Pdf downloaden
Pdf downloaden
Inverse functies kunnen zeer nuttig zijn bij het oplossen van tal van wiskundige problemen. In staat zijn om een functie te nemen en zijn inverse functie te vinden is een krachtig hulpmiddel. Met kwadratische vergelijkingen kan dit echter een vrij ingewikkeld proces zijn. Eerst moet je de vergelijking zorgvuldig definiëren, door een geschikt domein en bereik te bepalen. Vervolgens heb je de keuze uit drie methoden om de inverse functie te berekenen. De keuze van de methode is vooral een kwestie van persoonlijke voorkeur.
Stappen
-
Zoek een functie in de vorm van . Als je de 'juiste' soort functie hebt om mee te beginnen, kun je de inverse vinden met wat eenvoudige algebra. Deze vorm is een soort variatie op . Als je dit vergelijkt met een standaard kwadratische functie, , zie je dat de middelste term ontbreekt. Een andere manier om dit te zeggen is dat de waarde van b gelijk is aan nul. Als je functie deze vorm heeft, is het vinden van de inverse vrij eenvoudig.
- Jouw beginfunctie hoeft er niet precies zo uit te zien als . Zolang je er naar kunt kijken en kunt zien dat de functie alleen bestaat uit termen en constante getallen, zal je deze methode kunnen gebruiken.
- Stel dat je begint met de vergelijking . Een snel onderzoek van deze vergelijking leert dat er geen termen van tot de eerste macht zijn. Deze vergelijking is een kandidaat voor deze methode om een inverse functie te vinden.
-
Vereenvoudig door het combineren van gelijke termen. De beginvergelijking kan meerdere termen hebben in een combinatie van optellen en aftrekken. Je eerste stap is het combineren van gelijke termen om de vergelijking te vereenvoudigen en te herschrijven in het standaard formaat .
- Neem de voorbeeldvergelijking , waarbij de y-termen naar links gebracht kunnen worden door van beide zijden een y af te trekken. De andere termen kunnen naar de rechterkant gebracht worden door aan beide kanten 6 op te tellen en van beide kanten af te trekken. De resulterende vergelijking is .
-
Bepaal het domein en het bereik van de vereenvoudigde functie. Herinner je dat het domein van een functie bestaat uit de mogelijke waarden van x die kunnen worden toegepast om een reële oplossing te geven. Het bereik van een functie bestaat uit de waarden van y die het resultaat zullen zijn. Om het domein van de functie te bepalen, zoek je naar waarden die een wiskundig onmogelijk resultaat opleveren. Het domein geef je dan aan als alle andere waarden van x. Om het bereik te vinden, beschouw je de waarden van y op willekeurige grenspunten en kijk je naar het gedrag van de functie. [1] X Bron
- Bekijk de voorbeeldvergelijking . Er is geen beperking op de toegestane waarden van x voor deze vergelijking. Je moet echter beseffen dat dit de vergelijking van een parabool is, met x=0 als middelpunt, en een parabool is geen functie omdat hij niet bestaat uit een één-op-één vergelijking van x- en y-waarden. Om deze vergelijking te beperken en er een functie van te maken, waarvoor we een inverse kunnen vinden, moeten we het domein definiëren als x≥0.
- Het bereik is op dezelfde manier begrensd. Merk op dat de eerste term, , altijd positief of 0 zal zijn, voor elke waarde van x. Als de vergelijking dan +2 optelt, zal het bereik elke waarde y≥2 zijn.
- Het definiëren van het domein en het bereik in dit vroege stadium is noodzakelijk. Je zult deze definities later gebruiken bij het definiëren van het domein en bereik van de inverse functie. In feite wordt het domein van de oorspronkelijke functie het bereik van de inverse functie, en het bereik van de oorspronkelijke functie wordt het domein van de inverse. [2] X Bron
-
Verwissel de rollen van de x- en y-termen. Zonder de vergelijking op een andere manier te veranderen, moet je alle vormen van y door een x vervangen, en alle vormen van x door een y. Dit is de stap die de vergelijking daadwerkelijk 'inverteert'. [3] X Bron
- Werkend met de voorbeeldvergelijking , zal deze inversiestap resulteren in de nieuwe vergelijking van .
