Skip to Content

Login / Cadastro

Como Diferenciar a Raiz Quadrada de X

Coescrito por Equipe wikiHow

Se você já estudou Cálculo, é provável que tenha aprendido a regra da potência para se encontrar a derivada de funções básicas. No entanto, quando a função contém uma raiz quadrada ou um radical, como no caso de ${\sqrt {x}}$ , essa regra fica difícil de ser aplicada. Com uma simples substituição do expoente, diferenciar essa função fica bastante fácil. Você poderá então aplicar a mesma substituição e usar a regra da cadeia para diferenciar várias outras funções envolvendo radicais.

Método 1

Método 1 de 3:

Usando a regra da potência

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/64\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-1.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-1.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/64\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-1.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-1.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
Revise a regra da potência nas derivadas. A primeira regra que você provavelmente aprendeu no cálculo das derivadas é a regra das potências. Ela afirma que, para uma variável $x$ elevada a qualquer expoente $a$ , sua derivada ficará da seguinte maneira: ^{[1]
X
Fonte de pesquisa}
- $f(x)=x^{a}$
- $f^{{\prime }}(x)=ax^{{a-1}}$
- Como exemplo, relembre os conceitos com as seguintes funções com derivadas:
  - Se $f(x)=x^{2}$ , logo $f^{{\prime }}(x)=2x$ ;
  - Se $f(x)=3x^{2}$ , logo $f^{{\prime }}(x)=2\times 3x=6x$ ;
  - Se $f(x)=x^{3}$ , logo $f^{{\prime }}(x)=3x^{2}$ ;
  - Se $f(x)={\frac {1}{2}}x^{4}$ , logo $f^{{\prime }}(x)=4\times {\frac {1}{2}}x^{3}=2x^{3}$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/69\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-2.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/69\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-2.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Reescreva a raiz quadrada em forma de expoente. Para encontrar a derivada de uma função de raiz quadrada, você precisa se lembrar de que a raiz quadrada de qualquer número ou variável também pode ser escrita em forma de expoente. O termo abaixo do radical será escrito como base e elevado ao expoente ${\frac {1}{2}}$ . Considere os exemplos seguintes: ^{[2]
X
Fonte de pesquisa}
- ${\sqrt {x}}=x^{{{\frac {1}{2}}}}$ ;
- ${\sqrt {4}}=4^{{{\frac {1}{2}}}}$ ;
- ${\sqrt {3x}}=(3x)^{{{\frac {1}{2}}}}$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/2b\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-3.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/2b\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-3.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Aplique a regra da potência. Se a função for a raiz quadrada mais simples, $f(x)={\sqrt {x}}$ , aplique a regra da potência como se segue para encontrar a derivada: ^{[3]
X
Fonte de pesquisa}
- $f(x)={\sqrt {x}}\ \ \ \ \$ (escreva a função original) ;
- $f(x)=x^{{({\frac {1}{2}})}}\ \ \ \ \$ (reescreva o radical em forma de expoente) ;
  - $f^{{\prime }}(x)={\frac {1}{2}}x^{{({\frac {1}{2}}-1)}}\ \ \$ (ache a derivada pela regra da potência) ;
  - $f^{{\prime }}(x)={\frac {1}{2}}x^{{(-{\frac {1}{2}})}}\ \ \$ (simplifique o expoente) .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/9\/99\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-4.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/9\/99\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-4.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
Simplifique o resultado. A essa altura, é importante reconhecer que um expoente negativo indica fazer uso da recíproca, ou o que o número seria tendo o expoente positivo. Em outras palavras, o expoente $-{\frac {1}{2}}$ significa que voc6e terá a raiz quadrada da base na forma do denominador de uma fração. ^{[4]
X
Fonte de pesquisa}
- Continuando a partir da função acima com a raiz quadrada de x, a derivada poderá ser simplificada como:
  - $f^{{\prime }}(x)={\frac {1}{2}}x^{{-{\frac {1}{2}}}}$ ;
  - $f^{{\prime }}(x)={\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{{\sqrt {x}}}}$ ;
  - $f^{{\prime }}(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$ .
Publicidade

Método 2

Método 2 de 3:

