ดาวน์โหลดบทความ
ดาวน์โหลดบทความ
ในวิชาคณิตศาสตร์นั้น การแยกตัวประกอบ คือการหาตัวเลขหรือนิพจน์ที่คูณกันแล้วได้จำนวนหรือสมการที่ให้มา การแยกตัวประกอบเป็นทักษะที่มีประโยชน์ในการเรียนรู้เพื่อแก้โจทย์ทางพีชคณิตพื้นฐาน ซึ่งจะยิ่งจำเป็นเวลาต้องเจอโจทย์สมการกำลังสองและพหุนามรูปแบบอื่นๆ การแยกตัวประกอบยังสามารถใช้ในการทอนนิพจน์เชิงพีชคณิตให้เขียนในรูปง่ายขึ้นเพื่อแก้โจทย์ได้ง่ายขึ้น การแยกตัวประกอบยังช่วยให้คุณสามารถตัดคำตอบที่อาจเป็นไปได้ทิ้งได้ไวกว่าที่คุณต้องมานั่งแก้โจทย์เอง
ขั้นตอน
-
เข้าใจนิยามของการแยกตัวประกอบเมื่อใช้กับตัวเลขหนึ่งจำนวน. การแยกตัวประกอบนั้นง่ายมากในแนวคิด แต่พอทำจริงกลับช่างท้าทายอยู่ไม่น้อยเวลานำมาใช้กับสมการที่มีความซับซ้อน เมื่อเป็นเช่นนี้ ทางที่ง่ายที่สุดในการทำความเข้าใจแนวคิดเรื่องการแยกตัวประกอบจึงต้องเริ่มจากตัวเลขง่ายๆ แล้วค่อยเลื่อนไปเป็นสมการง่ายๆ ก่อนจะก้าวไปสู่การใช้งานขั้นก้าวหน้าในท้ายที่สุด ตัวประกอบ ของตัวเลขหนึ่งคือจำนวนที่คูณกันได้ตัวเลขนั้น ตัวอย่างเช่น ตัวประกอบของ 12 คือ 1, 12, 2, 6, 3 และ 4, เพราะ 1 × 12, 2 × 6, และ 3 × 4 ล้วนเท่ากับ 12
- อีกวิธีคือคิดว่าตัวประกอบของจำนวนใดๆ ก็คือตัวเลขที่สามารถ หารเลขนั้นลงตัว
- คุณสามารถหาตัวประกอบทั้งหมดของเลข 60 หรือไม่? เราใช้เลข 60 ด้วยจุดประสงค์หลากหลาย (จำนวนนาทีในหนึ่งชั่วโมง จำนวนวินาทีในนาที เป็นต้น) เพราะมันมีตัวเลขหลายตัวที่สามารถหารมันได้ลงตัว
- ตัวประกอบของ 60 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, และ 60
-
เข้าใจว่านิพจน์ที่ติดตัวแปรก็สามารถแยกตัวประกอบได้. เหมือนเช่นที่ตัวเลขโดดๆ สามารถแยกตัวประกอบ ตัวแปรที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มก็สามารถแยกตัวประกอบได้เช่นกัน ทำได้โดยแค่หาตัวประกอบของสัมประสิทธิ์ของตัวแปร การรู้วิธีแยกตัวประกอบของตัวแปรนั้นมีประโยชน์สำหรับการทำสมการพีชคณิตที่ติดตัวแปรนั้นให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายขึ้น
- ตัวอย่าง ตัวแปร 12x สามารถเขียนได้เป็นผลของตัวประกอบ 12 กับ x เราสามารถเขียน 12x เป็น 3(4x), 2(6x), เป็นต้น โดยใช้ตัวประกอบของ 12 ให้เหมาะกับความต้องการของเราที่สุด
