Pdf downloaden
Pdf downloaden
In de wiskunde is het ontbinden in factoren het bepalen van getallen of uitdrukkingen die, met elkaar vermenigvuldigd, een bepaalde waarde of vergelijking opleveren. Ontbinden in factoren is een nuttige vaardigheid om te leren bij het oplossen van eenvoudige wiskundige problemen; de vaardigheid om correct te kunnen ontbinden in factoren wordt bijna essentieel wanneer je te maken krijgt met tweedegraadsvergelijkingen en andere polynomen. Ontbinden in factoren kan worden gebruikt voor het vereenvoudigen van eenvoudige wiskundige vergelijkingen om daarmee het oplossen ervan eenvoudiger te maken. Ontbinden in factoren kan je zelf in staat stellen om mogelijke antwoorden veel sneller uit te sluiten, dan wanneer je elk ervan moet controleren.
Stappen
Methode 1
Methode 1 van 3:
Het ontbinden in factoren van getallen en eenvoudige vergelijkingen
Pdf downloaden
-
Begrijp de definitie van ontbinden in factoren bij getallen. Ontbinden in factoren is in beginsel eenvoudig, maar kan in de praktijk een hele uitdaging zijn bij het oplossen van complexe vergelijkingen. Daarom is de eenvoudigste benadering door te beginnen met kleine getallen en daarna eenvoudige vergelijkingen, voor je verder gaat met de meer gevorderde toepassingen. De factoren van een bepaald getal zijn de getallen die, met elkaar vermenigvuldigd, dat ene getal opleveren. Bijvoorbeeld, de factoren van 12 zijn 1, 12, 2, 6, 3 en 4, omdat 1 × 12, 2 × 6 en 3 × 4 allemaal 12 als product hebben.
- Een andere manier om dit te beschouwen is dat de factoren van een gegeven getal die getallen zijn waardoor het getal in z'n geheel kan worden gedeeld .
- Kun je alle factoren vinden van 60? We gebruiken het getal 60 voor diverse toepassingen (het aantal minuten in een uur, seconden in een minuut, etc.) omdat het deelbaar is door een grote verzameling getallen.
- De factoren van 60 zijn 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 en 60.
-
Begrijp dat vergelijkingen ook kunnen worden ontbonden in factoren. Net zoals getallen kunnen variabelen met coëfficiënten ook worden ontbonden. Je doet dit door de factoren te vinden van de coëfficiënt van de variabele. Weten hoe je variabelen kunt ontbinden is handig bij het vereenvoudigen van vergelijkingen waar de variabelen deel van uitmaken.
- Bijvoorbeeld, de variabele 12y kan herschreven worden als het product van de factoren van 12 en y. We kunnen 12y schrijven als 3(4y), 2(6y), etc., waarbij we die factoren van 12 gebruiken die het handigst zijn.
- We kunnen zelfs zover gaan dat we 12y meerdere malen ontbinden. Met andere woorden, we hoeven niet te stoppen bij 3(4y) of 2(6y) - we kunnen 4y en 6y ontbinden in factoren tot respectievelijk 3(2(2y) en 2(3(2y). Klaarblijkelijk zijn deze twee uitdrukkingen gelijk aan elkaar.
- Bijvoorbeeld, de variabele 12y kan herschreven worden als het product van de factoren van 12 en y. We kunnen 12y schrijven als 3(4y), 2(6y), etc., waarbij we die factoren van 12 gebruiken die het handigst zijn.
-
Pas de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging toe op het ontbinden van wiskundige vergelijkingen. Gebruikmakend van je kennis over hoe je zowel gewone getallen als variabelen met coëfficiënten kunt ontbinden, kun je ook wiskundige vergelijkingen vereenvoudigen, door het bepalen van de factoren die de getallen en variabelen in een wiskundige vergelijking gemeen hebben. Meestal zullen we de vergelijking zo ver mogelijk vereenvoudigen, door op zoek te gaan naar de grootste gemene deler (ggd). Dit vereenvoudigingsproces is mogelijk vanwege de distributieve eigenschap van het vermenigvuldigen, waarin gesteld wordt dat voor elk getal a, b en c, a(b + c) = ab + ac .
- Laten we een voorbeeldprobleem proberen. Voor het ontbinden in factoren van de vergelijking 12x + 6, gaan we eerst op zoek naar de ggd van 12x en 6. 6 is het grootste getal dat zowel een deler is van 12x als van 6, zodat we de vergelijking kunnen vereenvoudigen tot 6(2x + 1).
- Dit proces is ook van toepassing op vergelijkingen met negatieve getallen en breuken. x/2 + 4, bijvoorbeeld, kan worden vereenvoudigd tot 1/2(x + 8) en -7x + -21 kan ontbonden worden in -7(x + 3).