- Een alternatieve indeling is om de y-termen te vervangen door x, maar de x-termen te vervangen door ofwel of om de inverse functie aan te geven.
-
Herschrijf de omgekeerde vergelijking in termen van y. Gebruikmakend van een combinatie van algebraïsche stappen, en ervoor zorgend dat aan beide kanten van de vergelijking dezelfde bewerking wordt uitgevoerd, zal je de variabele y moeten isoleren. Voor de vergelijking , ziet deze revisie er als volgt uit: [4] X Bron
- (oorspronkelijk uitgangspunt)
- (trek 2 van beide kanten af)
- (deel beide zijden door 2)
- ± (vierkantswortel van beide zijden; onthoud dat de vierkantswortel resulteert in zowel positieve als negatieve mogelijke antwoorden)
-
Bepaal het domein en het bereik van de inverse functie. Onderzoek, zoals in het begin, de geïnverteerde vergelijking om het domein en bereik te bepalen. Met twee mogelijke oplossingen, kies je de oplossing die een domein en bereik heeft die de inverse zijn van het oorspronkelijke domein en bereik. [5] X Bron
- Bekijk de oplossing van de voorbeeldvergelijking ± . Omdat de vierkantswortel functie niet gedefinieerd is voor negatieve waarden, moet de term altijd positief zijn. Daarom moeten de toegestane waarden van x (het domein) x≥2 zijn. Met dat als domein zijn de resulterende waarden van y (het bereik) ofwel alle waarden y≥0, als je de positieve oplossing van de vierkantswortel neemt, ofwel y≤0, als je de negatieve oplossing van de vierkantswortel neemt. Bedenk dat je, om de inverse functie te kunnen vinden, het domein oorspronkelijk gedefinieerd hebt als x≥0. Daarom is de juiste oplossing voor de inverse functie de positieve optie.
- Vergelijk het domein en bereik van de inverse met het domein en bereik van het origineel. Herinner je dat voor de oorspronkelijke functie, , het domein gedefinieerd was als alle waarden van x≥0, en het bereik gedefinieerd was als alle waarden y≥2. Voor de inverse functie, nu, wisselen deze waarden, en is het domein alle waarden van x≥2, en het bereik alle waarden van y≥0.
-
Controleer of je inverse functie werkt. Om zeker te zijn dat je werk correct is en je inverse de juiste vergelijking is, kies je een willekeurige waarde voor x en plaats je die in de originele vergelijking om y te vinden. Zet dan die waarde van y op de plaats van x in je inverse vergelijking, en kijk of je het getal krijgt waarmee je begon. Als dat zo is, is je inverse functie correct. [6] X Bron
- Als voorbeeld kies je de waarde x=1 voor de oorspronkelijke vergelijking . Dit geeft het resultaat y=4.
- Vervolgens plaats je de waarde 4 in de inverse functie . Dit geeft inderdaad het resultaat y=1. Je kunt concluderen dat je inverse functie correct is.
Advertentie
-
Geef de kwadratische vergelijking de juiste vorm. Om de inverse te vinden, moet je beginnen met de vergelijking van de vorm . Indien nodig moet je gelijksoortige termen combineren om de vergelijking in dit formaat te krijgen. Met de vergelijking op deze manier geschreven, kun je er wat meer over vertellen. [7] X Bron
- Het eerste wat je zult opmerken is de waarde van de coëfficiënt a. Als a>0, dan definieert de vergelijking een parabool waarvan de uiteinden naar boven wijzen (dalparabool). Als a<0, dan definieert de vergelijking een parabool waarvan de uiteinden naar beneden wijzen (bergparabool). Merk op dat a≠0. Als dit niet zo was, dan zou dit een lineaire functie zijn en geen kwadratische.
