Comment déterminer la réciproque d'une fonction du second degré

Coécrit par Grace Imson, MA

En mathématiques, l'étude des fonctions affines, linéaires, trigonométriques… occupe une grande place. Très fréquemment, ceux qui les étudient utilisent la fonction réciproque pour résoudre telle ou telle question d'un problème. Quand l'équation de la droite est du second degré, la détermination de sa fonction réciproque est quelque peu délicate. En premier lieu, vous devez établir sans vous tromper le domaine de définition de la fonction, ainsi que l'ensemble des images. Cela fait, vous avez à votre disposition trois méthodes pour établir une fonction réciproque. L'utilisation de l'une ou de l'autre de ces méthodes dépend certes du problème, mais aussi de votre propre choix.

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:

Déterminer la fonction réciproque d'une fonction simple

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1
Prenez une fonction simple du second degré. Prenez, par exemple, une fonction du type $y=ax^{2}+c$ . C'est mieux pour comprendre comment on détermine une fonction réciproque. Cette fonction, $y=ax^{2}+c$ , est bien une fonction du second degré, de type $y=ax^{2}+bx+c$ , simplement il y manque le terme du milieu, $bx$ . En fait, vous avez une fonction dans laquelle b = 0. Pour commencer, il est plus commode d'avoir une telle fonction raccourcie.
- Si la fonction choisie n'est pas strictement de la forme $y=ax^{2}+c$ , ce n'est pas grave. Au minimum, vous pouvez même choisir la fonction la plus réduite qui soit, à savoir $y=x^{2}$ (b = c = 0). La méthode qui suit fonctionnera tout aussi bien.
- Admettons que vous partiez de la fonction dont l'équation, un peu compliquée, soit : $2y-6+x^{2}=y+3x^{2}-4$ . Après un rapide examen, vous vous apercevez que cette équation ne contient aucun terme du premier degré (du type $bx$ ). Vous allez donc pouvoir appliquer la méthode qui suit.
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2
Arrangez l'équation. Ramenez-la à sa plus simple expression en combinant les termes de même degré. Faites passer les termes d'un côté ou de l'autre, en n'oubliant pas de changer les signes, de façon à avoir à la fin une équation du type $y=ax^{2}+c$ .
- Reprenons notre exemple. Nous partons donc de l'équation $2y-6+x^{2}=y+3x^{2}-4$ . Faites passer tous les y à gauche, et tous les termes du second degré et les constantes à droite. Vous obtenez : $2y-y=3x^{2}-4+6-x^{2}$ , soit après calculs $y=2x^{2}+2$ .
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3
Déterminez le domaine de définition et l'ensemble image de la fonction. Le domaine de définition d'une fonction ƒ est l'ensemble de tous les réels x pour lesquels ƒ(x) existe ou est calculable. L'ensemble image d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs que peut prendre y . Pour établir le domaine de définition d'une fonction, vous devez trouver toutes les valeurs interdites pour cette fonction et ne retenir finalement que les autres. Pour établir l'ensemble image d'une fonction, vous devez trouver toutes les valeurs de y en cherchant d'abord l'ordonnée du sommet et en testant quelques points particuliers ^{[1]
X
Source de recherche} .
- Reprenons notre exemple $y=2x^{2}+2$ . L'inconnue x peut ici prendre toutes les valeurs, positives comme négatives, il n'y a aucune interdiction. C'est l'équation d'une parabole dont l'axe de symétrie est x = 0. Or, la réciproque d'une fonction polynomiale du second degré n'est pas une fonction, nous devons donc limiter le domaine de définition à toutes les valeurs de x supérieures ou égales à 0 (x≥0).
- L'ensemble image est par voie de conséquence lui aussi limité. Notez d'ores et déjà que le premier terme, $2x^{2}$ , sera, quel que soit x , toujours positif ou nul. Comme l'équation montre qu'il faut ajouter 2, l'ensemble image comprend toutes les valeurs de y supérieures ou égales à 2 (y≥2).
- L'établissement du domaine de définition et de l'ensemble image est nécessaire à ce stade précoce, car ils sont intimement liés à ceux de la fonction réciproque. Expliquons-nous : le domaine de définition de la fonction de départ devient l'ensemble image de la fonction réciproque, et l'ensemble image de la fonction de départ devient le domaine de définition de la fonction réciproque ^{[2]
  X
  Source de recherche} .