- เรายังสามารถไปได้ถึงขนาดแยกตัวประกอบ 12x หลายครั้ง พูดง่ายๆ ก็คือ เราไม่จำเป็นต้องหยุดอยู่ที่ 3(4x) หรือ 2(6x) เลย เราสามารถแยกตัวประกอบ 4x และ 6x ออกมาเป็น 3(2(2x) และ 2(3(2x) ตามลำดับ ซึ่งแน่นอนว่านิพจน์สองแบบนั้นมีค่าเท่ากัน
- ตัวอย่าง ตัวแปร 12x สามารถเขียนได้เป็นผลของตัวประกอบ 12 กับ x เราสามารถเขียน 12x เป็น 3(4x), 2(6x), เป็นต้น โดยใช้ตัวประกอบของ 12 ให้เหมาะกับความต้องการของเราที่สุด
-
ใช้คุณสมบัติการกระจายของการคูณเพื่อแยกตัวประกอบสมการเชิงพีชคณิต. ใช้ความรู้ของคุณเรื่องวิธีการแยกตัวประกอบตัวเลขโดดกับตัวแปรที่มีค่าสัมประสิทธิ์ คุณสามารถทอนสมการเชิงพีชคณิตให้อยู่ในรูปแบบง่ายโดยการหาตัวประกอบที่ตัวเลขกับตัวแปรในสมการมีร่วมกัน ปกติแล้วถ้าจะทำให้สมการอยู่ในรูปที่ง่ายที่สุด เราต้องลองค้นหาตัวหารร่วมมาก กระบวนการทอนสมการนี้เป็นไปได้เพราะคุณสมบัติการกระจายของการคูณ ซึ่งระบุว่าสำหรับจำนวน a, b, และ c ใดๆ แล้ว a(b + c) = ab + ac
- มาลองสมมติตัวอย่างโจทย์กัน ในการแยกตัวประกอบของสมการเชิงพีชคณิต 12 x + 6, ก่อนอื่นมาลองหาตัวประกอบหารร่วมมากของ 12x และ 6 จะพบว่า 6 เป็นตัวเลขที่มีค่าสูงที่สุดที่สามารถหารทั้ง 12x และ 6 ได้ลงตัว ดังนั้น เราจึงสามารถทอนสมการเป็น 6(2x + 1)
- กระบวนการนี้ยังสามารถประยุกต์ใช้กับสมการที่เป็นค่าลบและเศษส่วนได้อีกด้วย ตัวอย่างเช่น x/2 + 4 สามารถทำให้อยู่ในรูปอย่างง่ายเป็น 1/2(x + 8) และสมการ -7x + -21 สามารถแยกตัวประกอบเป็น -7(x + 3)
โฆษณา
-
ให้แน่ใจว่าสมการนั้นอยู่ในรูปแบบกำลังสอง (ax 2 + bx + c = 0). สมการกำลังสองนั้นจะอยู่ในรูปแบบ ax 2 + bx + c = 0 โดยที่ a, b, และ c เป็นจำนวนค่าคงที่และไม่ได้เท่ากับ 0 (โปรดสังเกตว่า a สามารถ เท่ากับ 1 หรือ -1 ได้) หากคุณมีสมการที่มีตัวแปรหนึ่งตัว (x) โดยที่พจน์ x หนึ่งตัวหรือมากกว่านั้นมีค่ายกกำลังสอง คุณสามารถย้ายพจน์ภายในสมการโดยใช้หลักพีชคณิตเพื่อให้ข้างหนึ่งของสมการเป็น 0 และอีกข้างอยู่ในรูป ax 2 เป็นอาทิ
- ตัวอย่าง กำหนดให้สมการเชิงพีชคณิต 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18 สามารถเขียนในรูปแบบง่ายเป็น x 2 + 6x + 9 = 0, ซึ่งอยู่ในรูปแบบสมการกำลังสอง