-
Herken de standaardindeling van de kwadratische. Voordat je de inverse functie kunt vinden, moet je de vergelijking herschrijven in het standaardformaat. Het standaardformaat voor een kwadratische functie is . De numerieke termen a, h en k zullen worden uitgewerkt als je de vergelijking transformeert door het uitwerken van het kwadraat. [8] X Bron
- Merk op dat deze standaardvorm bestaat uit een perfecte kwadratische term, , die vervolgens wordt aangepast door de andere twee elementen a en k. Om tot deze perfecte kwadratische vorm te komen, zal je bepaalde voorwaarden moeten scheppen in je kwadratische vergelijking.
-
Denk terug aan de vorm van een perfect kwadratische functie. Bedenk dat een kwadratische functie die een perfect kwadraat is, ontstaat door twee binomialen van , of . Als je deze vermenigvuldiging uitvoert, krijg je als resultaat . De eerste term van de kwadratische is dus de eerste term van het binomium, in het kwadraat, en de laatste term van de kwadratische is het kwadraat van de tweede term van het binomium. De middelste term bestaat uit tweemaal het product van de twee termen, in dit geval . [9] X Bron
- Om het kwadraat te voltooien, werk je in omgekeerde volgorde. Je begint met en een tweede x-term. Uit de coëfficiënt van die term, die je kunt definiëren als '2b', moet je zien te vinden. Dit vereist een combinatie van delen door twee en dan de kwadratuur van dat resultaat.
-
Zorg ervoor dat de coëfficiënt van 1 is. Herinner je de oorspronkelijke vorm van de kwadratische functie . Als de eerste coëfficiënt iets anders is dan 1, dan moet je alle termen door die waarde delen, om a=1 te stellen. [10] X Bron
- Neem bijvoorbeeld de kwadratische functie . Je kunt dit vereenvoudigen door alle termen door 2 te delen, om de resulterende functie te krijgen. De coëfficiënt 2 blijft buiten de haakjes en zal deel uitmaken van je uiteindelijke oplossing.
- Als alle termen geen veelvouden zijn van a, krijg je fractionele coëfficiënten. Bijvoorbeeld: de functie zal vereenvoudigd worden tot . Werk de breuken zorgvuldig uit.
-
Zoek de helft van de middelste coëfficiënt en kwadrateer die. Je hebt al de eerste twee termen van de kwadratische formule. Dit zijn de term en de coëfficiënt die voor de x-term staat. Door die coëfficiënt te nemen als de waarde die hij heeft, kun je het getal optellen of aftrekken dat nodig is om een perfect kwadraat te maken. Herinner je van hierboven dat de vereiste derde term van het kwadraat deze tweede coëfficiënt is, gedeeld door twee, en dan gekwadrateerd. [11] X Bron
- Bijvoorbeeld: als de eerste twee termen van je kwadratische functie zijn, dan vind je de benodigde derde term door 3 te delen door 2 (of 3/2), en dat vervolgens te kwadrateren, om 9/4 te krijgen. De kwadratische is een perfect kwadraat.
- Een ander voorbeeld: stel dat de eerste twee termen zijn. De helft van de middelste term is -2, en dan kwadrateer je die om 4 te krijgen. Het resulterende perfecte kwadraat is .
-
Voeg toe én trek tegelijkertijd af van de benodigde derde term. Dit is een lastig concept, maar het werkt. Door hetzelfde getal op verschillende plaatsen van je functie op te tellen en af te trekken, verander je eigenlijk niets aan de waarde van de functie. Door dit te doen krijg je echter wel je functie in de juiste vorm. [12] X Bron
- Stel je hebt de functie . Zoals hierboven vermeld, gebruik je de eerste twee termen om het kwadraat te voltooien. Met behulp van de middelste term van -4x, genereer je een derde term +4. Voeg 4 toe en trek 4 af van de vergelijking, in de vorm . De haakjes zijn alleen geplaatst om de tweedegraads kwadratische vergelijking die je maakt te definiëren. Let op de +4 binnen de haakjes en de -4 aan de buitenkant. Vereenvoudig de getallen tot het resultaat .