Advertentie
-
Wees er zeker van dat de vergelijking in kwadratische vorm staat (ax 2 + bx + c = 0). Tweedegraadsvergelijkingen staan in de vorm ax 2 + bx + c = 0, waarbij a, b en c numerieke constanten zijn en a niet gelijk is aan 0 (merk op dat a gelijk kan zijn aan 1 or -1). Heb je te maken met een vergelijking met één variabele (x) en een of meer termen van x in het kwadraat, dan kun je de termen van de vergelijking meestal wel verwisselen met behulp van een standaard wiskundige bewerking, om zodoende 0 aan een kant van het gelijkteken te krijgen en ax 2 , etc. aan de andere kant.
- Bijvoorbeeld, je hebt de volgende wiskundige vergelijking: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18 welke kan worden vereenvoudigd naar x 2 + 6x + 9 = 0, in de kwadratische vorm.
- Vergelijkingen met grotere machten van x, zoals x 3 , x 4 , etc. zijn geen tweedegraadsvergelijkingen. Dit zijn derdegraadsvergelijkingen of hoger, behalve als de vergelijking zo kan worden vereenvoudigd, dat de termen met hogere machten van x (dan kwadraten) weg worden gewerkt.
-
In tweedegraadsvergelijkingen waarbij a = 1, ontbind je in (x+d )(x+e), waarbij d × e = c en d + e = b. Indien je tweedegraadsvergelijking in de vorm x 2 + bx + c = 0 staat (met andere woorden, als de coëfficiënt van x 2 = 1), dan is het mogelijk (maar niet zeker) dat er een relatief eenvoudige korte weg kan worden gebruikt voor het in factoren ontbinden van de vergelijking. Vind twee getallen die beide c als product hebben en tel ze bij elkaar op om b als som te krijgen. Heb je deze twee getallen d en e, plaats ze dan in de volgende uitdrukking: (x+d)(x+e) . Deze twee termen geven je na vermenigvuldiging de tweedegraadsvergelijking - met andere woorden, ze zijn de factoren van je tweedegraadsvergelijking.
- Neem bijvoorbeeld de tweedegraadsvergelijking x 2 + 5x + 6 = 0. Omdat 3 x 2 = 6 en 3 + 2 = 5, wordt de vereenvoudigde vergelijking (x + 3)(x + 2).
- Kleine variaties op deze eenvoudige snelle oplossing vind je in de vergelijking zelf:
- Indien de tweedegraadsvergelijking in de vorm x 2 -bx+c staat, dan ziet je antwoord er als volgt uit: (x - _)(x - _).
- Indien van de vorm x 2 +bx+c, dan ziet je antwoord er als volgt uit: (x + _)(x + _).
- Indien van de vorm x 2 -bx-c, dan ziet je antwoord er als volgt uit: (x + _)(x - _).
- Opmerking: de lege plekken kunnen breuken of decimalen zijn. Bijvoorbeeld, de vergelijking x 2 + (21/2)x + 5 = 0 ontbindt in de factoren (x + 10)(x + 1/2).
-
Indien mogelijk kun je ook de factoren ontbinden door gewoon goed te kijken. Geloof het of niet, maar eenvoudige tweedegraadsvergelijkingen kun je ontbinden door gewoon de opgave goed te bekijken, en vervolgens de mogelijke antwoorden af te wegen tot je de juist hebt gevonden. Oftewel ontbinden in factoren door uit te proberen. Indien de vergelijking van de vorm ax 2 +bx+c is en a>1, dan zullen de termen van de vorm (dx +/- _)(ex +/- _) zijn, waarbij d en e constanten zijn, groter dan nul, die met elkaar vermenigvuldigd a als product hebben. Zowel d als e (of beide) kunnen gelijk zijn aan 1, maar dit is niet altijd zo. Indien beide 1 zijn, dan heb je in wezen de snelle methode zoals hierboven beschreven gebruikt.
- Laten we een voorbeeldopgave gaan uitwerken. 3x 2 - 8x + 4 lijkt eerst wat intimiderend. Maar als we ons realiseren dat 3 slechts twee factoren heeft (3 en 1), dan wordt het veel gemakkelijker, omdat we weten dat ons antwoord van de vorm (3x +/- _)(x +/- _) moet zijn. In dit geval zal het invullen van -2 op de lege plekken het correcte antwoord geven. -2 × 3x = -6x en -2 × x = -2x. -6x + -2x = -8x. -2 × -2 = 4, dus zien we dat de ontbonden termen tussen haakjes met elkaar vermenigvuldigd, de oorspronkelijke vergelijking als product hebben.
-
Los dit op door te kwadrateren. In sommige gevallen kunnen tweedegraadsvergelijkingen snel en gemakkelijk in factoren worden ontbonden, door gebruik te maken van een speciale wiskundige eigenschap. Elke tweedegraadsvergelijking van de vorm x 2 + 2xh + h 2 = (x + h) 2 . Dus als in je vergelijking de waarde voor b tweemaal die van de wortel van c is, dan kan je vergelijking worden ontbonden in (x + (sqrt(c))) 2 .
- Bijvoorbeeld, de vergelijking x 2 + 6x + 9 voldoet aan deze vorm. 3 2 is 9 en 3 × 2 is 6. Dus weten we dat de factoren van deze vergelijking gelijk zijn aan (x + 3)(x + 3) of (x + 3) 2 .
-
Gebruik factoren om tweedegraadsvergelijkingen op te lossen. Ongeacht hoe je een tweedegraadsvergelijking ontbindt; is die eenmaal ontbonden, dan kun je de mogelijke antwoorden voor de waarde voor x vinden door elke factor gelijk te stellen aan nul en deze op te lossen. Omdat je op zoek bent naar waarden voor x waarbij je vergelijking nul is, zal een waarde voor x die een van beide factoren gelijk maakt aan nul, het mogelijke antwoord zijn van je tweedegraadsvergelijking.
- Laten we terugkeren naar de vergelijking x 2 + 5x + 6 = 0. De ontbonden vergelijking is (x + 3)(x + 2) = 0. Indien een van deze factoren gelijk is aan 0, dan is de hele vergelijking 0, dus zijn de mogelijke antwoorden voor x, die getallen waarbij (x + 3) en (x + 2) gelijk zijn aan 0. Deze getallen zijn respectievelijk -3 en -2.
-
Controleer je antwoorden – sommige ervan zijn wellicht onjuist! Heb je de mogelijke antwoorden voor x gevonden, pas ze dan weer toe op je oorspronkelijke vergelijking om na te gaan of ze geldig zijn. Soms zullen de antwoorden die je vindt de oorspronkelijke vergelijking niet gelijk maken aan nul wanneer je ze toepast. Deze antwoorden zijn onjuist en we negeren ze.
- We passen -2 en -3 toe op x 2
+ 5x + 6 = 0. Als eerste: -2:
- (-2) 2 + 5(-2) + 6 = 0
- 4 + -10 + 6 = 0
- 0 = 0. Dit is correct, dus -2 is een geldig antwoord.
- Nu proberen we -3:
- (-3) 2 + 5(-3) + 6 = 0
- 9 + -15 + 6 = 0
- 0 = 0. Dit is ook correct, dus is -3 ook een geldig antwoord.
Advertentie - We passen -2 en -3 toe op x 2
+ 5x + 6 = 0. Als eerste: -2:
-
Indien de vergelijking van de vorm a 2 -b 2 is, dan zijn de ontbonden termen (a+b)(a-b). Vergelijkingen van twee variabelen worden anders ontbonden dan tweedegraadsvergelijkingen. Voor elke vergelijking a 2 -b 2 waarbij a en b niet gelijk zijn aan 0, zijn de factoren van de vergelijking (a+b)(a-b).
- Bijvoorbeeld, de vergelijking 9x 2 - 4y 2 = (3x + 2y)(3x - 2y).
-
Indien de vergelijking van de vorm a 2 +2ab+b 2 is, ontbind je deze in (a+b) 2 . Let op: bij een de trinomiaal van de vorm a 2 - 2ab+b 2 , is de ontbonden vorm net even anders: (a-b) 2 .
- De vergelijking 4x 2 + 8xy + 4y 2 kan worden herschreven als 4x 2 + (2 × 2 × 2)xy + 4y 2 . Nu wordt duidelijk dat het in de juiste vorm staat, zodat we met enig vertrouwen kunnen stellen dat onze vergelijking te ontbinden is in (2x + 2y) 2 .
-
Indien de vergelijking van de vorm a 3 -b 3 is, dan ontbind je het in (a-b)(a 2 +ab+b 2 ). Als laatste moet vermeld worden dat ook derdegraadsvergelijkingen en hogere polynomen ook in factoren kunnen worden ontbonden, hoewel dit proces al snel onwerkbaar gecompliceerd wordt.
- Bijvoorbeeld: 8x 3 - 27y 3 kan worden ontbonden in (2x - 3y)(4x 2 + ((2x)(3y)) + 9y 2 ).
Advertentie
Tips
- a 2 -b 2 is te ontbinden in factoren, maar a 2 +b 2 niet.
- Leer hoe je constanten moet ontbinden – dit kan helpen.
- Let op breuken tijdens het ontbinden in factoren, en werk die correct en zorgvuldig uit.
- Heb je een trinomiaal van de vorm x 2 +bx+ (b/2) 2 , dan is de ontbonden vorm (x+(b/2)) 2 (dit kun je tegenkomen bij een kwadraatformule).
- Vergeet niet dat a x 0 = 0.
Advertentie
Benodigdheden
- Papier
- Potlood
- Wiskundeboek (indien nodig)
Over dit artikel
Deze pagina is 4.116 keer bekeken.
Advertentie
Meld je aan voor de gratis nieuwsbrief van wikiHow!
Je vindt dan elke week handige handleidingen in je inbox.
Meld me aan!