- สมการที่ x มีค่ายกกำลังสูงกว่านั้น เช่น x 3 , x 4 , เป็นต้น ไม่ใช่สมการกำลังสอง พวกมันเป็นสมการกำลังสาม สมการกำลังสี่ เช่นนั้นไปเรื่อยๆ เว้นเสียแต่ว่าสมการเหล่านั้นสามารถทอนให้ง่ายขึ้นโดยกำจัดพจน์ x ที่มีค่ายกกำลังมากกว่า 2 ออกไป
-
ในสมการกำลังสองที่ a = 1, แยกตัวประกอบเป็น (x+d )(x+e), โดยที่ d × e = c และ d + e = b. หากสมการกำลังสองของคุณอยู่ในรูป x 2 + bx + c = 0 (หรือพูดอีกแบบหนึ่งว่า หากสัมประสิทธิ์ของพจน์ x 2 = 1), มันเป็นไปได้ (แต่ไม่รับประกัน) ว่าสามารถใช้วิธีลัดในการแยกตัวประกอบสมการ ให้หาตัวเลขสองจำนวนที่สามารถคูณกันแล้วได้ c และ บวกกันแล้วได้ b พอคุณสามารถหาตัวเลขสองจำนวนนี้คือ d กับ e ให้แทนค่ามันในพจน์ดังต่อไปนี้: (x+d)(x+e) พจน์ทั้งสองนี้เมื่อคูณกันจะทำให้ได้สมการกำลังสอง หรือพูดอีกอย่างก็คือ พวกมันคือตัวประกอบของสมการกำลังสองของคุณนั่นเอง
- ตัวอย่าง ลองพิจารณาสมการกำลังสอง x 2 + 5x + 6 = 0 ซึ่งจำนวน 3 กับ 2 สามารถคูณกันได้ 6 และยังบวกกันได้ 5 อีกด้วย ดังนั้น เราสามารถเขียนสมการนี้ในรูปอย่างง่ายเป็น (x + 3)(x + 2)
- วิธีลัดนี้ยังมีแตกต่างออกไปตามความแตกต่างในตัวสมการเอง:
- หากสมการกำลังสองอยู่ในรูป x 2 -bx+c, คำตอบของคุณจะอยู่ในรูปนี้: (x - _)(x - _)
- หากมันอยู่ในรูป x 2 +bx+c, คำตอบของคุณจะมีหน้าตาเช่นนี้: (x + _)(x + _)
- หากมันอยู่ในรูป x 2 -bx-c, คำตอบของคุณจะอยู่ในรูป (x + _)(x - _)
- ข้อสังเกต: ตัวเลขในช่องที่ว่างไว้สามารถเป็นได้ทั้งเศษส่วนหรือจุดทศนิยม ตัวอย่างเช่น สมการ x 2 + (21/2)x + 5 = 0 สามารถแยกตัวประกอบเป็น (x + 10)(x + 1/2)
-
หากเป็นไปได้ ให้แยกตัวประกอบโดยการตรวจสอบ. เชื่อหรือไม่ว่าสำหรับสมการกำลังสองที่ไม่ซับซ้อนนั้น วิธีการแยกตัวประกอบวิธีหนึ่งที่เป็นที่ยอมรับกันคือการตรวจดูโจทย์ แล้วก็หาคำตอบที่เป็นไปได้จนกระทั่งคุณเจอคำตอบที่ถูกต้อง นี่เป็นที่รู้จักกันว่าการแยกตัวประกอบโดยการตรวจสอบ หากสมการนั้นอยู่ในรูป ax 2 +bx+c and a>1, คำตอบของการแยกตัวประกอบของคุณจะอยู่ในรูป (dx +/- _)(ex +/- _) โดยที่ d และ e เป็นจำนวนค่าคงที่ที่ไม่ใช่ศูนย์ซึ่งคูณกันแล้วจะได้ a ไม่ว่า d หรือ e (หรือทั้งคู่) สามารถ เป็นเลข 1 ได้ แม้มันไม่จำเป็นต้องเป็นเช่นนั้น หากทั้งคู่เป็น 1 คุณก็สามารถใช้วิธีลัดที่อธิบายข้างต้นได้เลย