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4
Inversez x et y . Sans rien changer d'autre, mettez x à la place de y et y à la place de x . Cette opération éclaire un peu mieux l'appellation de « fonction inverse » à laquelle on préfèrera celle de « fonction réciproque » ^{[3]
X
Source de recherche} .
- Reprenons notre exemple, la fonction $y=2x^{2}+2$ . En inversant x et y , on obtient : $x=2y^{2}+2$ .
- La fonction réciproque s'écrit de différentes façons, mais si la fonction de départ est appelée $f(x)$ , alors la façon plus courante est d'appeler la fonction réciproque $f^{{-1}}(x)$
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5
Récrivez l'équation en isolant y . L'opération se fait en mettant en œuvre les mêmes opérations sur les deux membres, le but étant d'isoler y . Toute opération faite d'un côté doit l'être de l'autre. Si l’on reprend l'équation $x=2y^{2}+2$ , l'isolement de y s'obtient de la façon suivante ^{[4]
X
Source de recherche} :
- $x=2y^{2}+2$ (c'est l'équation de la fonction réciproque),
- $x-2=2y^{2}$ (vous soustrayez 2 de chaque côté),
- ${\frac {x-2}{2}}=y^{2}$ (vous divisez par 2 de chaque côté),
- $y=\pm {\sqrt {{\frac {x-2}{2}}}}$ (vous prenez la racine carrée des deux membres, en n'oubliant pas qu'une racine admet deux solutions, l'une est positive et l'autre, négative).
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6
Déterminez les deux ensembles. Établissez le domaine (ou l'ensemble) de définition et l'ensemble image de la fonction réciproque. C'est la même démarche qui a été faite pour la fonction de départ. Comme il y a deux équations réciproques possibles, vous devez choisir celle qui a un domaine de définition et un ensemble image qui ne vont pas à l'encontre du domaine de définition et de l'ensemble image de la fonction de départ ^{[5]
X
Source de recherche} .
- Reprenons l'exemple ci-dessus. On a donc deux solutions possibles : $y={\sqrt {{\frac {x-2}{2}}}}$ ou $y=-{\sqrt {{\frac {x-2}{2}}}}$ . Dans une fonction avec une racine carrée, le radicande, ici ${\frac {x-2}{2}}$ , doit être positif ou nul. Le domaine de cette fonction comprend donc toutes les valeurs de x telles que x≥2. Partant de ce constat, si vous optez pour l'équation positive, l'ensemble des images de cette fonction réciproque renferme toutes les valeurs de y qui sont supérieures à 0 (y≥0),mais si vous optez pour l'équation négative, l'ensemble des images ne renferme que des valeurs inférieures à 0 (y≤0). Souvenez-vous : pour pouvoir trouver la fonction réciproque, nous avons établi que le domaine de définition ne devait contenir que des valeurs positives (x≥0). Par comparaison, seule peut être retenue l'équation positive, c'est-à-dire $y={\sqrt {{\frac {x-2}{2}}}}$ .
- Comparez les domaines de définition et les ensembles images. Il y a un lien entre les deux domaines de définition de la fonction et de sa réciproque, comme il y en a un entre leurs ensembles images. Notre fonction de départ, $y=2x^{2}+2$ , a un domaine de définition limité à toute valeur positive ou nulle (x≥0), et un ensemble image dans lequel toute valeur est supérieure ou égale à 2 (y≥2). Si l'on prend maintenant la fonction réciproque, les deux ensembles s'inversent : son domaine de définition comprend toute valeur supérieure à 2 (x≥2), et son ensemble image ne compte que des valeurs supérieures à 0 (y≥0).
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7
Vérifiez l'équation de la fonction réciproque. Pour ce faire, prenez pour x une valeur quelconque que vous insèrerez dans l'équation de départ. La valeur y que vous trouverez sera mise ensuite dans l'équation de la fonction réciproque à la place de x . Si tout est juste et si vous ne vous trompez pas dans les calculs, vous devriez retrouver la valeur de x choisie au départ ^{[6]
X
Source de recherche} .
