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어떤 숫자를 반올림을 하게 되면 대부분의 경우 자릿수가 줄어든다. 물론 반올림을 하면 이전보다 정확도는 떨어지지만 계산이 편해지기 때문에 어떤 문제를 풀 때는 결과값의 반올림을 요구하는 경우가 많다. 일반적으로 소수나 정수를 가까운 숫자로 반올림하게 되며, 문제에서 주어진 상황에 따라 달라질 수는 있다. 이 글을 통해 반올림을 올바르게 하는 법을 배워보도록 하자.
단계
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먼저 반올림할 숫자 정하기. 어떤 자리에서 반올림을 할 것인지는 학교 선생님이 알려주거나 수학 문제에서 주어질 것이다. 만약 따로 지침이 없다면 계산하는 과정에 맞춰 필요한 만큼만 반올림하면 된다. 예를 들어 돈의 액수를 반올림하려 한다면 천이나 만 단위로 하는 것이 편할 것이다. 물론 다루는 금액이 적은 경우에는 반올림을 백 단위로도 할 수 있다. 일상 생활 속에서는 돈 뿐만이 아니라 몸무게도 반올림을 많이 하게 되는데 보통 1의 자리나 소수점 첫째 자리로 반올림을 하게 된다.
- 정확도가 요구되지 않는다면 더 높은 자릿수에서 반올림을 해도 된다.
- 수치의 정확도를 높히고 싶다면 최대한 낮은 자릿수에서 반올림을 하도록 한다.
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구하려는 숫자의 위치 알기. 예를 들어 위의 숫자 10.7659 에서 소수점 셋째 자리로 반올림을 하라고 문제가 주어지면 일단 소수점에서부터 오른쪽으로 세 칸을 움직여 알맞은 숫자를 찾아야 할 것이다. 이 과정을 놓고 숫자 여섯 개를 다섯 개로 줄이는 방법이라고 생각해도 좋다. 일단 지금은 소수점 세 번째 숫자인 5 에 집중하도록 하자.
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구하려는 숫자의 오른쪽에 위치한 숫자 보기. 오른쪽으로 많이 갈 필요도 없고 딱 한 칸만 가면 된다. 위 그림을 예시로 들면 5 왼쪽에 있는 숫자는 9 이다. 따라서 이 숫자 9가 5 의 운명을 결정지을 것이다. 바꿔 말하자면, 5가 증가할지, 아니면 그대로 있을지를 정하게 된다.
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오른쪽의 숫자가 5이상이면 구하려는 숫자에 1 더하기. 이 과정을 올린다고 한다. 반올림을 해 구하려는 자리의 숫자가 원래보다 커졌기 때문이다. 위 그림을 예로 들자면 반올림으로 구하고자 하는 숫자는 5 였고 5의 오른쪽에 위치한 숫자, 즉 한 자리 아래 숫자는 9 로 5이상이었다. 따라서 9 는 사라지고 구하려는 자리의 숫자에는 1을 더해 6 이 되는 것이다. 이 두 숫자를 제외한 나머지 자리의 숫자는 그대로 유지한다. 다시 정리하자면 10.7659 를 소수점 셋째 자리로 반올림하면 5 오른쪽의 숫자는 사라지고(0이 된다고 생각하면 편하다) 1이 더해져 10.766 이 된다.
- 5는 1과 9의 중간지점에 있는 숫자지만 반올림의 정의에 의해 5 는 올림을 한다. 물론 학교 성적에는 반올림이 적용되지 않는다! [1] X 출처 검색하기
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오른쪽의 숫자가 5미만이면 구하려는 숫자는 놔두고 오른쪽의 숫자 지우기. 이 과정을 내림이라고 한다. 구하고자 하는 숫자는 그대로 놔두고 반올림을 한 위치의 숫자(즉 구하려고 했던 숫자의 한 자리 아래 숫자)를 지우는 것이다. 예를 들어 10.7653 를 소수점 셋째 자리로 반올림하려고 한다면 구하려는 숫자인 5 의 우측 숫자를 먼저 본다. 3 은 5미만이므로 지운다. 이렇게 반올림의 내림 과정의 설명이 끝났다.
- 구하려는 자리의 숫자를 건드리지 않고 그 자리 아래의 숫자를 모두 0으로 바꾸면 반올림한 숫자는 원래 숫자보다 작아지게 된다.
- 위에서 설명한 반올림 방법을 컴퓨터 계산기에서는 5/4 반올림법이라고 부른다. 보통 계산기에는 이 반올림 스위치를 키고 끌 수 있는 버튼이 있다.
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반올림해 십의 자리까지 나타내기. 어떤 정수를 반올림해 십의 자리까지 나타내려면 일의 자리를 살펴봐야 한다. 십의 자리는 숫자 맨 오른쪽에서 두 번째에 위치한 숫자를 의미한다. 예를 들어 12가 주어졌다면 2를 보면 된다. 이제 위에서 했던 바와 같이 일의 자리가 5미만이면 구하려던 십의 자리 숫자는 그대로 놔두고 일의 자리는 0으로 바꾼다. 또, 일의 자리가 5이상이면 십의 자리 숫자에 1을 더하고 일의 자리를 0으로 바꾼다. 아래 몇 가지 예시를 보도록 하자: [2] X 출처 검색하기 [3] X 출처 검색하기
- 12 --> 10
- 114 --> 110
- 57 --> 60
- 1,334 --> 1330
- 1,488 --> 1490
- 97--> 100
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반올림해 백의 자리까지 나타내기. 십의 자리까지 나타냈던 것과 같은 방식으로 반올림을 한다. 먼저 주어진 숫자의 오른쪽 끝에서 세 번째에 위치한 백의 자리 숫자를 본다. (1,234가 주어졌다면 오른쪽에서 세 번째 숫자인 2가 백의 자리 숫자가 된다) 이제 백의 자리 숫자 오른쪽, 즉, 한 자리 아래의 십의 자리 숫자로 올림을 할 지 버림을 할 지 판단하면 된다. 결론적으로 백의 자리 숫자 오른쪽은 항상 00이 될 것이다. 아래의 예시를 보자: [4] X 출처 검색하기
- 7,891 -- > 7,900
- 15,753 --> 15,800
- 99, 961 --> 100,000
- 3,350 --> 3,300
- 450 --> 500
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반올림해 천의 자리까지 나타내기. 여기서도 마찬가지로 오른쪽 끝에서 네 번째 자리에 위치한 천의 자리 숫자를 먼저 확인한다. 이제 그 오른쪽의 백의 자리 숫자를 보고 5미만이면 가만이 놔두고 5이상이면 천의 자리에 1을 더한다. 물론 구하고자 하는 천의 자리 오른쪽 숫자는 모두 0으로 바꾼다. 아래의 예시를 참고하도록 하자: [5] X 출처 검색하기
- 8,800 --> 9,000
- 1,015 --> 1,000
- 12,450 --> 12,000
- 333,878 --> 334,000
- 400,400 --> 400,000
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특정 유효 숫자로 반올림하기. 물론 문제에서 주어진 상황에 따라 달라진다는 점을 기억하자. 일반적으로 두 개의 유효 숫자를 가진 숫자를 반올림할 때는 먼저 두 번째 유효 숫자를 찾아 한 자리 아래의 수를 올리거나 내린다. 다음 예시를 보도록 하자: [8] X 출처 검색하기
- 1.239를 세 개의 유효 숫자로 반올림하면 1.24가 된다. 왼쪽부터 수를 세면 세 번째 숫자가 3임을 확인할 수 있고, 한 자리 아래 수가 5이상인 9이므로 올림을 해 4로 바꿨다.
- 134.9를 한 개의 유효 숫자로 반올림하면 100이 된다. 소수점 왼쪽부터 수를 세면 백의 자리 숫자 하나만 유효 숫자가 될 것이고 그 아래 자리 숫자는 5미만인 3이므로 전부 0으로 바꾼다.
- 0.0165를 두 개의 유효 숫자로 반올림하면 0.017이 된다. 소수점 오른쪽에서 0이 아닌 숫자부터 차례대로 세면 두 번째 유효 숫자는 6이고 그보다 한 자리 아래 수는 5이상이므로 올림을 한다.