Usando a regra da cadeia para funções de raiz quadrada

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/4\/48\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-5.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/4\/48\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-5.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
Revise a regra da cadeia em funções. Ela é usada nas derivadas quando a função original combina uma função dentro de outra. A regra da cadeia indica que, para duas funções $f(x)$ e $g(x)$ , a derivada da combinação de ambas pode ser calculada da seguinte forma: ^{[5]
X
Fonte de pesquisa}
- Se $y=f(g(x))$ , logo $y^{{\prime }}=f^{{\prime }}(g)\times g^{{\prime }}(x)$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/58\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-6.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-6.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/58\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-6.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-6.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Determine as funções para a regra da cadeia. Para usar essa regra, você precisa antes definir as duas funções que compõem a função combinada. Nas funções de raiz quadrada, a função externa $f(g)$ será a raiz quadrada, enquanto a função interna $g(x)$ será o que aparece abaixo do radical. ^{[6]
X
Fonte de pesquisa}
- Por exemplo, considere o cálculo para se encontrar a derivada de ${\sqrt {3x+2}}$ . Defina as duas partes como se segue:
  - $f(g)={\sqrt {g}}=g^{{{\frac {1}{2}}}}$ ;
  - $g(x)=(3x+2)$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/15\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-7.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-7.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/15\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-7.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-7.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Determine as derivadas de ambas as funções. Para aplicar a regra da cadeia à raiz quadrada de uma função, é necessário antes determinar a derivada da função geral, mais externa: ^{[7]
X
Fonte de pesquisa}
- $f(g)={\sqrt {g}}=g^{{{\frac {1}{2}}}}$ ;
  - $f^{{\prime }}(g)={\frac {1}{2}}g^{{-{\frac {1}{2}}}}$ ;
  - $f^{{\prime }}(g)={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}$ .
- A seguir, determine a derivada da segunda função, mais interna:
  - $g(x)=(3x+2)$ ;
  - $g^{{\prime }}(x)=3$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/ec\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-8.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-8.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/ec\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-8.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-8.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
Combine as funções na regra da cadeia. Relembre a regra da cadeia, $y^{{\prime }}=f^{{\prime }}(g)\times g^{{\prime }}(x)$ , e combine as derivadas como a seguir: ^{[8]
X
Fonte de pesquisa}
- $y^{{\prime }}={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}\times 3$ ;
- $y^{{\prime }}={\frac {1}{2{\sqrt {(3x+2)}}}}\times 3$ ;
- $y^{{\prime }}={\frac {3}{2{\sqrt {(3x+2)}}}}$ .
Publicidade

Método 3

Método 3 de 3:

Usando um atalho para derivadas de funções com radical

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/d4\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-9.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-9.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/d4\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-9.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-9.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
Aprenda o atalho para derivadas de qualquer função com radical. Ao tentar encontrar a derivada da raiz quadrada de uma variável ou função, você pode aplicar um padrão simples. Ela sempre será a derivada do radicando dividida pelo dobro da raiz quadrada original. Simbolicamente, isso pode ser exibido da seguinte forma: ^{[9]
X
Fonte de pesquisa}
- Se $f(x)={\sqrt {u}}$ , logo $f^{{\prime }}(x)={\frac {u^{{\prime }}}{2{\sqrt {u}}}}$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/67\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-10.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-10.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/67\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-10.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-10.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Encontre a derivada do radicando. Esse é o termo ou a função abaixo do sinal da raiz. Para aplicar esse atalho, determine qual é a derivada apenas do radicando. Considere os seguintes exemplos: ^{[10]
X
Fonte de pesquisa}
- Na função ${\sqrt {5x+2}}$ , o radicando é $(5x+2)$ . Sua derivada será $5$ .
- Na função ${\sqrt {3x^{4}}}$ , o radicando é $3x^{4}$ . Sua derivada será $12x^{3}$ .
- Na função ${\sqrt {\sin(x)}}$ , o radicando é $\sin(x)$ . Sua derivada será $\cos(x)$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a4\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-11.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-11.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/a4\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-11.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-11.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Escreva a derivada do radicando em forma de numerador de uma fração. A derivada de uma função com radical envolverá uma fração. Seu numerador representa a derivada do radicando. Para os exemplos acima, a primeira parte da derivada fica como a seguir: ^{[11]
X
Fonte de pesquisa}
- Se $f(x)={\sqrt {5x+2}}$ , logo $f^{{\prime }}(x)={\frac {5}{{\text{denom}}}}$ ;
- Se $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$ , logo $f^{{\prime }}(x)={\frac {12x^{3}}{{\text{denom}}}}$ ;
- Se $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$ , logo $f^{{\prime }}(x)={\frac {\cos(x)}{{\text{denom}}}}$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/7d\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-12.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-12.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/7d\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-12.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-12.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
Escreva o denominador como o dobro da raiz quadrada original. Usando esse atalho, o denominador equivalerá a duas vezes a raiz quadrada original. Logo, para as três funções de exemplo acima, os denominadores das derivadas serão: ^{[12]
X
Fonte de pesquisa}
- Para $f(x)={\sqrt {5x+2}}$ , logo $f^{{\prime }}(x)={\frac {{\text{num}}}{2{\sqrt {5x+2}}}}$ ;
- Para $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$ , logo $f^{{\prime }}(x)={\frac {{\text{num}}}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}$ ;
- Para $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$ , logo $f^{{\prime }}(x)={\frac {{\text{num}}}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/5e\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-13.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-13.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/5e\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-13.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-13.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