- Pour faciliter les calculs, nous prendrons x = 1. L'équation étant donc $f(x)=2x^{2}+2$ , on a donc : $f(1)=(2\times 1)^{2}+2=4$ .
- Remplacez x par cette valeur (4) dans l'équation de la fonction réciproque $f^{{-1}}(x)={\sqrt {{\frac {x-2}{2}}}}$ . Vous devez calculer : $f^{{-1}}(4)={\sqrt {{\frac {4-2}{2}}}}$ , soit $f^{{-1}}(x)={\sqrt {{\frac {2}{2}}}}$ . Le résultat est $f^{{-1}}(x)={\sqrt {1}}=1$ et c'est bien la valeur prise au départ : l'équation de la fonction réciproque est donc juste.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:

Compléter le carré pour déterminer une fonction réciproque

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1
Écrivez l'équation du second degré sous une forme appropriée. Pour pouvoir trouver l'équation de la fonction réciproque, vous devez partir d'une équation qui se présente sous la forme $f(x)=ax^{2}+bx+c$ (forme développée réduite). Pour certaines équations, vous devrez arranger les termes pour qu'elles apparaissent sous cette forme. Ainsi présentées, vous pourrez mieux opérer et vous ne devriez pas vous tromper ^{[7]
X
Source de recherche} .
- La première chose à faire est de repérer le coefficient a . Si a>0, le graphe qui est une parabole s'ouvre vers le haut. Par contre, si a<0, alors la parabole s'ouvre vers le bas. Bien entendu, pour avoir une fonction du second degré, a doit être non nul (a≠0) sans quoi vous auriez une fonction linéaire (dont le graphe serait une droite).
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2
Mettez l'équation du second degré sous forme canonique. Pour cette nouvelle méthode, il faut mettre l'équation du second degré sous forme canonique, c'est-à-dire sous la forme suivante : $f(x)=a(x-h)^{2}+k$ . Les inconnues a , h et k apparaitront au fur et à mesure des calculs : c'est ce qu'on appelle « compléter le carré ^{[8]
X
Source de recherche} ».
- Comme vous le constatez la forme canonique est une somme, celle d'un carré parfait, $(x-h)^{2}$ , affecté d'un coefficient a et flanqué d'une constante k . Pour passer de la forme développée à la forme canonique, il faut faire subir à la première un certain nombre de modifications.
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3
Sachez reconnaitre une fonction qui est un carré parfait. Une fonction du second degré qui est un carré parfait s'écrit sous la forme d'un produit de deux binômes identiques, du type $(x+b)(x+b)$ , soit $(x+b)^{2}$ . Si vous développez cette expression, vous obtenez $x^{2}+2bx+b^{2}$ . Les premier et dernier termes de cette dernière sont obtenus en élevant respectivement au carré les premier et dernier termes du binôme. Quant au terme du milieu, il s'obtient en doublant le produit des deux termes du binôme, soit $2\times x\times b$ ^{[9]
X
Source de recherche} .
- Pour compléter le carré, vous allez devoir travailler en commençant par la fin. Vous allez démarrer à partir de $x^{2}$ et du terme du milieu $bx$ . Ce coefficient $b$ devra être dans un premier temps, et sous la condition qu'on verra après, divisé par 2, puis élevé au carré.
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4
Vérifiez que le coefficient de $x^{2}$ est 1. Toute fonction du second degré se présente sous la forme théorique $ax^{2}+bx+c$ . Si le premier coefficient n'est pas égal à 1, vous devez diviser tous les termes de l'équation pour faire en sorte que $a=1$ ^{[10]
X
Source de recherche} .
- Prenons la fonction du second degré $f(x)=2x^{2}+6x-4$ . Vous devez diviser tous les termes par 2 pour avoir une fonction qui présente un coefficient de 1 pour le terme au carré : $f(x)=2(x^{2}+3x-2)$ . Ce facteur 2 qui a été sorti ne sera pas oublié et servira à la fin.
