Pdf downloaden
Pdf downloaden
Een vierkante piramide is een driedimensionaal figuur met een vierkante basis en driehoekige schuine zijden die in één punt boven de basis samenkomen. Indien de lengte is van een van de zijden van het vierkant en de hoogte van de piramide (de loodrechte afstand van basis tot dat punt), dan kan het volume van een vierkante piramide berekend worden met de formule . Het maakt niet uit of de piramide de grootte heeft van een presse-papier of groter is dan de Piramide van Gizeh – deze formule werkt voor elke vierkante piramide. Het volume kan ook worden berekend met behulp van de 'apothema' van de piramide.
Stappen
Methode 1
Methode 1 van 3:
Bepaal het volume met de oppervlakte van de basis en de hoogte
Pdf downloaden
-
Meet de lengte van de zijde van het grondvlak. Omdat vierkante piramides per definitie een vierkant hebben als grondvlak, horen alle zijden van het grondvlak gelijke lengte te hebben. Dus hoef je bij een vierkante piramide alleen maar de lengte te weten van een van de zijden. [1] X Bron
- Stel je hebt een piramide met een vierkante basis waarvan de zijden een lengte hebben van . Deze waarde ga je gebruiken voor het berekenen van de oppervlakte van het grondvlak.
- Zijn de zijden van het grondvlak niet gelijk in lengte, dan heb je een rechthoekige piramide in plaats van een vierkante piramide. De formule voor het volume van een rechthoekige piramide lijkt erg op de formule voor vierkante piramides. Indien de lengte is van het grondvlak van de rechthoekige piramide en de breedte, dan is het volume van de piramide .
-
Bereken de oppervlakte van het grondvlak. Om het volume te kunnen bepalen heb je eerst de oppervlakte nodig van het grondvlak. Dit doe je door het met elkaar vermenigvuldigen van de lengte en breedte van het grondvlak. Omdat het grondvlak van een vierkante piramide een vierkant is, hebben alle zijden dezelfde lengte, en is de oppervlakte van het grondvlak gelijk aan het kwadraat van de lengte van een van de zijden (en wordt dus met zichzelf vermenigvuldigd). [2] X Bron
- In het voorbeeld zijn de zijden van het grondvlak van de piramide allemaal 5 cm, en bereken je de oppervlakte van het grondvlak als volgt:
- Vergeet niet dat tweedimensionale oppervlaktes worden uitgedrukt in kwadraten – vierkante centimeters, meters, kilometers, enz.
- In het voorbeeld zijn de zijden van het grondvlak van de piramide allemaal 5 cm, en bereken je de oppervlakte van het grondvlak als volgt:
-
Vermenigvuldig de oppervlakte van het grondvlak met de hoogte van de piramide. Vervolgens vermenigvuldig je het basisoppervlak met de hoogte van de piramide. Ter herinnering, de hoogte is de afstand is de lengte van het lijnsegment vanaf de top van de piramide tot aan het grondvlak, in een rechte hoek. [3] X Bron
- In het voorbeeld stellen we dat de piramide een hoogte heeft van 9 cm. In dit geval vermenigvuldig je de oppervlakte van het grondvlak met deze waarde, als volgt:
- Vergeet niet dat volumes worden uitgedrukt in kubieke eenheden. In dit geval, omdat alle lineaire metingen centimeter zijn, is het volume in kubieke centimeter aangegeven.
- In het voorbeeld stellen we dat de piramide een hoogte heeft van 9 cm. In dit geval vermenigvuldig je de oppervlakte van het grondvlak met deze waarde, als volgt:
-
Deel dit antwoord door 3. Tenslotte bepaal je het volume van de piramide door de waarde die je net hebt gevonden (middels het vermenigvuldigen van de oppervlakte van de basis met de hoogte), te delen door 3. Hiermee heb je het volume van de vierkante piramide berekend. [4] X Bron
- In het voorbeeld, deel je 225 cm 3 door 3 met als antwoord 75 cm 3 voor het volume.