5
Combine o numerador e o denominador para encontrar a derivada. Coloque ambas as metades da fração juntas e o resultado será a derivada da função original. ^{[13]
X
Fonte de pesquisa}
- Para $f(x)={\sqrt {5x+2}}$ , logo $f^{{\prime }}(x)={\frac {5}{2{\sqrt {5x+2}}}}$ ;
- Para $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$ , logo $f^{{\prime }}(x)={\frac {12x^{3}}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}$ ;
- Para $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$ , logo $f^{{\prime }}(x)={\frac {\cos(x)}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}$ .
Publicidade

WikiHows Relacionados

Publicidade

Referências

Mais referências

Sobre este guia wikiHow

Coescrito por :

Redação do wikiHow

Este artigo foi escrito em parceria com nossa equipe treinada de editores e pesquisadores que validaram sua precisão e abrangência.

O wikiHow possui uma Equipe de Gerenciamento de Conteúdo que monitora cuidadosamente o trabalho de nossos editores para garantir que todo artigo atinja nossos padrões de qualidade. Este artigo foi visualizado 42 689 vezes.

Categorias: Cálculo

Em outras línguas

Imprimir

Esta página foi acessada 42 689 vezes.

Este artigo foi útil?

Publicidade

Os Cookies tornam o wikiHow melhor. Ao continuar usando nosso site, você concorda com nossa política de cookies .

Artigos Relacionados

Inscreva-se na Newsletter Gratuita do wikiHow!

Receba tutoriais úteis em seu email semanalmente!

Siga-nos

Compartilhar

-

-

487

.mwimg a.image{display:none}#header_logo{display:none}#cse-search-box{display:none}#cse-search-box-noscript{display:block !important}#cse-search-box-noscript .cse_q{color:#FFF;background-color:#B3CE9C}.wh_search .cse_q{width:88%}#mw-mf-main-menu-button{display:none;visibility:hidden}.header .search{display:none}#search_footer .cse_sa{background-image:url(/extensions/wikihow/mobile/images/white_mag.png);background-size:22px}.related_box{display:block;background:#EEE;border:5px solid #FFF;vertical-align:bottom;width:127px;background-size:180px;float:left;height:120px;position:relative}.related_box p{line-height:15px !important;font-size:13px;background-color:rgba(67,95,44,.4);color:#FFF;font-weight:bold;padding:8px;margin:0 !important;position:absolute;bottom:0}#noscript_header_logo{display:table-cell;vertical-align:middle;background-position:50% 77%;background-repeat:no-repeat;background-image:url(/extensions/wikihow/mobile/images/wikihow_logo_230.png);background-size:105px;width:auto;height:51px;padding:0 14px}.articleinfo{display:none}#iorg_free_data{z-index:50;width:100%;position:fixed}#ara_recommendations{display:none}

Design a Mobile Website

View Site in Mobile | Classic

Share by: