Das Volumen einer quadratischen Pyramide berechnen

unter Mitarbeit von Joseph Meyer

Eine quadratische Pyramide ist ein dreidimensionaler Körper, der aus einer quadratischen Grundfläche und schrägen dreieckigen Seiten besteht, die sich an einem Punkt über der Grundfläche treffen. Wenn $s$ für die Seitenlänge der Grundfläche steht und $h$ für die Höhe der Pyramide (der senkrechte Abstand von der Grundfläche bis zur Spitze), dann kann das Volumen einer quadratischen Pyramide mit der Formel $V={\frac {1}{3}}s^{2}h$ errechnet werden. Es spielt keine Rolle, ob die Pyramide die Größe eines Briefbeschwerers hat oder größer als die Große Pyramide von Giza ist – diese Formel funktioniert für jede quadratische Pyramide. Das Volumen kann auch anhand der sogenannten "Mantelhöhe" berechnet werden.

Methode 1

Methode 1 von 3:

Das Volumen anhand der Grundfläche und Höhe berechnen

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1
Miss die Seitenlänge der Grundfläche. Da quadratische Pyramiden per Definition quadratische Grundflächen haben, sollten alle Seiten der Grundfläche gleich lang sein. Deshalb musst du bei einer quadratischen Pyramide nur die Länge einer Seite herausfinden. ^{[1]
X
Forschungsquelle}
- Nehmen wir eine Pyramide, deren Grundfläche ein Quadrat mit einer Seitenlänge von $s=5{\text{cm}}$ ist. Das ist der Wert, den du verwenden wirst, um die Grundfläche herauszufinden.
- Wenn die Seiten der Grundfläche nicht gleich lang sind, hast du eine rechteckige Pyramide anstatt einer quadratischen Pyramide. Die Volumen-Formel für rechteckige Pyramiden ist sehr ähnlich wie die Formel für quadratische Pyramiden. Wenn $l$ die Länge der Grundfläche einer rechteckigen Pyramide darstellt und $w$ deren Breite, dann ist das Volumen der Pyramide $V={\frac {1}{3}}h*l*w$ .
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2
Berechne die Grundfläche. Um das Volumen herauszufinden, musst du zuerst die zweidimensionale Grundfläche berechnen. Das machst du, indem du die Länge der Grundfläche mal deren Breite nimmst. Weil die Grundfläche einer quadratischen Pyramide ein Quadrat ist, sind alle ihre Seiten gleich lang und die Grundfläche ist also eine Seitenlänge quadriert (mal sich selbst). ^{[2]
X
Forschungsquelle}
- In unserem Beispiel haben alle Seitenlängen der Grundfläche 5 cm und die kannst die Fläche so berechnen:
  - ${\text{Flaeche}}=s^{2}=(5{\text{cm}})^{2}=25{\text{cm}}^{2}$
- Vergiss nicht, dass zweidimensionale Flächen in Quadrateinheiten ausgedrückt werden - Quadratzentimeter, Quadratmeter, Quadratkilometer usw.
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3
Multipliziere die Grundfläche mit der Höhe der Pyramide. Als nächstes multiplizierst du die Grundfläche mit der Höhe der Pyramide. Zur Erinnerung: die Höhe ist die Linie, die von der Spitze der Pyramide zur Grundfläche reicht und die auf beiden Seiten rechte Winkel hat. ^{[3]
X
Forschungsquelle}
- Für unser Beispiel nehmen wir an, dass die Pyramide eine Höhe von 9 cm hat. In diesem Fall multiplizierst du die Grundfläche wie folgt mit diesem Wert:
  - $25{\text{cm}}^{2}*9{\text{cm}}=225{\text{cm}}^{3}$
- Vergiss nicht, dass Volumen in Kubikeinheiten ausgedrückt wird. In diesem Fall ist das Volumen in Kubikzentimetern, weil alle linearen Abmessungen in Zentimetern sind.
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4
Dividiere diese Lösung durch 3. Zu guter Letzt berechnest du das Volumen der Pyramide, indem du den eben herausgefundenen Wert (Grundfläche mal Höhe) durch 3 dividierst. Dadurch bekommst du eine Endlösung, die das Volumen der quadratischen Pyramide darstellt. ^{[4]
X
Forschungsquelle}
- Für unser Beispiel teilen wir 225 cm ³ durch 3, um 75 cm ³ für das Volumen zu erhalten.
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Methode 2

Methode 2 von 3:

Das Volumen anhand der Mantelhöhe berechnen

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1
Miss die Mantelhöhe der Pyramide ab. Manchmal ist die senkrechte Höhe der Pyramide nicht angegeben. Stattdessen wird die Mantelhöhe angegeben oder du musst sie berechnen. Mit der Mantelhöhe kannst du den Satz des Pythagoras verwenden, um die senkrechte Höhe zu berechnen. ^{[5]
X
Forschungsquelle}
- Die Mantelhöhe einer Pyramide ist der Abstand von ihrem Höhepunkt zum Mittelpunkt einer Seite der Grundfläche. Miss zum Mittelpunkt der Seite und nicht zu einem Eckpunkt der Grundfläche. Für dieses Beispiel nehmen wir an, dass die Mantelhöhe 13 cm beträgt und dir wird angegeben, dass die Seitenlänge der Grundfläche 10 cm beträgt.
- Zur Erinnerung: der Satz des Pythagoras kann als folgende Gleichung ausgedrückt werden: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ , wobei $a$ and $b$ die rechtwinkligen Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sind und $c$ die Hypotenuse.
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Um den Satz des Pythagoras anzuwenden, brauchst du ein rechtwinkliges Dreieck. Stelle dir ein rechtwinkliges Dreieck vor, dass durch die Mitte der Pyramide schneidet und senkrecht auf der Grundfläche der Pyramide steht. Die Mantelhöhe der Pyramide, auch $l$ genannt, ist die Hypotenuse dieses rechtwinkligen Dreiecks. Die Basis dieses rechtwinkligen Dreiecks ist die Hälfte von $s$ , der Seitenlänge der Grundfläche der Pyramide. ^{[6]
X
Forschungsquelle}
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3
Weise den Werten Variablen zu. Der Satz des Pythagoras verwendet die Variablen a, b und c, aber es hilft, wenn du diese durch Variablen ersetzt, die für deine Aufgabe eine Bedeutung haben. Die Mantelhöhe $l$ tritt im Satz des Pythagoras an die Stelle von $c$ . Die Basis des rechtwinkligen Dreiecks, die ${\frac {s}{2}}$ beträgt, tritt an die Stelle von $b$ . Deine Lösung wird die Höhe der Pyramide sein – $h$ – die das $a$ aus dem Satz des Pythagoras ersetzt.
- Diese Ersetzung sieht wie folgt aus:
  - $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
  - $h^{2}+({\frac {s}{2}})^{2}=l^{2}$
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4
Verwende den Satz des Pythagoras, um die senkrechte Höhe zu berechnen. Setze die gemessenen Werte von $s=10$ und $l=13$ ein. Löse dann die Gleichung:
- $h^{2}=l^{2}-({\frac {s}{2}})^{2}$ .....(ursprüngliche Gleichung)
- $h={\sqrt {l^{2}-({\frac {s}{2}})^{2}}}$ .... (Quadratwurzel auf beiden Seiten)
- $h={\sqrt {13^{2}-({\frac {10}{2}})^{2}}}$ ....(eingesetzte Werte)
- $h={\sqrt {169-5^{2}}}$ ....(vereinfachter Bruch)
- $h={\sqrt {169-25}}$ ....(vereinfachte Quadratur)
- $h={\sqrt {144}}$ ...(Subtraktion)
- $h=12$ ...(Vereinfachung der Quadratwurzel)
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5
Verwende die Höhe und Grundfläche, um das Volumen zu berechnen. Nachdem du die Berechnungen mit dem Satz des Pythagoras angewendet hast, hast du jetzt alle Informationen, die du brauchst, um das Volumen der Pyramide so zu berechnen, wie du es normalerweise tun würdest. Verwende die Formel $V={\frac {1}{3}}s^{2}h$ und löse sie, wobei du sicherstellen musst, dass du deine Lösung in Kubikeinheiten angibst. ^{[7]
X
Forschungsquelle}
- Aufgrund unserer Berechnungen beträgt die Höhe der Pyramide 12 cm. Verwende diese und die Seitenlänge der Grundfläche von 10 cm, um das Volumen der Pyramide zu berechnen:
  - $V={\frac {1}{3}}s^{2}h$
  - $V={\frac {1}{3}}(10^{2})12$
  - $V={\frac {1}{3}}(100)(12)$
  - $V=400{\text{cm}}^{3}$
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Methode 3

Methode 3 von 3:

Das Volumen anhand der Kantenhöhe berechnen

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1
Miss die Kantenhöhe der Pyramide. Die Kantenhöhe ist die Länge einer Kante der Pyramide, gemessen von der Spitze zu einem Eck der Grundfläche. Wie vorher wirst du dann den Satz des Pythagoras anwenden, um die senkrechte Höhe der Pyramide zu berechnen. ^{[8]
X
Forschungsquelle}
- Für dieses Beispiel gehen wir davon aus, dass die Kantenhöhe auf 11 cm gemessen werden kann und dass dir die senkrechte Höhe mit 5 cm angegeben ist.
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Wie vorher brauchst du ein rechtwinkliges Dreieck, um den Satz des Pythagoras anzuwenden. In diesem Fall ist jedoch die Grundfläche der Pyramide dein unbekannter Wert. Du kennst die senkrechte Höhe und die Kantenhöhe. Wenn du dir vorstellst, dass du die Pyramide diagonal von einer Ecke zur gegenüberliegenden Ecke aufschneidest und sie öffnest, dann ist die innere Sichtseite ein Dreieck. Die Höhe dieses Dreiecks ist die senkrechte Höhe der Pyramide. Sie teilt das freigelegte Dreieck in zwei symmetrische rechtwinklige Dreiecke. Die Hypotenuse von beiden rechtwinkligen Dreiecks ist die Kantenhöhe der Pyramide. Die Basis von beiden rechtwinkligen Dreiecken ist die halbe Diagonale der Grundfläche von der Pyramide.
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3
Weise Variablen zu. Verwende dieses imaginäre rechtwinklige Dreieck und weise dem Satz des Pythagoras Werte zu. Du kennst die senkrechte Höhe $h,$ , die einen Teil des Satz des Pythagoras darstellt, $a$ . Die Kantenhöhe der Pyramide $l,$ ist die Hypotenuse dieses imaginären rechtwinkligen Dreiecks, so dass sie den Platz von $c$ einnimmt. Die unbekannte Diagonale der Grundfläche der Pyramide ist der fehlende Teil des rechtwinkligen Dreiecks, $b$ . Nachdem du diese Werte ersetzt hast, sieht deine Gleichung so aus:
- $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
- $h^{2}+b^{2}=l^{2}$
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4
Berechne die Diagonale der quadratischen Grundfläche. Du musst die Gleichung neu anordnen, um die Variable $b$ zu isolieren und dann die Gleichung lösen. ^{[9]
X
Forschungsquelle}
- $h^{2}+b^{2}=l^{2}$ ..........(umgeänderte Gleichung)
- $b^{2}=l^{2}-h^{2}$ ..........(ersetze h ² von beiden Seiten)
- $b={\sqrt {l^{2}-h^{2}}}$ ..........(Quadratwurzel beidseitig)
- $b={\sqrt {11^{2}-5^{2}}}$ ..........(setze Zahlenwerte ein)
- $b={\sqrt {121-25}}$ ..........(vereinfache die Quadraturen)
- $b={\sqrt {96}}$ ..........(ziehe Werte ab)
- $b=9,80$ ..........(vereinfache Quadratwurzel)
- Verdopple diesen Wert, um die Diagonale der quadratischen Grundfläche der Pyramide zu finden. Also beträgt die Diagonale der Grundfläche der Pyramide 9,8 * 2 = 19,6 cm.
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5
Finde die Seitenlänge der Grundfläche anhand der Diagonale heraus. Die Grundfläche der Pyramide ist ein Quadrat. Die Diagonale von jedem Quadrat ist gleich die Seitenlänge mal die Quadratwurzel von 2. Umgekehrt kannst du die Seitenlänge der Grundfläche anhand seiner Diagonale berechnen, indem du durch die Quadratwurzel von 2 teilst. ^{[10]
X
Forschungsquelle}
- Bei unserer Beispielspyramide haben wir berechnet, dass die Diagonale 19,6 cm beträgt. Deshalb ist die Seitenlänge gleich:
  - $s={\frac {19,6}{{\sqrt {2}}}}={\frac {19,6}{1,41}}=13,90$
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6
Verwende die Seitenlänge und Höhe, um das Volumen zu berechnen. Kehre zur ursprünglichen Formel zurück, um das Volumen anhand der Seitenlänge und der senkrechten Höhe zu berechnen. ^{[11]
X
Forschungsquelle}
- $V={\frac {1}{3}}s^{2}h$
- $V={\frac {1}{3}}13,9^{2}*5$
- $V={\frac {1}{3}}193,23*5$
- $V=322,02{\text{cm}}^{3}$
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Tipps

Bei einer quadratischen Pyramide sind die senkrechte Höhe, die Kantenhöhe und die Seitenlängen der Grundfläche alle durch den Satz des Pythagoras verknüpft.

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Das Volumen einer quadratischen Pyramide berechnen

Vorgehensweise

Das Volumen anhand der Grundfläche und Höhe berechnen

Das Volumen anhand der Mantelhöhe berechnen

Das Volumen anhand der Kantenhöhe berechnen

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