- Si les coefficients des autres termes ne sont pas des multiples de a , vous vous retrouverez avec des coefficients fractionnaires. Prenons la fonction $f(x)=3x^{2}-2x+6$ , elle devient après factorisation de 3 : $f(x)=3({\frac {3x^{2}}{3}}-{\frac {2x}{3}}+{\frac {6}{3}})=3(x^{2}-{\frac {2}{3}}x+2)$ . Soyez attentif lors de cette phase de factorisation.
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5
Calculez le carré de la moitié du coefficient du terme du milieu. Partez de l'idée que vous avez déjà deux termes développés du carré parfait : $x^{2}$ et le coefficient ( b ) du terme en x . Pour l'étape suivante, pour compléter le carré, il vous faut le troisième terme, une constante, pour obtenir le carré parfait. Ce troisième terme, qui sera ajouté et soustrait à l'équation de départ, s'obtient en divisant le coefficient b par 2 et en élevant ce résultat au carré. ^{[11]
X
Source de recherche} .
- Ainsi, si les deux premiers termes de votre fonction du second degré sont $x^{2}+3x$ , vous trouverez le troisième terme en divisant 3 par 2 et en élevant le résultat (3/2) au carré, soit 9/4. Le polynôme $x^{2}+3x+{\frac {9}{4}}$ est un carré parfait : $(x+{\frac {3}{2}})^{2}$ .
- Prenons un autre exemple dans lequel les deux premiers termes sont $x^{2}-4x$ . Vous prenez la moitié de -4, soit -2, que vous élevez au carré, ce qui vous donne 4. Le polynôme $x^{2}-4x+4$ est un carré parfait : $(x-2)^{2}$ .
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6
Ajoutez et soustrayez le troisième terme. Le concept peut sembler étrange, voire illogique, mais il s'explique. Comme vous allez ajouter et soustraire un même terme, mais à des endroits différents de l'équation, cette dernière restera inchangée. Elle restera identique et vous pourrez la factoriser facilement ^{[12]
X
Source de recherche} .
- Supposons que vous ayez la fonction $f(x)=x^{2}-4x+9$ . Comme cela a été montré précédemment, vous partez des deux premiers termes pour trouver le troisième, ici c'est 4 (carré de la moitié du coefficient du deuxième terme). Ajoutez et soustrayez 4 dans l'équation, ce qui donne : $f(x)=(x^{2}-4x+4)+9-4$ . Vous noterez que nous avons placé des parenthèses pour faire apparaitre un carré parfait. Remarquez également que nous avons mis +4 à l'intérieur de la parenthèse et -4 à l'extérieur. Après calcul, vous avez l'équation $f(x)=(x^{2}-4x+4)+5$ .
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7
Factorisez l'intérieur des parenthèses. Le polynôme à l'intérieur des parenthèses est un carré parfait qui s'écrira sous la forme $(x+b)^{2}$ . Avec notre exemple, $f(x)=(x^{2}-4x+4)+5$ , on obtient effectivement $(x-2)^{2}$ . L'équation se présent désormais sous la forme canonique : $f(x)=(x-2)^{2}+5$ . Nous voulions qu'elle se présente sous la forme $f(x)=a(x-h)^{2}+k$ : c'est fait. Cette équation est la même que $f(x)=x^{2}-4x+9$ ^{[13]
X
Source de recherche} .
- Par analogie, vous avez $a=1$ , $h=2$ et $k=5$ . Si vous désirez tracer le graphe, vous remarquez que a (=1) est positif, la parabole s'ouvre vers le haut et le point de coordonnées (2,5) en est le sommet, ces coordonnées sont tout simplement $h$ et $k$
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8
Établissez le domaine de définition et l'ensemble image de la fonction. Le domaine de définition est donc l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles vous obtiendrez une valeur y . Quant à l'ensemble image , c'est celui des valeurs de y issues de l'équation. À cause de la symétrie d'une fonction polynomiale du second degré, la réciproque de cette dernière n'est pas une fonction, c'est pourquoi il faut limiter son domaine de définition à toutes les valeurs de x supérieures ou égales à h (x≥h), h étant l'abscisse du sommet de la parabole ^{[14]
X
Source de recherche} .