-
Ontbind de tweedegraadsvergelijking in factoren. De veelterm tussen haakjes is een vierkantsvergelijking, die je kan herschrijven als . In het voorbeeld uit de vorige stap ( ) ontbind je de kwadratische factor in . Neem de rest van de vergelijking over, zodat je oplossing wordt. Dit is dezelfde functie als je oorspronkelijke kwadratische vergelijking ( ), herschreven als de standaardvorm . [13] X Bron
- Merk op dat voor deze functie geldt dat a=1, h=2 en k=5. De waarde van het schrijven van de vergelijking in deze vorm is dat a, omdat hij positief is, je vertelt dat de parabool naar boven wijst. De waarden (h, k) geven het toppunt aan de onderkant van de parabool aan, als je er een grafiek van zou willen maken.
-
Definieer het domein en bereik van de functie. Het domein is de verzameling van x-waarden die gebruikt kunnen worden als invoer in de functie. Het bereik is de verzameling van y-waarden die de uitkomst kunnen zijn. Bedenk dat een parabool geen functie is met een definieerbare inverse, omdat er geen één-op-één relatie is tussen x-waarden en y-waarden, als gevolg van de symmetrie van de parabool. Om dit probleem op te lossen, moet je het domein definiëren als alle waarden van x die groter zijn dan x=h, het toppunt van de parabool. [14] X Bron
- Werk verder met de voorbeeldfunctie . Omdat dit in standaardformaat is, kun je het toppunt bepalen als x=2, y=5. Om de symmetrie te vermijden, werkt je dus alleen met de rechterkant van de grafiek, en stel je het domein in als alle waarden x≥2. Invoegen van de waarde x=2 in de functie geeft als resultaat y=5. Je ziet dat de waarden van y zullen toenemen naarmate x toeneemt. Daarom is het bereik van deze vergelijking y≥5.
-
Wissel de x en y-waarden om. Dit is de stap waar je begint met het vinden van de inverse vorm van de vergelijking. Laat de vergelijking in zijn geheel staan, behalve het verwisselen van deze variabelen. [15] X Bron
- Werk verder met de functie . Voeg x in op de plaats van f(x), en voeg y (of f(x), als je dat liever hebt) in op de plaats van x. Dit geeft als nieuwe functie .
-
Herschrijf de omgekeerde vergelijking in termen van y. Gebruikmakend van een combinatie van algebraïsche stappen, en ervoor zorgend dat je aan beide kanten van de vergelijking dezelfde bewerking gelijkmatig uitvoert, isoleer je de variabele y. Voor de werkvergelijking ziet deze revisie er als volgt uit: [16] X Bron
- (oorspronkelijk beginpunt)
- (trek 5 af van beide kanten)
- ± (vierkantswortel van beide zijden; denk eraan dat de vierkantswortel zowel positieve als negatieve mogelijke antwoorden oplevert)
- ± (tel 2 op bij beide zijden)
-
Bepaal het domein en het bereik van de inverse functie. Onderzoek, net als in het begin, de omgekeerde vergelijking om het domein en bereik te bepalen. Met twee mogelijke oplossingen kies je de oplossing die een domein en bereik heeft die de inverse zijn van het oorspronkelijke domein en bereik. [17] X Bron
- Bekijk de oplossing van de voorbeeldvergelijking ± . Omdat de vierkantswortel functie niet gedefinieerd is voor negatieve waarden, moet de term altijd positief zijn. Daarom moeten de toegestane waarden van x (het domein) x≥5 zijn. Met dat als domein zijn de resulterende waarden van y (het bereik) ofwel alle waarden y≥2 (als je de positieve oplossing van de vierkantswortel neemt), ofwel y≤2 (als je de negatieve oplossing van de vierkantswortel kiest). Bedenk dat je het domein oorspronkelijk gedefinieerd hebt als x≥2, om de inverse functie te kunnen vinden. Daarom is de juiste oplossing voor de inverse functie de positieve optie.