- มาลองดูตัวอย่างโจทย์ ในตอนแรกสมการ 3x 2 - 8x + 4 ดูยากๆ เหมือนกัน กระนั้น พอเราตระหนักว่า 3 นั้นมีตัวประกอบแค่สองตัวเท่านั้น (3 กับ 1) มันก็ดูง่ายขึ้นมาทันที เพราะเรารู้ว่าคำตอบจะต้องอยู่ในรูป (3x +/- _)(x +/- _) ในกรณีนี้ การเติม -2 เข้าไปตรงตำแหน่งที่ว่างไว้ทั้งคู่จะได้คำตอบที่ถูกต้องพอดี เพราะ -2 × 3x = -6x และ -2 × x = -2x ซึ่ง -6x กับ -2x บวกกันได้ -8x อีกทั้ง -2 × -2 = 4 ดังนั้นเราจะเห็นว่าพจน์ที่แยกตัวประกอบแล้วในวงเล็บนั้นคูณกันจะได้สมการตัวเริ่มต้น
-
แก้โจทย์โดยการคูณเลขยกกำลัง. ในบางกรณี สมการกำลังสองสามารถแยกตัวประกอบได้อย่างง่ายๆ และรวดเร็วโดยการใช้อัตลักษณ์พิเศษเชิงพีชคณิต สมการกำลังสองใดๆ ที่อยู่ในรูป x 2 + 2xh + h 2 = (x + h) 2 ดังนั้น หากในสมการของคุณ ค่าของ b เป็นสองเท่าของเลขยกกำลังสองของค่า c สมการของคุณจะสามารถแยกตัวประกอบเป็น (x + (sqrt(c))) 2
- ตัวอย่าง สมการ x 2 + 6x + 9 เข้ากับรูปแบบนี้พอดี 3 2 คือ 9 และ 3 × 2 คือ 6 ดังนั้น เรารู้ว่ารูปแบบของสมการเมื่อแยกตัวประกอบออกมาแล้วจะได้ (x + 3)(x + 3), หรือ (x + 3) 2 .
-
ใช้ตัวประกอบในการแก้โจทย์สมการกำลังสอง. ไม่ว่าคุณจะแยกตัวประกอบวิธีใด พอแยกได้แล้วนั้น คุณสามารถหาคำตอบที่เป็นไปได้สำหรับค่าของ x โดยการตั้งให้ตัวประกอบแต่ละตัวเท่ากับศูนย์แล้วแก้โจทย์ เนื่องจากคุณกำลังมองหาค่าของ x ที่จะทำให้สมการของคุณเท่ากับศูนย์ ค่าของ x ที่ทำให้ตัวประกอบทั้งสองของคุณเท่ากับศูนย์จึงเป็นคำตอบที่เป็นไปได้สำหรับสมการกำลังสองนั้น
- ขอกลับไปที่สมการ x 2 + 5x + 6 = 0 สมการนี้สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น (x + 3)(x + 2) = 0 หากตัวประกอบทั้งคู่เท่ากับ 0 แล้ว สมการทั้งหมดก็จะเท่ากับ 0 ไปด้วย ดังนั้นคำตอบสำหรับค่า x ที่เป็นไปได้จึงเป็นจำนวนที่จะทำให้ (x + 3) กับ (x + 2) เท่ากับ 0 เลขจำนวนนั้นก็คือ -3 และ -2 ตามลำดับนั่นเอง
-
ตรวจทานคำตอบ บางทีคำตอบอาจจะไม่เกี่ยวกันเลย! เวลาที่คุณคำตอบที่อาจเป็นไปได้สำหรับ x แล้วนั้น ให้แทนค่าพวกมันกลับไปในสมการเริ่มต้นเพื่อดูว่ามันทำให้สมการเป็นจริงหรือไม่ บางครั้งคำตอบที่คุณหามาได้ ไม่ ทำให้สมการเริ่มต้นเท่ากับศูนย์เมื่อแทนค่ากลับลงไป เราเรียกคำตอบเหล่านี้ว่า พวกไม่เกี่ยวข้อง แล้วหั่นมันทิ้งไปได้เลย