- Continuons avec la fonction vue plus haut, c'est-à-dire $f(x)=(x-2)^{2}+5$ . Comme elle est sous forme canonique, on peut déduire que le sommet est au point (2,5). Pour contourner le problème de la symétrie, on ne gardera que le côté droit de la courbe : le domaine de définition est donc tel que x≥2. Au point dont l'abscisse est 2 ( $x=2$ ), l'ordonnée vaut 5 (puisque $y=(2-2)^{2}+5=5$ ). Vous voyez donc que la fonction est croissante, donc l'ensemble image de cette équation ne contient que des valeurs y telles que y≥5.
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9
Intervertissez x et y . C'est la première étape de la détermination de la fonction réciproque. L'équation de départ reste inchangée, à l'exception de x et y qui sont interverties ^{[15]
X
Source de recherche} .
- Reprenons donc l'équation de départ : $f(x)=(x-2)^{2}+5$ . Mettez x à la place de f(x) (autre appellation de y) et y à la place de x . L'équation de la fonction réciproque est : $x=(y-2)^{2}+5$ .
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10
Récrivez l'équation de la réciproque. Le but est d'isoler y d'un côté. L'opération se fait en mettant en œuvre les mêmes opérations sur les deux membres, sinon vous déséquilibrerez l'équation. Si l’on reprend l'équation $x=(y-2)^{2}+5$ , l'isolement de y s'obtient de la façon suivante ^{[16]
X
Source de recherche} :
- $x=(y-2)^{2}+5$ (c'est l'équation de la fonction réciproque),
- $x-5=(y-2)^{2}$ (vous soustrayez 5 de chaque côté),
- $\pm {\sqrt {x-5}}=y-2$ (vous prenez la racine carrée des deux membres, en n'oubliant pas qu'une racine admet deux solutions, l'une est positive et l'autre, négative),
- $y=\pm {\sqrt {x-5}}+2$ (vous ajoutez 2 de chaque côté).
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11
Déterminez les deux ensembles. Établissez le domaine (ou l'ensemble) de définition et l'ensemble image de la fonction réciproque. Comme cela a été fait avec l'équation de départ, vous devez déterminer les deux domaines de définition et les deux ensembles images des fonctions réciproques potentielles. Vous ne garderez que la fonction qui a un domaine de définition identique à l'ensemble image de la fonction de départ ^{[17]
X
Source de recherche} .
- Reprenez les deux solutions. Vous avez $y={\sqrt {x-5}}+2$ et $y=-{\sqrt {x-5}}+2$ . Dans une fonction avec une racine carrée, le radicande, ici ${x-5}$ , doit être positif ou nul. Le domaine de ces deux fonctions est identique, ce sont toutes les valeurs de x telles que x≥5. Par contre, les ensembles images sont différents. Pour la première (positive), il renferme toutes les valeurs y telles que y≥2. Pour la seconde (négative), il renferme toutes les valeurs y telles que y≤2. Comme la fonction de départ était définie pour x≥2 et comme l'ensemble image de la fonction réciproque est le même que le domaine de définition de la fonction de départ, seule la première solution convient.
- Comparez les domaines de définition et des ensembles images. Comparez ceux de la fonction de départ et ceux de la fonction réciproque. La fonction de départ était définie pour x≥2 et son ensemble image ne contenait que des valeurs y telles que y≥5. Pour la fonction réciproque, c'est l'inverse : elle définit pour x≥5, et l'ensemble image ne contient que des valeurs y telles que y≥2.
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12
Vérifiez l'équation de la fonction réciproque. Pour ce faire, prenez pour x une valeur quelconque (de préférence simple, comme 1, 2 ou 3) que vous insèrerez dans l'équation de départ. La valeur y que vous trouverez sera mise dans l'équation de la réciproque à la place de x . Si tout est juste, vous devriez retrouver la valeur de x choisie au départ ^{[18]
X
Source de recherche} .
- Calculez, par exemple, $f(3)$ à partir de la fonction originelle. Vous obtenez : $f(3)=3^{2}-4(3)+9=9-12+9=6$ , soit $y=6$
- Calculez l'image de 6 avec la fonction réciproque ( $y={\sqrt {x-5}}+2$ ).Vous obtenez : $y={\sqrt {6-5}}+2={\sqrt {1}}+2=1-2=3$ . Ce résultat est bien la valeur que vous aviez prise au départ : l'équation réciproque que vous avez établie est donc la bonne.
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