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A equação da reta é normalmente usada para representar uma equação linear. Ela é escrita no formato "y = mx + b" — no qual as letras devem ser resolvidas , como em:os valores "x" e "y" representam as coordenadas "x" e "y" de uma linha , "m" representa a reta, a razão (mudança de y)/(mudança de x), e o "b", o intercepto-y. Se você quer aprender a usar a equação da reta, este é o artigo certo.
Passos
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Leia o problema. É preciso ler com cuidado para entender o que estão pedindo nele. Por exemplo: Sua conta bancária aumenta linearmente cada semana. Se após 20 semanas de trabalho sua conta bancária está em R$ 560,00 enquanto, após 21 semanas de trabalho, ela está em R$ 585,00 encontre um modo de expressar a relação entre o quanto você ganhou e quantas semanas você trabalhou na forma de uma equação da reta.
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Pense no problema como uma equação da reta. Escreva y = mx + b , que é a equação da reta, ou seja, uma equação linear. Aqui, "m" é o coeficiente angular, "b" é o coeficiente linear que intercepta o eixo-y quando x é igual a zero. Observe que o problema diz "Sua conta bancária aumenta linearmente todo mês," o que significa que você está guardando o mesmo valor por vez, o que por sua vez irá originar uma reta padrão. Se você não economiza o mesmo valor todo mês, então já não estaremos mais lidando com uma equação linear.
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Encontre a reta. Para tanto, você precisa descobrir qual é o valor da diferença. Se você começou com R$ 560,00 e na seguinte tem R$ 585,00 então você ganhou R$ 25,00 depois de 1 semana de trabalho. Isso pode ser calculado subtraindo R$ 560,00 de R$ 585,00. R$ 585,00-R$ 560,00 = R$ 25,00. [1] X Fonte de pesquisa
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Encontre o intercepto do eixo y. Para encontrar o intercepto de y ou, se preferir, o "b" em y = mx + b, você precisará descobrir qual é o ponto de partida do problema (no qual ele intercepta o eixo y). Isso significa que você precisa saber quanto dinheiro havia na conta quando você abriu a mesma. Se você tinha R$ 560,00 depois de 20 semanas de trabalho e sabe que ganha R$ 25,00 depois de cada semana de trabalho, então você pode multiplicar 20 x 25 para descobrir quanto dinheiro ganhou nessas 20 semanas. Ou seja, 20 x 25 = 500, o que significa que você ganhou R$ 500,00 durante esse período.
- Como você ganhou R$ 560,00 depois de 20 semanas e ganhou R$ 500,00 agora você pode descobrir o valor inicial da conta ao subtrair 500 de 560. Logo, 560 - 500 = 60.
- Então, o valor de "b," também conhecido como o ponto de partida, é 60.
-
Escreva a equação no formato do intercepto da reta. Agora que você já conhece o valor de m = 25 (25 reais ganhos por semana) e do intercepto b = 60, podemos encaixar esses valores na equação:
- y = mx + b.
- y = 25x + 60.
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Confira o resultado. Nessa equação, o "y" representa a quantidade de dinheiro ganha e o "x" representa a quantidade de semanas trabalhadas. Experimente encaixar um número diferente de semanas na equação para ver quanto dinheiro você ganhou depois de determinado período. Confira abaixo:
- Quanto dinheiro você ganhou depois de 10 semanas? Encaixe "10" para substituir o "x" na equação.
- y = 25x + 60 =
- y = 25(10) + 60 =
- y = 250 + 60 =
- y = 310. Após 10 semanas, você ganhou R$ 310,00.
- Quantas semanas você teria que trabalhar para ganhar R$ 800,00? Encaixe o "800" no lugar da variável "y" na equação para obter o valor de "x".
- y = 25x + 60 =
- 800 = 25x + 60 =
- 800 - 60 =
- 25x = 740 =
- 25x/25 = 740/25 =
- x = 29,6. Você pode ganhar 800 reais depois de quase 30 semanas.
Publicidade - Quanto dinheiro você ganhou depois de 10 semanas? Encaixe "10" para substituir o "x" na equação.
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Método 2
Método 2 de 6:
Conversão de uma equação para o formato de intercepto da reta (ou formato do coeficiente linear)
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Escreva a equação. Vamos usar a equação 4y +3x = 16 .
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Isole o termo y em um lado da equação. Basta levar o termo x para o outro lado para que o termo y fique sozinho. Lembre-se de que toda vez que você muda um termo de lado, deve-se mudar o sinal do mesmo (se for positivo, ele vira negativo, e vice-versa). Logo, como o "3x" foi para o outro lado da equação, ele se tornou "-3x". A equação então fica assim: 4y = -3x +16. Confira como logo abaixo:
- 4y + 3x = 16 =
- 4y + 3x - 3x = -3x +16 (através da subtração).
- 4y = -3x +16 (através da simplificação da subtração).
- 4y + 3x = 16 =
-
Divida todos os termos pelo coeficiente de y. O coeficiente de y é o número que aparece na frente dele. Caso não haja um coeficiente para y, então seu trabalho termina aqui. Mas se há um coeficiente, deve-se dividir cada termo na equação por esse número. No nosso exemplo, o coeficiente de y é 4, então temos que dividir 4x, -3x, e 16 por 4 para obter a resposta final no formato de coeficiente linear. Aqui vai o passo a passo: [2] X Fonte de pesquisa
- 4y = -3x +16 =
- 4 / 4 y = -3 / 4 x + 16 / 4 = (by division)
- y = -3 / 4 x + 4 (Aqui, simplificamos a divisão)
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Identifique os termos da equação. Se você está usando a equação para delinear a reta, então é bom saber que o "y" representa a coordenada y, o "-3/4" representa a reta, o "x" representa a coordenada x e que o "4" representa o intercepto y (ou o coeficiente linear de y).Publicidade
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Método 3
Método 3 de 6:
Escrevendo uma equação no formato de coeficiente linear a partir de um dado ponto e de uma reta
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Escreva a equação da reta no formato de coeficiente linear. Primeiro, basta escrever y = mx + b. Conforme você for obtendo mais informações, você poderá ir encaixando os valores na equação. Vamos ver o seguinte exemplo de problema: Encontre a equação que tem vetor=4 e que passa pelo ponto (-1, -6). [3] X Fonte de pesquisa
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Encaixe os valores dados. Sabemos que "m" é igual à reta, a qual é 4, e que "y" e "x" representam as coordenadas "x" e "y". Nesse caso, "x" = -1 e "y" = -6. "b" representa o intercepto y; ainda não sabemos o valor de b, então podemos deixá-lo como está. Segue abaixo a equação depois de ter os valores encaixados nela:
- y = -6, m = 4, x = -1 (os valores dados).
- y = mx + b (a fórmula).
- -6 = (4)(-1) + b (através de substituição).
-
Calcule o valor do intercepto y. Agora, basta fazer as contas para encontrar o valor de "b," o intercepto y. Multiplique 4 e -1 e em seguida subtraia o resultado de -6. Confira como:
- -6 = (4)(-1) + b.
- -6 = -4 + b (usamos a multiplicação).
- -6 - (-4) = -4 -(-4) + b (usamos a subtração).
- -6 - (-4) = b (simplificamos o seu lado direito da equação).
- -2 = b (simplificamos o seu lado esquerdo da equação).
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Escreva a equação. Agora que encontramos o valor de "b," podemos fazer as substituições necessárias e escrever a equação no formato de coeficiente linear. Tudo de que precisamos saber é o valor da reta e do coeficiente linear y:
- m = 4, b = -2.
- y = mx + b.
- y = 4x -2 (por substituição).
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Método 4
Método 4 de 6:
Escrevendo uma equação na forma de coeficiente linear dados dois pontos
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Escreva os dois pontos. Antes de poder escrever a equação, é preciso escrever esses dois pontos. Suponha que você tivesse que resolver o seguinte problema: Encontre a equação da reta que passa por (-2, 4) e (1, 2). Escreva os dois pontos com os quais está trabalhando. [4] X Fonte de pesquisa
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Use os dois pontos para encontrar a reta da equação. A fórmula para encontrar o vértice da reta que passa por dois pontos é a seguinte: (Y 2 - Y 1 ) / (X 2 - X 1 ). O primeiro par de coordenadas (x, y) = (-2, 4) representa X 1 and Y 1 , e o segundo par (1, 2) representa X 2 e Y 2 . Aqui, estamos tentando encontrar a diferença entre as coordenadas x e y, a qual nos permitirá encontrar o vértice. Agora vamos encaixar os valores na equação: [5] X Fonte de pesquisa
- (Y 2 - Y 1 ) / (X 2 - X 1 ) =
- (2 - 4)/(1 - -2) =
- -2/3 = m
- O vértice da reta é -2/3.
-
Escolha um dos pontos para encontrar o coeficiente linear y. Digamos que você tenha escolhido o par (1, 2). Agora, vamos encaixá-los na equação "y = mx + b", na qual "m" representa a vértice e "x" e "y" representam as coordenadas x e y. Vamos calcular o valor de "b." Veja como: [6] X Fonte de pesquisa
- y = 2, x, = 1, m = -2/3
- y = mx + b
- 2 = (-2/3)(1) + b
- 2 = -2/3 + b
- 2 - (-2/3) = b
- 2 + 2/3 = b, ou b = 8 / 3
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Encaixe os números na equação original. Agora que sabemos que o vértice é -2/3 e que o coeficiente y (ou intercepto y "b") é 2 2/3, vamos encaixar esses valores na equação original para a reta que você fez.
- y = mx + b.
- y = -2 / 3 x + 2 2/3.
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Escreva a equação. Primeiro, escreva a equação para começar a usá-la para delinear a reta. Vamos trabalhar com a seguinte equação: y = 4x + 3. [7] X Fonte de pesquisa
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Comece no coeficiente linear y. Ele é representado por "+3" ou "b" na equação da reta, enquanto que o vértice é 3. Isso significa que a reta cruza o eixo y em (0, 3). Coloque o seu lápis nesse ponto. [8] X Fonte de pesquisa
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Use a vértice para encontrar as coordenadas de outro ponto da reta. Como sabemos que a vértice é representada por 4, ou "m," podemos dizer que a vértice representa 4/1. Isso significa que toda vez que a linha se move 4 pontos no eixo y, ela se move 1 ponto no eixo x. Logo, se você começar em (0, 3) e continuar para cima 4 pontos, você vai chegar em (0, 7). Então, podemos ir para a direita em uma coordenada para obtermos (1, 7) como o outro ponto dessa reta.
- Caso a sua vértice seja negativa, então temos que mover a coordenada y para cima ao invés de para baixo ou mover a coordenada x para a esquerda ao invés de para a direita. O resultado será o mesmo.
-
Ligue os dois pontos. Agora, tudo que temos que fazer é desenhar uma linha reta que atravesse esses dois pontos para representarmos a reta da equação no formato do coeficiente linear y. Você pode continuá-la — basta escolher outro ponto na reta que acabou de desenhar e usá-la para mover a vértice para cima ou para baixo para encontrar outros pontos na reta.Publicidade
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Método 6
Método 6 de 6:
Encontrando o formato de intercepto de reta a partir da forma de lado a ponto
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Utilize uma forma de lado a ponto, que é demarcada como: y - y 1 = m(x - x 1 ). Esta é outra maneira de trabalhar com uma forma de equação da linha para obter outra forma.
- Usemos como exemplo o ponto e a reta m (conhecida) que nos foram concedidos:
o ponto (4, -3) e a reta m = -2.
- Você está trabalhando com valores em que m = -2, já que a reta e as coordenadas de um ponto são (4, -3), e essas são nossas (x 1
,y 1
), assim como qualquer ponto definido na linha. Portanto, usando esses valores, temos:
y - y 1 = m(x - x 1 ) ,
y - (-3) = -2(x - 4) . Ao substituir usando o ponto e o lado:
y + 3 = -2(x - 4) ; que, simplificado: -(-3) to + 3
y + 3 = -2x + -2(-4) , por distribuiçãobr>
y + 3 = -2x + 8 , por multiplicação
y + 3 - 3 = -2x + 8 - 3 , por subtração (de iguais de ambos os lados da equação)
y = -2x + 5</big, pela simplificação/reescrita (Isso encaixa com os valores y = mx + b, chamados de Forma de Lado a Ponto). - No que se baseia tal Forma? A forma de lado a ponto expressa o fato que a diferença de valores y para dois pontos em uma linha (ou seja, y - y 1
) podem ser apontados como diretamente "proporcionais" à diferença de valores x (ou seja, x - x 1
). Há uma constante de "proporcionalidade" chamada m (a reta).