- มาแทนค่า -2 กับ -3 ลงใน x 2
+ 5x + 6 = 0 โดยตัวแรกเป็น -2:
- (-2) 2 + 5(-2) + 6 = 0
- 4 + -10 + 6 = 0
- 0 = 0 นี่ถูกต้อง ดังนั้น -2 จึงเป็นคำตอบที่เป็นจริง
- ตอนนี้มาลองดู -3:
- (-3) 2 + 5(-3) + 6 = 0
- 9 + -15 + 6 = 0
- 0 = 0 นี่ก็ถูกต้องอีก ดังนั้น -3 ก็เป็นคำตอบที่เป็นจริงเช่นกัน
โฆษณา - มาแทนค่า -2 กับ -3 ลงใน x 2
+ 5x + 6 = 0 โดยตัวแรกเป็น -2:
-
หากสมการอยู่ในรูป a 2 -b 2 ให้แยกตัวประกอบมันเป็น (a+b)(a-b). สมการที่มีตัวแปรสองตัวจะแยกตัวประกอบแตกต่างจากสมการกำลังสองทั่วไป สำหรับสมการใดๆ ที่ a 2 -b 2 โดยที่ a และ b ไม่ได้เท่ากับ 0 นั้น สมการจะแยกตัวประกอบเป็น (a+b)(a-b)
- ตัวอย่าง สมการ 9x 2 - 4y 2 = (3x + 2y)(3x - 2y)
-
หากสมการอยู่ในรูป a 2 +2ab+b 2 แยกตัวประกอบมันเป็น (a+b) 2 . โปรดสังเกตว่า หากพหุนามในแบบ trinomial อยู่ในรูป a 2 - 2ab+b 2 แล้วนั้น รูปแบบที่แยกตัวประกอบจะแตกต่างออกไปเล็กน้อย: (a-b) 2
- สมการ 4x 2 + 8xy + 4y 2 สามารถเขียนใหม่ได้เป็น 4x 2 + (2 × 2 × 2)xy + 4y 2 ตอนนี้เราจะเห็นได้ว่ามันอยู่ในรูปแบบที่ถูกต้องแล้ว เราจึงบอกได้อย่างมั่นใจว่าสมการของเราจะแยกตัวประกอบได้เป็น (2x + 2y) 2
-
หากสมการอยู่ในรูป a 3 -b 3 แล้ว จะแยกตัวประกอบได้เป็น (a-b)(a 2 +ab+b 2 ). ท้ายที่สุดควรต้องบอกว่าสมการกำลังสามหรือกระทั่งสมการที่มีกำลังสูงกว่านั้นสามารถแยกตัวประกอบได้เช่นกัน ถึงแม้กระบวนการแยกตัวประกอบจะกลายเป็นความยุ่งยากซับซ้อนเสียจนแทบลืมไปได้เลยก็ตาม
- ตัวอย่างเช่น 8x 3 - 27y 3 สามารถแยกตัวประกอบเป็น (2x - 3y)(4x 2 + ((2x)(3y)) + 9y 2 )
โฆษณา
เคล็ดลับ
- a 2 -b 2 นั้นสามารถแยกตัวประกอบได้ a 2 +b 2 นั้นไม่สามารถแยกตัวประกอบได้
- จำวิธีการแยกตัวประกอบค่าคงที่ มันมีประโยชน์เสมอ
- ระวังเรื่องเศษส่วนในกระบวนการแยกตัวประกอบและทำด้วยความระมัดระวัง
- หากคุณมีพหุนามแบบ trinomial ในรูป x 2 +bx+ (b/2) 2 รูปแบบหลังแยกตัวประกอบออกมาแล้วคือ (x+(b/2)) 2 (คุณอาจตกอยู่ในสภาพนี้ในขณะคูณเลขยกกำลัง)
- จำไว้ว่า a0=0 (คุณสมบัติผลการคูณด้วยศูนย์)
โฆษณา
สิ่งของที่ใช้
- กระดาษ
- ดินสอ
- หนังสือคณิตศาสตร์ (หากจำเป็น)
เกี่ยวกับวิกิฮาวนี้
มีการเข้าถึงหน้านี้ 10,450 ครั้ง
โฆษณา