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덧셈에서 유효 숫자 고려해 반올림하기. 먼저 주어진 숫자를 모두 합한다. 그리고 합하기 전의 숫자 중 가장 정확도가 낮은 수의 유효 숫자 개수를 세어 그 수를 기준으로 반올림을 하면 된다. 다음 계산 과정을 참고하도록 하자: [9] X 출처 검색하기
- 13.214 + 234.6 + 7.0350 + 6.38 = 261.2290
- 더하기 전의 숫자들을 모두 살펴보면 234.6이 소수점 아래 한 자리까지만 나타내져 있는 것을 볼 수 있다. 따라서 정확도가 가장 낮은 이 숫자의 유효 숫자 개수를 기준으로 반올림을 할 것이다
- 더한 결과 값을 소수점 첫째 자리까지만 나타낸다. 유효 숫자가 4개이므로 첫째 자리까지만 나타낼 수 있다. 따라서 261.2290은 261.2가 된다.
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곱셈에서 유효 숫자 고려해 반올림하기. 먼저 모든 주어진 수를 곱하고 가장 정확도가 낮은 숫자의 유효 숫자 개수를 센다. 그리고 구한 답을 그 유효 숫자의 개수만큼만 남기고 반올림한다. 아래 과정을 살펴보도록 하자: [10] X 출처 검색하기
- 16.235 × 0.217 × 5 = 17.614975
- 5는 유효 숫자의 개수가 하나로 가장 정확도가 낮다. 따라서 결과값도 유효 숫자가 하나여야 할 것이다.
- 17.614975를 1의 자리에서 반올림해 20으로 쓴다.
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팁
- 소수점 아래에서 반올림 계산을 할 때는 오른쪽에 붙는 0을 다 지우도록 한다. 숫자 오른쪽에 붙는 0은 아무 영향을 주지 않는다. 하지만 소수점 왼쪽에서는 이 방법이 통용되지 않을 수도 있다.
- 반올림해 나타내려는 숫자에는 밑줄을 쳐 표시를 한다. 그러면 도중에 헷갈려서 다른 수를 반올림하는 실수를 줄여줄 것이다.
- 다른 반올림 방법으로는 구하려는 숫자 왼쪽의 수가 5보다 크면 올림을 하고, 5보다 작으면 내림을 하는 방법이 있다. 5인 경우에는 반올림한 결과가 짝수가 될 때만 반올림을 하도록 한다.
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반올림의 중요성
반올림은 오차가 중요한 계산이나 문제에서 아주 중요한 역할을 한다. 특히 버니어 캘리퍼스나 나사 게이지 등의 정밀 측정 도구를 이용해 계산을 하는 경우에는 더 그렇다. 그 이유는, 세밀한 측정을 할 때는 측정하는 사람에 따라 무시할 수 있는 정도의 작은 오차가 거의 무조건 발생하기 때문이다. 이런 오차는 계산 결과의 값을 큰 폭으로 바꿀 수도 있다. 게다가 한 번 측정에 미세한 오차가 생겨 점점 오차가 축적되게 되면 돌이킬 수 없을 정도로 결과값이 오차범위를 벗어날 것이다. 따라서 반올림을 통해 의미없는 정확성은 낮추고 계산의 혼란을 줄이려는 것이다. 오차는 항상 최소한으로 줄여야 하는데, 하나 예를 들어 설명하자면 오차범위가 +/- 0.003인 경우 소수점 아래 세 번째 자리의 정확도가 낮다는 것을 뜻한다. 따라서 결과값에서는 반올림을 통해 소수점 둘째 자리로 값을 나타내 정확도를 높이고 헷갈림을 방지해 논리적인 답을 얻는 것이다.
경고
- 소수를 놓고 반올림을 할 때는 자릿수를 착각하지 않게 주의를 기울여 계산한다. 특히 영어에서는 소수점 왼쪽과 오른쪽의 수를 쓸 때 스펠링이 아주 비슷하기 때문에 학생들의 실수가 잦은 편이다. 영어 수학 문제를 풀고 있다면 자릿수를 설명할 때 끝에 "th"가 붙는지 안 붙는지 확인하도록 한다. 붙는다면 소수점 아래를 뜻하는 것이다.
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출처
- ↑ http://www.mathsisfun.com/rounding-numbers.html
- ↑ http://www.dummies.com/how-to/content/how-to-round-numbers.html
- ↑ http://www.mathsisfun.com/rounding-numbers.html
- ↑ http://www.dummies.com/how-to/content/how-to-round-numbers.html
- ↑ http://www.dummies.com/how-to/content/how-to-round-numbers.html
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/rounding2.htm
- ↑ http://www.mathsisfun.com/rounding-numbers.html
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/rounding3.htm
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/rounding2.htm
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