- Acreditamos que "Proporção Direta" é uma comparação que pode ser feita de maneira similar a y = kx . Aqui, notamos que y - y 1 = m(x - x 1 ) se encaixa na fórmula y = kx .
- A proporção direta significa que havendo duas variáveis como x e y, y pode ser diretamente proporcional a x se houver uma constante k semelhante a y = kx e se x não for igual a zero. "k" é uma grandeza constante que representa a reta usada. (Você também pode expressar a proporção direta ao dizer que "x e y variam diretamente", ou expressar que "x e y estão em variação direta").
- Você está trabalhando com valores em que m = -2, já que a reta e as coordenadas de um ponto são (4, -3), e essas são nossas (x 1
,y 1
), assim como qualquer ponto definido na linha. Portanto, usando esses valores, temos:
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Dicas
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- Este crescimento ou decrescimento também é chamado de coeficiente angular' ou taxa de variação como milhas por hora ou quilômetros por segundo , que são exemplos de taxa de variação (distância em relação ao tempo).
- Isto impressiona qualquer professor: use e aplique os dados direto em uma calculadora. E quando seu professor chegar a esse ponto, você pode encontrar a equação de uma reta utilizando a regressão linear dos dados, que nada mais é do que uma espécie de média feita automaticamente por uma calculadora utilizando programas já existentes nela. É claro que isso só deve ser feito depois que você aprender a fazer tudo à mão. A calculadora é uma ferramenta para se usar uma vez que você já tenha um bom conhecimento de álgebra.
- Este é um bom modo de mostrar que você entendeu: a variação de y em relação a variação de x é chamada de incremento ( crescimento ) ou decrescimento ( decaimento ) da diferença de y dividida pela diferença de x. Também aprenda que divisão é também chamada de razão . A razão é a taxa de variação.
- Se você não mostrar o passo a passo da solução dos problemas simples por escrito, quando tiver que resolver problemas mais complexos, você pode ter dificuldades e ficar um pouco perdido, sem saber que procedimentos seguir para fazer os cálculos deslancharem.
- Você pode impressionar o seu professor entendendo que, por exemplo, você naturalmente aumenta e diminui de velocidade quando viaja — e o gráfico da velocidade numa viagem faria um zigue-zague. A taxa média de velocidade faria uma linha reta, se desenhada para o mesmo tempo nesta viagem. É por isso que os problemas normalmente usarão a "taxa de variação média".
- Tente verificar suas respostas em problemas. Se você tem que resolver para as coordenadas x e y, coloque-os novamente na equação. Por exemplo, se x=10, i.e.: você descobriu que x é 10, na equação y=x+3, então coloque dez no lugar de x. A resposta deve ser a coordenada y correspondente, y = 13. Uma reta vertical teria o que chamamos de vértice indefinido, já que não há variação em x, ou variação em x = 0 , o que originaria uma vértice (variação de y)/(variação de x) = p/q = p/0 = inexistente, pois não é possível dividir por zero.
- Lembre-se de multiplicar antes de somar ao resolver y = mx + b; logo, não some x+b. É preciso multiplicar m por x.
- Não basta ler os exemplos. Você deve escrevê-los e fazer cada passo para ver a ordem e o objetivo do processo envolvido.
- O coeficiente angular de uma equação linear representa a variação de y comparada à variação de x naquela equação, utilizando os dados (x,y).
- O coeficiente angular mede a variação vertical em relação a variação horizontal em uma razão. Isso pode descrever pontos ou linhas em um gráfico ou em uma taxa de crescimento, como o tempo ou a inclinação de uma encosta.
- ↑ https://www.mathwarehouse.com/algebra/linear_equation/slope-of-a-line.php
- ↑ http://www.mathsisfun.com/equation_of_line.html
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/strtlneq.htm
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/strtlneq.htm
- ↑ https://www.youtube.com/watch?v=kgD48XXVT1c
- ↑ https://www.youtube.com/watch?v=kgD48XXVT1c
- ↑ https://www.youtube.com/watch?v=eHPTyYbNmx4
- ↑ https://www.youtube.com/watch?v=eHPTyYbNmx4
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