Advertentie
-
Meet de apothema van de piramide. Soms is niet de loodrechte hoogte van de piramide gegeven (of moet je die meten), maar de apothema. Met de apothema kun je de Stelling van Pythagoras gebruiken voor het berekenen van de loodrechte hoogte. [5] X Bron
- De apothema van een piramide is afstand van de top tot het middelpunt van een van de zijden van het grondvlak. Meet tot het middelpunt van een van de zijden en niet tot een van de hoeken van het grondvlak. Voor dit voorbeeld nemen we aan dat apothema 13 cm is en de lengte van een zijde van het grondvlak 10 cm.
- Vergeet niet dat de Stelling van Pythagoras kan worden uitgedrukt als de vergelijking , waarbij en de loodrechte benen zijn van de rechte driehoek en de hypotenusa.
-
Stel je een rechte driehoek voor. Om de Stelling van Pythagoras te kunnen gebruiken heb je een rechte driehoek nodig. Stel je een driehoek voor die de piramide doormidden deelt en loodrecht staat op het grondvlak van de piramide. De apothema van de piramide, genaamd , is de hypotenusa van deze rechte driehoek. De basis van deze rechte driehoek is de helft van de lengte van , de zijde van de vierkante basis van de piramide. [6] X Bron
-
Wijs variabelen toe aan de waarden. De Stelling van Pythagoras gebruikt de variabelen a, b en c, maar het is handig om die te vervangen door variabelen die betekenisvol zijn voor je opgave. De apothema neemt de plaats in van in de Stelling van Pythagoras. Het been van de rechte driehoek ( ), neemt de plaats in van Je gaat de hoogte bepalen van de piramide, welke de plek inneemt van in de Stelling van Pythagoras.
- Deze substitutie ziet er als volgt uit:
- Deze substitutie ziet er als volgt uit:
-
Gebruik de Stelling van Pythagoras voor het berekenen van de loodrechte hoogte. Gebruik de gemeten waarden en . Los daarna de vergelijking op:
- .....(oorspronkelijke vergelijking)
- .....(kwadrateer beide zijden)
- .....(waarden invullen)
- .....(breuk vereenvoudigen)
- .....(kwadraat vereenvoudigen)
- .....(aftrekken)
- .....(wortel vereenvoudigen)
-
Gebruik de hoogte en basis om het volume te berekenen. Nadat je deze berekeningen hebt toegepast op de Stelling van Pythagoras beschik je nu over de informatie die je nodig hebt voor het berekenen van het volume van de piramide. Gebruik de formule en los deze op, en zorg dat je het antwoord in vierkante eenheden geeft. [7] X Bron
- Uit de berekeningen leiden we af dat de hoogte van de piramide 12 cm is. Gebruik dit samen met de zijde van 10 cm van het grondvlak, om het volume van de piramide te berekenen:
Advertentie - Uit de berekeningen leiden we af dat de hoogte van de piramide 12 cm is. Gebruik dit samen met de zijde van 10 cm van het grondvlak, om het volume van de piramide te berekenen:
-
Meet de hoogte van de benen van de piramide. De hoogte van de benen is de lengte van de randen van de piramide, gemeten vanaf de top tot een van de hoeken van het grondvlak. Net zoals hierboven, gebruik je de Stelling van Pythagoras voor het berekenen van de loodrechte hoogte van de piramide. [8] X Bron
- In dit voorbeeld nemen we aan dat de hoogte van de benen 11 cm is en dat de loodrechte hoogte 5 cm is.
-
Stel je een rechte driehoek voor. Ook hierbij heb je weer een rechte driehoek nodig om de Stelling van Pythagoras te kunnen gebruiken. In dit geval, echter, is de onbekende waarde het grondvlak van de piramide. Bekend is de loodrechte hoogte en de hoogte van de benen. Stel je nu voor dat je de piramide diagonaal doorsnijdt van de ene hoek naar de andere hoek, en de figuur vervolgens opent, dan ziet het resulterende vlak eruit als een driehoek. De hoogte van die driehoek is de loodrechte hoogte van de piramide. Dit verdeelt de blootgelegde driehoek in twee symmetrische rechte driehoeken. De hypotenusa van elk van de rechte driehoeken is de hoogte van de benen van de piramide. Het grondvlak van elk van de rechte driehoeken is de helft van de diagonaal van het grondvlak van de piramide.
-
Wijs variabelen toe. Gebruik de denkbeeldige rechte driehoek en wijs waarden toe aan de Stelling van Pythagoras. Je kent de loodrechte hoogte, welke een zijde is van de Stelling van Pythagoras, . De hoogte van de benen van de piramide, vormt de hypotenusa van deze denkbeeldige rechte driehoek, en neemt derhalve de plaats in van . De onbekenden diagonaal van het grondvlak van de piramide is de resterende zijde van de rechte driehoek, Na het maken van deze substituties, ziet de vergelijking er als volgt uit:
-
Bereken de diagonaal van het vierkante grondvlak. Je moet de vergelijking anders ordenen om de variabele te isoleren, en daarna de waarde ervan uitrekenen. [9] X Bron
- ..........(aangepaste vergelijking)
- ..........(substitueer h 2 aan beide zijden)
- ..........(trek de vierkantswortel van beide zijden)
- ..........(vul de getallen in)
- ..........(vereenvoudig de kwadraten)
- ..........(waarden aftrekken)
- ..........(vereenvoudig de vierkantswortel)
- Verdubbel deze waarde om de diagonaal van het vierkante grondvlak van de piramide te bepalen. Aldus geldt dat de diagonaal van het grondvlak van de piramide 9,8 * 2 = 19,6 cm.
-
Bepaal de zijde van het grondvlak van de diagonaal. Het grondvlak van de piramide is een vierkant. De diagonaal van elk vierkant is gelijk aan de lengte van een van de zijden, maal wortel 2. En dus kun je de zijde van een vierkant vinden door de diagonaal te delen door wortel 2. [10] X Bron
- In dit piramide-voorbeeld is de diagonaal van het grondvlak 19,6 cm. Daarom is de zijde gelijk aan:
- In dit piramide-voorbeeld is de diagonaal van het grondvlak 19,6 cm. Daarom is de zijde gelijk aan:
-
Bereken het volume met behulp van de zijde en hoogte. Keer terug naar de oorspronkelijke formule om het volume te berekenen met behulp van de zijde en loodrechte hoogte. [11] X BronAdvertentie
Tips
- Bij een vierkante piramide zijn de loodrechte hoogte, apothema en de lengte van de rand van het grondvlak allemaal te berekenen met de Stelling van Pythagoras.
Advertentie
Bronnen
- ↑ http://www.mathsteacher.com.au/year10/ch14_measurement/25_pyramid/21pyramid.htm
- ↑ http://www.mathsteacher.com.au/year10/ch14_measurement/25_pyramid/21pyramid.htm
- ↑ http://www.mathsteacher.com.au/year10/ch14_measurement/25_pyramid/21pyramid.htm
- ↑ http://www.mathsteacher.com.au/year10/ch14_measurement/25_pyramid/21pyramid.htm
- ↑ http://mathworld.wolfram.com/SquarePyramid.html
- ↑ http://mathworld.wolfram.com/SquarePyramid.html
- ↑ http://mathworld.wolfram.com/SquarePyramid.html
- ↑ http://www.bbc.co.uk/schools/gcsebitesize/maths/geometry/pythagoras3drev1.shtml
- ↑ http://www.bbc.co.uk/schools/gcsebitesize/maths/geometry/pythagoras3drev1.shtml
Over dit artikel
Deze pagina is 2.199 keer bekeken.
Advertentie
Meld je aan voor de gratis nieuwsbrief van wikiHow!
Je vindt dan elke week handige handleidingen in je inbox.
Meld me aan!