- Vergelijk het domein en bereik van de inverse met het domein en bereik van het origineel. Herinner je dat voor de oorspronkelijke functie het domein gedefinieerd was als alle waarden van x≥2, en het bereik gedefinieerd was als alle waarden y≥5. Voor deze inverse functie wisselen deze waarden, en het domein is nu alle waarden van x≥5, en het bereik is alle waarden van y≥2.
-
Controleer of je inverse functie werkt. Om er zeker van te zijn dat je werk correct is en je inverse de juiste vergelijking is, kies je een willekeurige waarde voor x en plaats je die in de oorspronkelijke vergelijking om y te vinden. Zet die waarde van y dan op de plaats van x in je inverse vergelijking, en kijk of je het getal krijgt waarmee je begon. Zo ja, dan is je inverse functie correct. [18] X Bron
- Kies als voorbeeld de waarde x=3 om in de oorspronkelijke vergelijking te verwerken. Dit geeft het resultaat y=6.
- Vervolgens verwerk je y=6 in de inverse functie . Dit geeft als resultaat y=3, en dat is het getal waarmee je begon. Je kunt concluderen dat je inverse functie correct is.
Advertentie
-
Gebruik de kwadratische formule voor het oplossen van x. Vergeet niet dat er, bij het oplossen van kwadratische vergelijkingen, één methode is om ze te ontbinden in factoren (indien mogelijk). Als ontbinden in factoren niet werkte, dan kon je de kwadraatformule gebruiken, die de echte oplossingen voor elke kwadratische vergelijking zou geven. Je kunt de kwadraatformule ook gebruiken als een methode om inverse functies te vinden. [19] X Bron
- De kwadraatformule is x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a.
- Merk op dat de kwadraatformule twee mogelijke oplossingen oplevert, een positieve en een negatieve. Je zult deze keuze maken op basis van het bepalen van het domein en het bereik van de functie.
-
Begin met een kwadratische vergelijking om de inverse te vinden. Je kwadratische vergelijking moet beginnen in het formaat . Neem de algebraïsche stappen die nodig zijn om je vergelijking in die vorm te krijgen. [20] X Bron
- Voor dit gedeelte van dit artikel, gebruik je de voorbeeldvergelijking .
-
Bepaal de grafiek van de vergelijking om het domein en het bereik te bepalen. Bepaal de grafiek van de functie, hetzij met behulp van een grafische rekenmachine of door verschillende punten uit te zetten tot je de parabool kunt tekenen. Je zult zien dat deze vergelijking een parabool definieert met het hoogste punt op (-1,-4). Om dit dus te definiëren als een functie die een inverse zal hebben, definieer je het domein als alle waarden van x≤-1. Het bereik is dan alle waarden y≥-4. [21] X Bron
-
Verwissel de variabelen x en y. Om de inverse te vinden, verwissel je de variabelen x en y. Laat de vergelijking onveranderd, behalve dat je de variabelen omwisselt. In dit stadium vervang je x door f(x). [22] X Bron
- Uitgaande van de werkvergelijking , geeft dit het resultaat .
-
Stel de linkerkant van de vergelijking gelijk aan nul. Herinner je dat om de kwadratische formule te gebruiken, je de vergelijking gelijk moet stellen aan nul, en dan de coëfficiënten in de formule moet gebruiken. Op dezelfde manier begint deze methode om een inverse functie te vinden met het gelijk aan nul stellen van de vergelijking.
- Voor de voorbeeldvergelijking: om de linkerkant gelijk aan nul te krijgen, moet je x van beide kanten van de vergelijking aftrekken. Dit geeft het resultaat .
