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Eine Geradengleichung kann in vielen Formen vorkommen. Sehr häufig ist die Form mit expliziter Steigung und y-Achsenabschnitt "y = mx + b" -- wobei die Buchstaben durch Zahlen ersetzt werden müssen oder nach ihnen aufgelöst werden muss , zum Beispiel: "x" und "y" repräsentieren die "x"- und "y"-Koordinaten einer Geraden , "m" repräsentiert die Steigung, das Verhältnis zwischen (Änderung von y)/(Änderung von x) und "b" repräsentiert den y-Achsenabschnitt. Wenn du wissen willst, wie du diese Form benutzen kannst, bist du hier richtig.
Vorgehensweise
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Lies die Aufgabe. Bevor du loslegen kannst, musst du die Aufgabe erst einmal sorgfältig durchlesen damit du verstehst, was du tun sollst. Lies folgende Aufgabe: Dein Bankkonto wächst jede Woche linear an. Wenn nach 20 Wochen Arbeit dein Bankkonto bei 560 EUR ist und nach 21 Wochen Arbeit bei 585 EUR, wie sieht dann das Verhältnis zwischen dem verdienten Geld und der gearbeiteten Zeit aus? Drücke es durch eine Geradengleichung mit Steigung und y-Achsenabschnitt aus.
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Stelle dir das Problem als Geradengleichung vor. Schreibe y = mx + b und denke daran, dass "m" die Änderung repräsentiert und "b" einen Anfangspunkt, in dem die Gerade die y-Achse schneidet. Beachte, dass in der Aufgabe steht: "Dein Bankkonto wächst jede Woche linear an.", was bedeutet dass du jede Woche die gleich Menge Geld sparst und damit hast du eine konstante Steigung. Diese konstante gesparte Geldmenge sorgt dafür, dass die Gleichung linear ist. Wenn du nicht immer die gleiche Geldmenge sparst, dann ist es nicht linear.
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Bestimme die Steigung der Geraden. Um die Steigung zu bestimmen musst du die Änderungsrate bestimmen. Wenn du zuerst 560 EUR hattest und dann hast du 585 EUR in der nächsten Woche, dann hast du 25 EUR gespart nach einer Woche Arbeit. Du kannst das berechnen indem du 560 EUR von 585 EUR abziehst. 585 EUR - 560 EUR = 25 EUR.
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Bestimme den y-Achsenabschnitt. Um den y-Achsenabschnitt zu bestimmen (oder das "b" in y = mx + b) musst du den Anfangspunkt kennen (wo die Gerade die y-Achse [vertikale Achse] schneidet . Das bedeutet, du musst wissen wie viel Geld am Anfang auf deinem Konto war. Wenn du 560 EUR nach 20 Wochen hattest und du weißt, dass du 25 EUR pro Woche sparen kannst, dann kannst du 20 mit 25 multiplizieren um zu berechnen wie viel Geld du in diesen 20 Wochen gespart hast. 20 x 25 = 500, was bedeutet, dass du 500 EUR in diesen Wochen gespart hast.
- Da du 560 EUR nach 20 Wochen hast und 500 EUR gespart hast, kannst du berechnen mit wie viel Geld du angefangen hast indem du 500 von 560 abziehst. 560 - 500 = 60.
- Deshalb ist dein "b" oder dein Anfangspunkt 60.
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Schreibe die Geradengleichung auf. Du weißt jetzt, dass die Steigung, m, 25 ist (25 EUR pro Woche gespart) und der y-Achsenabschnitt, b, 60 ist und kannst das jetzt in die Gleichung einsetzen:
- y = mx + b
- y = 25x + 60
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Teste es. In der Gleichung repräsentiert "y" die gesparte Geldmenge und "x" die Anzahl der Wochen. Setze eine andere Anzahl an Wochen in die Gleichung ein um zu sehen wie viel Geld du nach dieser Anzahl Wochen auf dem Konto hast. Hier sind zwei Beispiele:
- Wie viel Geld hast du nach 10 Wochen? Setze "10" für "x" in die Gleichung ein um es herauszufinden.
