรือ cos -1 บนเครื่องคิดเลขหามุม θ จากค่าของ cos θ ที่ทราบแล้ว สำหรับผลบางตัว คุณอาจหามุมได้โดยอาศัยวงกลมหนึ่งหน่วย
- ในตัวอย่างของเรา cosθ = √2 / 2, กดปุ่ม "arccos(√2 / 2)" ในเครื่องคิดเลขเพื่อให้ได้มุม อีกทางเลือกคือหามุม θ บนวงกลมหนึ่งหน่วยที่ซึ่ง cosθ = √2 / 2 นี่เป็นจริงสำหรับ θ = π / 4 หรือ 45º .
- นำค่าที่ได้ทั้งหมดมารวมกัน สูตรตอนสุดท้ายจะเป็น: มุม θ = arccosine(( • ) / ( || || || || ))
โฆษณา
-
เข้าใจวัตถุประสงค์ของสูตรนี้. สูตรนี้ไม่ได้ผันมาจากกฎที่มีอยู่แล้ว มันกลับถูกสร้างขึ้นในฐานะคำจำกัดความของผลคูณจุดของเวกเตอร์สองตัวและมุมระหว่างมัน [6] X แหล่งข้อมูลอ้างอิง อย่างไรก็ตาม มันใช่ว่าจะเกิดขึ้นอย่างไร้กฎเกณฑ์ที่มาที่ไป หากย้อนมองกลับไปในเรขาคณิตพื้นฐาน เราจะเห็นว่าเหตุใดสูตรนี้ถึงให้คำจำกัดความที่มีประโยชน์และใช้ได้ผล
- ตัวอย่างด้านล่างใช้เวกเตอร์สองมิติเพราะพวกมันเป็นค่าเบื้องต้นที่สุดในการใช้ เวกเตอร์ที่มีสามขนาดหรือองค์ประกอบขึ้นไปมีคุณสมบัติที่นิยามตามสูตรนี้เหมือนกัน
-
ทบทวนกฎของโคไซน์. นำสามเหลี่ยมธรรมดาทั่วไปที่มีมุม θ ระหว่างด้าน a กับ b และด้านตรงข้ามคือ c กฎของโคไซน์บอกว่า c 2 = a 2 + b 2 -2ab cos (θ) นี่เป็นการนำมาจากเรขาคณิตพื้นฐาน
-
เชื่อมเวกเตอร์ทั้งสองเพื่อสร้างเป็นรูปสามเหลี่ยม. วาดเวกเตอร์ 2 มิติคู่หนึ่งบนกระดาษ เวกเตอร์ และ ที่มีมุม θ ระหว่างพวกมัน วาดเวกเตอร์ที่สามระหว่างนั้นให้เกิดเป็นรูปสามเหลี่ยม หรือพูดอีกอย่างคือ วาดเวกเตอร์ ซึ่ง + = เวกเตอร์นี้ = - [7] X แหล่งข้อมูลอ้างอิง
-
เขียนกฎโคไซน์สำหรับสามเหลี่ยมรูปนี้. ใส่ความยาวของด้านใน "สามเหลี่ยมเวกเตอร์" ลงในกฎโคไซน์:
- || (a - b) || 2 = || a || 2 + || b || 2 - 2 || a || || b || cos (θ)
-
เขียนขึ้นโดยใช้ผลคูณจุด. จำไว้ว่าผลคูณจุดเป็นการเพิ่มขนาดของเวกเตอร์หนึ่งลงบนอีกเวกเตอร์หนึ่ง ผลคูณจุดของเวกเตอร์ในตัวมันเองไม่ต้องการการขยายเพิ่มขนาด เนื่องจากไม่มีความแตกต่างในทิศทาง [8] X แหล่งข้อมูลอ้างอิง นั่นหมายถึงว่า • = || a || 2 ใช้ข้อเท็จจริงข้อนี้เขียนสมการเสียใหม่:
- ( - ) • ( - ) = • + • - 2 || a || || b || cos (θ)
-
เขียนใหม่ให้อยู่ในรูปสูตรที่คุ้นเคย. ขยายด้านซ้ายของสูตร แล้วทอนลงเป็นสมการที่ใช้หามุม
- • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b || cos (θ)
- - • - • = -2 || a || || b || cos (θ)
- -2( • ) = -2 || a || || b || cos (θ)
- • = || a || || b || cos (θ)
โฆษณา
เคล็ดลับ
- สำหรับการแทนค่าแล้วแก้โจทย์เร็วๆ ใช้สูตรนี้สำหรับเวกเตอร์สองมิติสองจำนวนใดๆ: cosθ = (u 1 • v 1 + u 2 • v 2 ) / (√(u 1 2 • u 2 2 ) • √(v 1 2 • v 2 2 )).
- หากคุณทำงานด้านการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์กราฟฟิก คุณอาจจะสนใจเฉพาะในทิศทางของเวกเตอร์มากกว่าจะเป็นความยาว ให้ใช้ขั้นตอนเหล่านี้ในการทอนสมการและเพิ่มความเร็วของโปรแกรม: [9]
X
แหล่งข้อมูลอ้างอิง
[10]
X
แหล่งข้อมูลอ้างอิง
- หารเวกเตอร์แต่ละตัวด้วยขนาดของมันเอง เพื่อที่ความยาวจะกลายเป็น 1 ทำโดยหารแต่ละส่วนประกอบของเวกเตอร์ด้วยความยาวของเวกเตอร์นั้น
- นำผลคูณจุดของเวกเตอร์ที่ผ่านการหารมาแล้วแทนที่จะเป็นเวกเตอร์เดิม
- เนื่องจากความยาวหรือขนาดเท่ากับ 1 จึงเอาพจน์ความยาวออกจากสมการได้ สมการสุดท้ายสำหรับมุมคือ arccos( • )
- จากสูตรโคไซน์ เราสามารถหาว่ามุมนั้นเป็นมุมแหลมหรือมุมป้านได้อย่างรวดเร็ว เริ่มจาก cosθ = (
•
) / ( ||
||
||
||
):
- ด้านซ้ายกับด้านขวาของสมการจะต้องมีสัญลักษณ์เดียวกัน (บวกหรือลบ)
- เนื่องจากความยาวจะเป็นค่าบวกเสมอ cosθ จะต้องมีสัญลักษณ์แบบเดียวกับผลคูณจุด
- ฉะนั้น หากผลคูณจุดมีค่าเป็นบวก cosθ ก็ต้องเป็นบวก เราอยู่ในเสี้ยวแรกของวงกลมหนึ่งหน่วย โดยมี θ < π / 2 หรือ 90º มุมจึงเป็นมุมแหลม
- หากผลคูณจุดเป็นลบ cosθ จะต้องเป็นลบด้วย เราจะอยู่ในเสี้ยวที่สองของวงกลมหนึ่งหน่วย โดยมี π / 2 < θ ≤ π or 90º < θ ≤ 180º มุมจึงเป็นมุมป้าน
โฆษณา
ข้อมูลอ้างอิง
- ↑ http://mathinsight.org/vectors_cartesian_coordinates_2d_3d
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/
- ↑ http://mathinsight.org/vectors_cartesian_coordinates_2d_3d
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/vectors-dot-product.html
- ↑ http://mathinsight.org/dot_product_formula_components
- ↑ http://mathforum.org/library/drmath/view/54087.html
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/dot_cross_products/v/defining-the-angle-between-vectors
- ↑ http://physics.info/vector-multiplication/
- ↑ http://stackoverflow.com/questions/2304634/why-must-we-normalize-a-vector
โฆษณา