-
Herdefinieer de variabelen zodat ze passen in de kwadraatformule. Deze stap is een beetje lastig. Weet dat de kwadraatformule oplost voor x, in de vergelijking . Dus, om de vergelijking die je nu hebt, , in overeenstemming te brengen met die indeling, moet je de termen als volgt herdefiniëren: [23] X Bron
- Laat . Dus, x=1
- Laat . Dus, b=2
- Laat . Dus, c=(-3-x)
-
Los de kwadraatformule op met deze opnieuw gedefinieerde waarden. Normaal gesproken zou je de waarden van a, b en c in de kwadraatformule verwerken om op te lossen voor x. Vergeet echter niet dat je eerder x en y hebt verwisseld om de van de inverse functie te vinden. Wanneer je dus de kwadraatformule gebruikt om x op te lossen, ben je eigenlijk y aan het oplossen, of de f-inverse. De stappen van het oplossen van de kwadraatformule werken als volgt: [24] X Bron
- x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a
- x=(-2)±√((-2)^2-4(1)(-3-x)) / 2(1)
- x=((-2)±√(4+12+4x))/2
- x=(-2±√(16+4x))/2
- x=(-2±√(4)(4+x))/2
- x=-2±2√(4+x))/2
- x=-1±√(4+x)
- f-inverse = -1±√(4+x) (Deze laatste stap is mogelijk omdat je in een eerder stadium f(x) hebt omgewisseld voor de variabele x).
-
Schrijf de twee mogelijke oplossingen op. Merk op dat de kwadraatformule twee mogelijke uitkomsten geeft, met behulp van het ±-symbool. Schrijf de twee afzonderlijke oplossingen uit om het makkelijker te maken het domein en bereik te bepalen en de juiste eindoplossing te geven. Deze twee oplossingen zijn: [25] X Bron
-
Bepaal het domein en het bereik van de inverse functie. Merk op dat, om de vierkantswortel te definiëren, het domein x≥-4 moet zijn. Herinner je dat het domein van de originele functie x≤-1 was en het bereik y≥-4. Om de inverse functie te kiezen die overeenkomt, moet je de tweede oplossing, kiezen als de juiste inverse functie. [26] X Bron
-
Controleer of je inverse functie klopt. Om er zeker van te zijn dat je werk correct is en je inverse de juiste vergelijking is, kies je een willekeurige waarde voor x en zet je die in de oorspronkelijke vergelijking, om y te vinden. Zet vervolgens die waarde van y op de plaats van x in je inverse vergelijking, en kijk of je het getal krijgt waarmee je begon. Zo ja, dan is je inverse functie correct. [27] X Bron
- Uitgaande van de oorspronkelijke functie , kies je x=-2. Dit geeft als resultaat y=-3. Substitueer nu de waarde van x=-3 in de inverse functie, . Dit levert -2 als resultaat op, wat inderdaad de waarde is waarmee je bent begonnen. Je definitie van de inverse functie is dus correct.
Advertentie
Bronnen
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ http://www.personal.kent.edu/~bosikiew/Algebra-handouts/quad-stand.pdf
- ↑ http://www.personal.kent.edu/~bosikiew/Algebra-handouts/quad-stand.pdf
- ↑ http://www.personal.kent.edu/~bosikiew/Algebra-handouts/quad-stand.pdf
- ↑ http://www.personal.kent.edu/~bosikiew/Algebra-handouts/quad-stand.pdf
- ↑ http://www.personal.kent.edu/~bosikiew/Algebra-handouts/quad-stand.pdf
- ↑ http://www.personal.kent.edu/~bosikiew/Algebra-handouts/quad-stand.pdf
- ↑ http://www.personal.kent.edu/~bosikiew/Algebra-handouts/quad-stand.pdf
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
- ↑ https://www.chilimath.com/algebra/advanced/inverse/find-inverse-quadratic-function.html
Over dit artikel
Deze pagina is 2.649 keer bekeken.
Advertentie
Meld je aan voor de gratis nieuwsbrief van wikiHow!
Je vindt dan elke week handige handleidingen in je inbox.
Meld me aan!