- y = 25x + 60 =
- y = 25(10) + 60 =
- y = 250 + 60 =
- y = 310. Nach 10 Wochen hast du 310 EUR.
- Wie viele Wochen musst du sparen um 800 EUR zu haben? Setze "800" für "y" in die Gleichung ein um "x" zu erhalten.
- y = 25x + 60 =
- 800 = 25x + 60
- 800 - 60 = 25x
- 740 = 25x
- 740/25 = x
- x = 29,6. Du hast 800 EUR nach fast 30 Wochen.
Werbeanzeige - Wie viel Geld hast du nach 10 Wochen? Setze "10" für "x" in die Gleichung ein um es herauszufinden.
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Methode 2
Methode 2 von 6:
Eine Geradengleichung umformen in die Form mit Steigung
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Schreibe die Gleichung auf. Angenommen, du hast die Gleichung 4y +3x = 16 . Schreibe sie auf.
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Bringe den y-Ausdruck auf eine Seite der Gleichung. Bringe dafür einfach den x-Ausdruck auf die andere Seite, so dass der y-Ausdruck alleine ist. Vergiss nicht, dass du immer, wenn du einen Term auf die andere Seite bringst (durch Addieren oder Subtrahieren), musst du das Vorzeichen herumdrehen (von negativ zu positiv und umgekehrt). "3x" auf die andere Seite gebracht wird zu "-3x". Die Gleichung sieht nun so aus 4y = -3x +16, wenn man folgende Schritte gemacht hat: [1] X Forschungsquelle
- 4y + 3x = 16
- 4y + 3x - 3x = -3x +16 (durch Subtraktion von 3x)
- 4y = -3x +16 (durch vereinfachen der linken Seite)
- 4y + 3x = 16
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Teile alle Terme durch den y-Koeffizienten. Der y-Koeffizient ist die Zahl vor dem y-Term. Wenn da keiner ist, bist du schon fertig. Falls aber doch einer da ist, dann solltest du jeden Term in der Gleichung durch diese Zahl teilen. Hier ist der y-Koeffizient 4, also musst du 4x, -3x und 16 durch 4 teilen um die Gleichung in die gewünschte Form zu bringen. Hier siehst du wie es geht: [2] X Forschungsquelle
- 4y = -3x +16
- 4 / 4 y = -3 / 4 x + 16 / 4 (durch Division)
- y = -3 / 4 x + 4 (durch Vereinfachen)
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Identifiziere die Terme in der Gleichung. Wenn du die Gleichung benutzen willst um eine Gerade zu zeichnen, dann musst du wissen, dass "y" die y-Koordinate, "-3/4" die Steigung, "x" die x-Koordinate und "4" den y-Achsenabschnitt repräsentiert.Werbeanzeige
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Methode 3
Methode 3 von 6:
Eine Gleichung schreiben bei vorgegebenem Punkt und Steigung
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Schreibe die Geradengleichung in der Form mit Steigung und y-Achsenabschnitt. Schreibe zuerst y = mx + b. Wenn du mehr Informationen hast, kannst du sie in die Gleichung schreiben. Angenommen, du willst folgendes Problem lösen: Gib die Gleichung der Geraden mit Steigung 4, die durch den Punkt (-1, -6) geht, an. [3] X Forschungsquelle
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Setze die gegebene Information ein. Du weißt, dass "m" die Steigung ist, die hier 4 ist, und dass "y" und "x" die gegebenen "x"- und "y"-Koordinaten repräsentieren. Hier ist "x" = -1 und "y" = -6. "b" repräsentiert den y-Achsenabschnitt. Wir kennen b noch nicht, also lassen wir es erst einmal stehen. Hier siehst du wie die Gleichung aussieht nachdem du die relevante Information eingesetzt hast:
- y = -6, m = 4, x = -1 (die gegebenen Werte)
- y = mx + b (die Formel)
- -6 = (4)(-1) + b (durch Einsetzen)
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Löse nach dem y-Achsenabschnitt auf. Jetzt muss du nur noch nach "b" auflösen um den y-Achsenabschnitt zu erhalten. Multipliziere 4 und -1 und subtrahiere das Ergebnis von -6. Hier siehst du wie es geht:
- -6 = (4)(-1) + b
- -6 = -4 + b (durch Multiplizieren)
- -6 - (-4) = -4 -(-4) + b (durch Subtraktion)
- -6 - (-4) = b (die rechte Seite vereinfachen)
- -2 = b (die linke Seite vereinfachen)
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Schreibe die Gleichung auf. Nachdem du jetzt die Lösung für "b" hast, kannst du alle nötige Information in die Gleichung einsetzen und sie in der gewünschten Form hinschreiben. Du musst nur die Steigung und den y-Achsenabschnitt kennen:
- m = 4, b = -2
- y = mx + b
- y = 4x -2 (durch Substitution)
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Methode 4
Methode 4 von 6:
Eine Gleichung mit Steigung und y-Achsenabschnitt schreiben bei zwei gegebenen Punkten
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Schreibe die zwei Punkte hin. Bevor du die Geradengleichung schreiben kannst, musst du die beiden Punkte aufschreiben. Angenommen, du willst folgende Aufgabe lösen: Gib die Gleichung der Geraden, die durch (-2, 4) und (1, 2) geht, an. Schreibe die beiden Punkte auf. [4] X Forschungsquelle
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Benutze die beiden Punkte um die Steigung der Geraden zu bestimmen. Die Formel für die Steigung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte geht, ist (Y 2 - Y 1 ) / (X 2 - X 1 ). Du kannst dir die ersten Koordinaten (x, y) = (-2, 4) als Repräsentanten für X 1 und Y 1 vorstellen, und die zweiten Koordinaten, (1, 2), als Repräsentanten für X 2 und Y 2 . Hier berechnest du wirklich die Differenz der x- und y-Koordinaten, die dir die Steigung geben. Setze sie in die Gleichung ein und löse nach der Steigung auf.
- (Y 2 - Y 1 ) / (X 2 - X 1 ) =
- (2 - 4)/(1 - -2) =
- -2/3 = m
- Die Steigung der Geraden ist -2/3.
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Nimm dir einen der beiden Punkt um den y-Achsenabschnitt zu berechnen. Es kommt nicht darauf an, welchen Punkt du nimmst; du kannst dir den mit den kleineren Zahlen oder Zahlen mit denen einfacher zu rechnen ist, aussuchen. Angenommen, du hast den Punkt (1, 2) gewählt. Setze die Werte in die Gleichung "y = mx + b" ein, wobei "m" die Steigung und "x" und "y" die x- und y-Koordinaten repräsentieren. Setze die Zahlen ein und löse nach "b" auf. Hier siehst du wie es geht:
- y = 2, x, = 1, m = -2/3
- y = mx + b
- 2 = (-2/3)(1) + b
- 2 = -2/3 + b
- 2 - (-2/3) = b
- 2 + 2/3 = b oder b = 8 / 3
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Setze die Zahlen in die ursprüngliche Gleichung ein. Da du jetzt weißt, dass die Steigung -2/3 und der y-Achsenabschnitt ("b") 2 2/3 ist, setze sie in die Geradengleichung ein und du bist fertig.
- y = mx + b
- y = -2 / 3 x + 2 2/3
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Schreibe die Gleichung auf. Schreibe zuerst die Gleichung auf, damit du sie zum Zeichnen der Geraden benutzen kannst. Angenommen, du hast folgende Gleichung: y = 4x + 3. Schreibe sie auf.
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Beginne mit dem y-Achsenabschnitt. Der y-Achsenabschnitt ist repräsentiert durch "+3" oder "b" in der allgemeinen Gleichung. Das bedeutet, dass die Gerade die y-Achse im Punkt (0, 3) schneidet. Markiere diesen Punkt in deiner Zeichnung.
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Benutze die Steigung um die Koordinaten eines anderen Punktes auf der Geraden zu bestimmen. Da du weißt, dass die Steigung durch 4 repräsentiert ist (oder "m"), kannst du sie auch als 4/1 schreiben. Das bedeutet, dass jedes mal, wenn die Gerade 4 Einheiten nach oben geht, geht sie eine Einheit nach rechts. Wenn du also im Punkt (0, 3) anfängst und 4 Einheiten nach oben gehst, bist du bei (0, 7). Dann musst du noch eine Einheit nach rechts gehen und erhältst (1, 7) als anderen Punkt auf der Geraden.
- Wenn deine Steigung negativ ist, dann musst du entweder die y-Koordinate nach unten statt nach oben gehen oder die x-Koordinate nach links anstatt nach rechts. Auf beide Arten erhältst du dasselbe Resultat.
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Verbinde die beiden Punkte. Jetzt musst du nur noch eine Gerade durch diese beiden Punkte ziehen und du hast erfolgreich einen Graphen einer Gerade in der Form mit Steigung und y-Achsenabschnitt gezeichnet. Du kannst aber auch weiter machen -- nimm einfach einen anderen Punkt auf der Geraden, die du gezeichnet hast, und benutze die Steigung um nach oben oder unten zu gehen und noch andere Punkte auf der Geraden zu erhalten.Werbeanzeige
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Nimm das Koordinatensystem, das so aussieht: y - y 1 = m(x - x 1 ) . Dies ist ein weiterer Weg, um eine Formel zu finden.
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Nimm einen vorgegebenen Punkt und eine Steigung m (die du kennst). Zum Beispiel: Punkt (4, -3) und Steigung m = -2.
- Du arbeitest, wo m = -2 wie die Steigung einer Linie und die Koordinaten des Punktes sind (4, -3), und diese sind unser (x 1
,y 1
) wie jeder definikerte Punkt auf der Linie. Also haben wir:
y - y 1 = m(x - x 1 ) ,
y - (-3) = -2(x - 4) , durch Austausch von Punkt und Steigung
y + 3 = -2(x - 4) , vereinfacht -(-3) to + 3
y + 3 = -2x + -2(-4) , by distribution
y + 3 = -2x + 8 , multipliziert
y + 3 - 3 = -2x + 8 - 3 , subtrahiert
y = -2x + 5 , by simplifying/rewriting it (That fits the y = mx + b called the Slope Intercept Form). - Worauf basiert diese Gleichung? Die Gleichung drückt aus, dass die Differenz von y zwei Punkte auf der Linie ergibt (also y − y 1
kann als direkt proportional zu der Differenz der x-Werte x − x 1
gesehen werden). Die Proportionalität ist konstant und heißt m (Steigung).
- Die direkte Entsprechung ist ein Vergleich, der wie y = kx in einer Formel dargestellt wird: y - y 1 = m(x - x 1 ) fits the form y = kx.
- Direkte Entsprechung heißt, dass zwei Variablen wie x und y gegeben sind, dann wird y direkt proportional zu x erklärt, wenn es eine Konstante k gibt, zum Beispiel y = kx , wenn x nicht gleich 0 ist. Die Konstante k ist die Steigung, die wir verwenden.
Werbeanzeige - Du arbeitest, wo m = -2 wie die Steigung einer Linie und die Koordinaten des Punktes sind (4, -3), und diese sind unser (x 1
,y 1
) wie jeder definikerte Punkt auf der Linie. Also haben wir:
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Tipps
- Lies nicht nur die Beispiele. Du musst sie selber aufschreiben und die Schritte üben um zu sehen wie es funktioniert.
- Algebra ist aktiv. Du musst es selber tun um zu verstehen wie alles zusammen kommt.
- Wenn du die einfachen Aufgaben im Kopf machst und die Schritte nicht aufschreibst -- dann wird es dir später mit einer schwierigeren Aufgabe schwer fallen, denn du kennst die einzelnen Schritte nicht.
- Die Steigung misst die Änderung in der vertikalen im Vergleich zur Änderung in der horizontalen Richtung. Das kann bezogen werden auf Punkte oder Geraden in einem Graphen oder einer Wachstumsrate über die Zeit oder der Hangneigung eines Hügels.
- Du kannst deinen Lehrer beeindrucken indem du verstanden hast, dass man normalerweise beim Reisen zum Beispiel mal schneller und mal langsamer ist -- und der Graph der Geschwindigkeit einer Reise würde im Zick-Zack verlaufen. Aber die "Durchschnitts geschwindigkeit " ergibt eine Gerade mit konstanter Steigung, wenn sie für die gleiche Zeit der Reise gezeichnet würde. Und das ist normalerweise der Grund warum in Aufgaben die Durchschnittsrate der Änderung genommen wird.
- Es beeindruckt den Lehrer sehr, wenn du die lineare Gleichung auf alle möglichen Arten von [linearen] Textaufgaben anwenden kannst.
- Das ist der richtige Weg um zu zeigen, dass du es verstanden hast: Die Änderung von y geteilt durch die Änderung von x heißt Anwachsen oder Abnehmen der (Differenz der y) geteilt durch die (Differenz der x). Und Teilen wird Verhältnis genannt. Das Verhältnis hier ist die Änderungsrate . Das Verhältnis vergleicht Unterschiede in y mit Unterschieden in x.
- Das Anwachsen oder Abnehmen heißt auch Steigung oder Änderungsrate, wie zum Beispiel Kilometer pro Stunde ( Distanz verglichen mit der Zeit ).
- Das ist beeindruckend: verwende Daten in einem Taschenrechner. Und wenn dein Lehrer vorbei kommt, kannst du die Gleichung der Geraden erhalten indem du eine lineare Regression der Daten machst, was so etwas wie ein Mitteln ist, was der Taschenrechner mit eingebauten Programmen macht und dann auch zeichnet. Wow! Aber das kommt erst eine Weile nachdem du gelernt hast alles selbst zu machen. Daten in einem Taschenrechner zu benutzen solltest du erst machen wenn du das Handwerkszeug der Algebra beherrschst. Manche Lehrer benutzen es oft.
- Das Kartesische Koordinatensystem, welches benutzt wird um Graphen von Gleichungen zu zeichnen etc., ist nach dem französischen Erfinder dafür Koordinaten auf Karten zu verwenden, Mr. De Carte , benannt. Ähnliche Kartierungs systeme werden überall in der Mathematik, Astronomie, Navigation, um Pixel auf dem Computerbildschirm farbig zu machen, für Glühbirnen auf Anzeigetafeln, verwendet — um den Ort von so ziemlich allem zu finden.
- Überprüfe deine Ergebnisse. Setze deine Lösung wieder in die Gleichung ein. Wenn zum Beispiel dein Ergebnis x=10 ist für die Gleichung y=x+3, setze die 10 für x ein. Das Ergebnis sollte dann die zugehörige y-Koordinate, y = 13 im Punkt (x,y) = (10, 13) sein.
- Y = 13 kann auch als horizontale Gerade mit Steigung 0 gezeichnet werden. Eine vertikale Gerade hat etwas, was undefinierte Steigung genannt wird, da es keine Änderung in x gibt, die die Steigung ergeben würde: (Änderung in y)/(Änderung in x) = p/q = p/0 = existiert nicht (durch 0 teilen ist nicht erlaubt).
- Vergiss nicht, dass Multiplizieren vor Addieren kommt, wenn du y = mx + b benutzt; also, addiere nicht x+b, sondern multipliziere erst m und x.
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Referenzen
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